Elettrostatica, teorema del flusso (Gauss)
Ciao a tutti, sono alle prese con l'esame di Fisica 2... odio profondo... ho da risolvere un esercizio che sicuramente è stato già proposto mille volte ma che non riesco a trovare risolto in modo soddisfacente.
Tra due superfici sferiche concentriche di raggio $R_1=10 cm$ e $R_2=20 cm$ è distribuita una carica elettrica positiva con densità volumetrica uniforme $rho = 26.58 10^(-8) C/m^3$.
a) Determinare l’espressione del campo elettrostatico E(r) in funzione della distanza r dal centro del sistema.
b)Supponendo che un elettrone venga posto in quiete sulla superficie esterna, calcolare quanto tempo impiega ad attraversare la cavità interna.
Potreste aiutarmi a correggere e finire questo esercizio, o almeno rimandarmi ad un post che tratti decentemente lo stesso problema?
Dunque, il punto a): io direi questo: quando $rR_2$, quindi all'esterno della sfera grande, il campo è assimilabile a quello generato da una carica puntiforme posta nel centro di valore $Q=rho Vol$. Pertanto faccio la differenza tra i due volumi (che è la regione carica) e butto tutto dentro la formuletta $\vec E(r) = Q/(4piepsilon_0) 1/r^2 vec u_n$; infine quando $R_1 < r < R_2$ uso il teorema di Gauss. Se chiamo $Sigma$ una superficie sferica concentrica alle altre due e di raggio $r in [R_1, R_2]$ e $phi_(Sigma) (vec E)$ il flusso di $vec E$ attraverso questa superficie, allora avrò
$phi_(Sigma) (vec E) = q/(epsilon_0)$ e quindi, calcolando il primo termine, potrò ottenere E.
Prima domanda: io direi che $phi_(Sigma) (vec E) = int_(Sigma) vec E * vec u_n dSigma$ è semplicemente uguale a $E 4/3 pi r^3$ Però non riesco a vedere come si ricava questo da quell'integrale... C'è qualche trucco o sono meri conti? Potete farmi vedere come impostare l'integrale?
Seconda domanda: nel punto b) l'elettrone, vista la simmetria della distribuzione, subisce ad ogni istante una forza diretta lungo il raggio della sfera. Solo che questa forza è funzione della posizione dell'elettrone all'interno della sfera, qundi l'accelerazione è variabile... Come faccio quindi a risolvere questo punto? Non so proprio come comportarmi...
Vi ringrazio per qualsiasi aiuto, come sempre. Ciao
Tra due superfici sferiche concentriche di raggio $R_1=10 cm$ e $R_2=20 cm$ è distribuita una carica elettrica positiva con densità volumetrica uniforme $rho = 26.58 10^(-8) C/m^3$.
a) Determinare l’espressione del campo elettrostatico E(r) in funzione della distanza r dal centro del sistema.
b)Supponendo che un elettrone venga posto in quiete sulla superficie esterna, calcolare quanto tempo impiega ad attraversare la cavità interna.
Potreste aiutarmi a correggere e finire questo esercizio, o almeno rimandarmi ad un post che tratti decentemente lo stesso problema?
Dunque, il punto a): io direi questo: quando $r
$phi_(Sigma) (vec E) = q/(epsilon_0)$ e quindi, calcolando il primo termine, potrò ottenere E.
Prima domanda: io direi che $phi_(Sigma) (vec E) = int_(Sigma) vec E * vec u_n dSigma$ è semplicemente uguale a $E 4/3 pi r^3$ Però non riesco a vedere come si ricava questo da quell'integrale... C'è qualche trucco o sono meri conti? Potete farmi vedere come impostare l'integrale?
Seconda domanda: nel punto b) l'elettrone, vista la simmetria della distribuzione, subisce ad ogni istante una forza diretta lungo il raggio della sfera. Solo che questa forza è funzione della posizione dell'elettrone all'interno della sfera, qundi l'accelerazione è variabile... Come faccio quindi a risolvere questo punto? Non so proprio come comportarmi...
Vi ringrazio per qualsiasi aiuto, come sempre. Ciao
Risposte
La superficie di una sfera è quattro pigreco r due...
si scusami, ho confuso il volume con la superficie, chiedo venia... ma la mia domanda rimane.
Ti calcoli i potenziali sulle due superici. Poi ti calcoli, con la conservazione dell'energia, la velicità sulla sperficie
Interna. Qundi, l'elettrone procede di moto rettilineo uniforme attraverso la cavità...
Interna. Qundi, l'elettrone procede di moto rettilineo uniforme attraverso la cavità...
modificato
grazie arrigo, credo di poter finire ora. Mi dilungo un po' quindi non pretendo che mi controlli i conti mi hai sbloccato e ti ringrazio molto per questo.
Il campo all'interno della distribuzione sarà $E = q/(4piepsilon_0 r^2)$. Siccome $q = rho Vol$ e $Vol=4/3 pi (r^3 - R_2^3)$, alla fine avrò $E= rho(r^3 - R_1^3)/(3epsilon_0 r^2)$, che trasformo in $E=rho( r/(3epsilon_0) - R_1^3 / (3epsilon_0 r^2))$ per integrarlo meglio dopo.
Se quindi pongo l'elettrone in un punto B sulla superficie grande e chiamo A il punto sulla superficie piccola corrispondente ad A lungo la congiungente con il centro, allora avrò $DeltaV_(A,B) = int_(A)^(B) vecE * dvecs = int_(A)^(B) E cos(theta) ds $, ma siccome il moto è diretto come il campo, entrambi sono diretti lungo lo stesso raggio $R_2$ e chiaramente non importa dove sulla sup sferica si trovi il punto di partenza, scriverò $DeltaV_(A,B) = DeltaV_(R_1, R_2) = int_(R_1)^(R_2) Edr = int_(R_1)^(R_2) rho r/(3epsilon_0) dr - int_(R_1)^(R_2) rho R_1^3 / (3epsilon_0 r^2) dr = $ e siccome $R_2 = 2R_1$, ottengo: $rho/(3epsilon_0) (R_2^2 - R_1^2 + R_1^3/(R_2) - R_1^3/R_1) = rho/(3epsilon_0) (4R_1^2 - R_1^2 + R_1^3/(2R_1) - R_1^3/R_1) = rho/(3epsilon_0) 5/2 R_1^2 = 250 V$
per la conservazione dell'energia, chiamando $-e$ la carica dell'elettrone, $m_e$ la sua massa, poi $v_2, v_1$ le velocità rispettivamente in A (quindi a distanza $R_2$ dal centro) ed in B (distanza $R_1$) dell'elettrone e $V_1, V_2$ i potenziali in B ed A, sarà
$1/2 m_e v_1^2 - eV_1 = 1/2 m_e v_2^2 - e V_2$, ovvero, data la partenza da fermo e quindi $v_2 = 0$,
$1/2 m_e v_1^2 = e(V_1 - V_2) = - e DeltaV_(R_1, R_2)$ da cui
$v_1 = sqrt(( - 2 e DeltaV_(R_1, R_2))/m_e) = 9,37 * 10^6 m/s$
siccome nella cavità il campo è nullo, il moto è rettilineo uniforme con velocità $v_1 = v$, quindi per trovare il tempo di percorrenza risolvo l'equazione $s(t) = 2R_1 = vt$ (posso considerare come 0 il punto A di inizio del moto uniforme, tanto mi interessa solo questa parte del moto). Quindi in definitiva sarà $t = (2R_1)/v = 2,1 * 10^-8 s$
grazie arrigo, credo di poter finire ora. Mi dilungo un po' quindi non pretendo che mi controlli i conti
mi hai sbloccato e ti ringrazio molto per questo.Il campo all'interno della distribuzione sarà $E = q/(4piepsilon_0 r^2)$. Siccome $q = rho Vol$ e $Vol=4/3 pi (r^3 - R_2^3)$, alla fine avrò $E= rho(r^3 - R_1^3)/(3epsilon_0 r^2)$, che trasformo in $E=rho( r/(3epsilon_0) - R_1^3 / (3epsilon_0 r^2))$ per integrarlo meglio dopo.
Se quindi pongo l'elettrone in un punto B sulla superficie grande e chiamo A il punto sulla superficie piccola corrispondente ad A lungo la congiungente con il centro, allora avrò $DeltaV_(A,B) = int_(A)^(B) vecE * dvecs = int_(A)^(B) E cos(theta) ds $, ma siccome il moto è diretto come il campo, entrambi sono diretti lungo lo stesso raggio $R_2$ e chiaramente non importa dove sulla sup sferica si trovi il punto di partenza, scriverò $DeltaV_(A,B) = DeltaV_(R_1, R_2) = int_(R_1)^(R_2) Edr = int_(R_1)^(R_2) rho r/(3epsilon_0) dr - int_(R_1)^(R_2) rho R_1^3 / (3epsilon_0 r^2) dr = $ e siccome $R_2 = 2R_1$, ottengo: $rho/(3epsilon_0) (R_2^2 - R_1^2 + R_1^3/(R_2) - R_1^3/R_1) = rho/(3epsilon_0) (4R_1^2 - R_1^2 + R_1^3/(2R_1) - R_1^3/R_1) = rho/(3epsilon_0) 5/2 R_1^2 = 250 V$
per la conservazione dell'energia, chiamando $-e$ la carica dell'elettrone, $m_e$ la sua massa, poi $v_2, v_1$ le velocità rispettivamente in A (quindi a distanza $R_2$ dal centro) ed in B (distanza $R_1$) dell'elettrone e $V_1, V_2$ i potenziali in B ed A, sarà
$1/2 m_e v_1^2 - eV_1 = 1/2 m_e v_2^2 - e V_2$, ovvero, data la partenza da fermo e quindi $v_2 = 0$,
$1/2 m_e v_1^2 = e(V_1 - V_2) = - e DeltaV_(R_1, R_2)$ da cui
$v_1 = sqrt(( - 2 e DeltaV_(R_1, R_2))/m_e) = 9,37 * 10^6 m/s$
siccome nella cavità il campo è nullo, il moto è rettilineo uniforme con velocità $v_1 = v$, quindi per trovare il tempo di percorrenza risolvo l'equazione $s(t) = 2R_1 = vt$ (posso considerare come 0 il punto A di inizio del moto uniforme, tanto mi interessa solo questa parte del moto). Quindi in definitiva sarà $t = (2R_1)/v = 2,1 * 10^-8 s$
Mi sembra che il campo all'interno della distribuzione non sia corretto... ma il procedimento mi sembra ok...
mm, perchè dici che non è corretto? il flusso del campo attraverso la superficie sferica di raggio r concentrica alle altre due (che chiamo $Sigma$) sarà $phi_Sigma(vecE) = int_(Sigma) vecE * vecu_n dSigma =$ (salto i passaggi intermedi) $E4pir^2$ che per teorema di Gauss sarà uguale a $q_(distr)/epsilon_0$ siccome siamo nel vuoto, da cui il risultato.
Se c'è un errore quindi direi che è nel calcolo del flusso, e questa era appunto la mia prima domanda
Se c'è un errore quindi direi che è nel calcolo del flusso, e questa era appunto la mia prima domanda
Per cui, fra le due sfere, il campo sarà ... $(r^3-R_1^3)$...
dannazione hai ragione, ho scritto $R_2^3 - r^3$ mentre intendevo $ (r^3-R_1^3) $... uffa! sono queste scemenze che mi bloccano all'esame... 
adesso modifico il post di prima e lo faccio giusto, ca**o! grazie di nuovo e scusa se sono così lento oggi.
adesso modifico il post di prima e lo faccio giusto, ca**o! grazie di nuovo e scusa se sono così lento oggi.
Mi sembra che il calcolo dell'integrale non vada bene...
corretto, credo...
Non mi quadra... ma fa lo stesso... 
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