Elettrostatica--->Unicità soluzioni eq. Poisson/Laplace
Partendo dall'eq. di Laplace (Poisson in assenza di cariche) cioè: $\nabla^2V=0$ allora il prof mi scrive che se due soluzioni coincidono sul contorno, allora esse sono uguali anche nello spazio delimitato dal contorno.
Lo dimostra ed infine fà 2 osservazioni che non capisco, cioè:
-Se la differenza $(V_1-V_2)$(condizioni al contorno) è nulla sulla superficie, allora si ha che: $\nabla(V_1-V_2)*t=-(E_(t1)-E_(t2))=0$
-D'altra parte: $\nabla(V_1-V_2)*n=-(E_(n1)-E_(n2))=0$
Dove penso che con $t$ ed $n$ abbia indicato i versori tangente e normale alla superficie, così $E_(t)$ e $E_(n)$ dovrebbero essere appunto i vettori del campo elettrico tangente e normale la superficie.
Da quel che ho capito io da queste ultime osservazioni è che se la d.d.p. è nulla sulla superficie esterna di un conduttore, allora i campi elettrici tangenti alla superficie in 2 qualsiasi punti della stessa sono identici. Stesso discorso per i campi elettrici normali alla superficie in qualsiasi altri 2 punti.
Poco fà ho studiato l'effetto delle punte (parafulmine) che mi dice che il campo elettrico è proporzionale alla densità di carica superficiale, e che quindi anche se $V_1=V_2$ potrebbe essere $E_1$ diverso da $E_2$ a causa dei diversi raggi di curvatura del conduttore quindi della densità di carica superficiale.
Dov'è che non ho capito ?
Grazie !!!
Lo dimostra ed infine fà 2 osservazioni che non capisco, cioè:
-Se la differenza $(V_1-V_2)$(condizioni al contorno) è nulla sulla superficie, allora si ha che: $\nabla(V_1-V_2)*t=-(E_(t1)-E_(t2))=0$
-D'altra parte: $\nabla(V_1-V_2)*n=-(E_(n1)-E_(n2))=0$
Dove penso che con $t$ ed $n$ abbia indicato i versori tangente e normale alla superficie, così $E_(t)$ e $E_(n)$ dovrebbero essere appunto i vettori del campo elettrico tangente e normale la superficie.
Da quel che ho capito io da queste ultime osservazioni è che se la d.d.p. è nulla sulla superficie esterna di un conduttore, allora i campi elettrici tangenti alla superficie in 2 qualsiasi punti della stessa sono identici. Stesso discorso per i campi elettrici normali alla superficie in qualsiasi altri 2 punti.
Poco fà ho studiato l'effetto delle punte (parafulmine) che mi dice che il campo elettrico è proporzionale alla densità di carica superficiale, e che quindi anche se $V_1=V_2$ potrebbe essere $E_1$ diverso da $E_2$ a causa dei diversi raggi di curvatura del conduttore quindi della densità di carica superficiale.
Dov'è che non ho capito ?
Grazie !!!
Risposte
Il fatto che $V_1=V_2$ non ti dice nulla sulle differenze di potenziale nelle immediate vicinanze del parafulmine. Intorno alle punte, il potenziale varia molto più nettamente. Questo non contraddice il fatto che $V$ si possa descrivere con una equazione di Poisson; per avere un modello sufficientemente valido infatti non puoi limitarti ad imporre che $V$ sia costante sul parafulmine e a considerare lo spazio circostante come se fosse un vuoto indefinitamente esteso. Ci sono tanti altri parametri.
"dissonance":
per avere un modello sufficientemente valido infatti non puoi limitarti ad imporre che $V$ sia costante sul parafulmine e a considerare lo spazio circostante come se fosse un vuoto indefinitamente esteso. Ci sono tanti altri parametri.
Intendi dire che sul parafulmine non è vero: $\nabla(V_1-V_2)=0$ ?
Non capisco: parti da un'equazione (di Poisson) valida (come tu stesso dici) in assenza di cariche. Poi, fai un ragionamento che ti porta a considerare la presenza di una densità di carica. Le ipotesi non sembrano essere le stesse.
"K.Lomax":
Non capisco: parti da un'equazione (di Poisson) valida (come tu stesso dici) in assenza di cariche. Poi, fai un ragionamento che ti porta a considerare la presenza di una densità di carica. Le ipotesi non sembrano essere le stesse.
Ecco!! Forse è proprio lì che sbagliavo... Devo dire che non mi sono molto chiare queste eq. di Poisson..
Ma che ci faccio
? Avete qualche piccolo esempio di applicazione di queste equazioni ?Grazie!!
Approfondisci su qualche libro di elettromagnetismo. Puoi utilizzare il Franceschetti "Campi elettromagnetici" dove trovi anche una dimostrazione del teorema di unicità, del quale mi sembra ti sia stato fatto un accenno, discontinuità tra mezzi ecc. Ovviamente, è un testo universitario, non banale, e si suppone che i campi siano tempo varianti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo