Elettrostatica - Calcolo Potenziale e Campo Elettrico
Salve;
Come da titolo, sto cercando risolvere un esercizio di elettrostatica, eccolo:
Una distribuzione lineare di carica con densità $\rho_{L1} = -10 \frac{nC}{m}$ è disposta sulla retta $x=0$, $y=3m$, mentre una distribuzione con densità $\rho_{L2} = 15 \frac{nC}{m}$ è disposta sulla retta $x=0$, $y=1m$. Il piano $y=0$ è realizzato con un conduttore elettrico perfetto. Si calcoli il potenziale elettrico e il campo elettrico nel punto $P(3,3,0)$.
Ora so bene cosa comporta avere una regione dello spazio occupata da un conduttore elettrico perfetto, so anche che il potenziale dovuto da una distribuzione lineare si calcola come: $V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{L} \frac{\rho_L (r') dl'}{|R|}$; Ciò che non riesco a capire è come impostare quell'integrale per ogni singolo contributo, so che dovrei trovare una funzione del potenziale in $(x.y)$, e poi calcolare facilmente il campo $E$, ma non trovo nessun esempio nel mio libro che mi dia qualche dritta utile. Suggerimenti? Grazie in anticipo.
Come da titolo, sto cercando risolvere un esercizio di elettrostatica, eccolo:
Una distribuzione lineare di carica con densità $\rho_{L1} = -10 \frac{nC}{m}$ è disposta sulla retta $x=0$, $y=3m$, mentre una distribuzione con densità $\rho_{L2} = 15 \frac{nC}{m}$ è disposta sulla retta $x=0$, $y=1m$. Il piano $y=0$ è realizzato con un conduttore elettrico perfetto. Si calcoli il potenziale elettrico e il campo elettrico nel punto $P(3,3,0)$.
Ora so bene cosa comporta avere una regione dello spazio occupata da un conduttore elettrico perfetto, so anche che il potenziale dovuto da una distribuzione lineare si calcola come: $V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{L} \frac{\rho_L (r') dl'}{|R|}$; Ciò che non riesco a capire è come impostare quell'integrale per ogni singolo contributo, so che dovrei trovare una funzione del potenziale in $(x.y)$, e poi calcolare facilmente il campo $E$, ma non trovo nessun esempio nel mio libro che mi dia qualche dritta utile. Suggerimenti? Grazie in anticipo.
Risposte
Per un filo, $dl=dz$ ed $|R|$ è la distanza fra $P$ e l'elemento $dl$...
Ok grazie! Avrei dovuto specificarlo prima, il mio dubbio era su come interpretare il numeratore di quell'integrale.
Il fatto che $dl = dz$ ne ero convinto anch'io, ma l'integrale non dovrebbe essere in funzioni delle variabili $x$ ed $y$?
Infine, la distribuzione così scritta $\rho_L(r')$, mi fa pensare che tale sia funzione di $r'$, anche se è costante in questo caso.. Non so davvero come partire.
Il fatto che $dl = dz$ ne ero convinto anch'io, ma l'integrale non dovrebbe essere in funzioni delle variabili $x$ ed $y$?
Infine, la distribuzione così scritta $\rho_L(r')$, mi fa pensare che tale sia funzione di $r'$, anche se è costante in questo caso.. Non so davvero come partire.
Il numeratore qui è $\rho dz$ e non avrei dubbi, se mai viene fuori un integrale divergente... come fare? Forse è meglio cercare in letteratura e anche in quest forum...
Ok. In attesa di altri suggerimenti, ti ringrazio.
Mi sa che bisogna prendere fili finiti. Qui la questione è spiegata molto bene
http://www.google.it/search?hl=it-IT&ie ... 8geG3YHgDA
http://www.google.it/search?hl=it-IT&ie ... 8geG3YHgDA
Lo prenderei anche un filo finito, ma nella traccia del problema non c'è niente che indichi una lunghezza finita.
E si, prima di chiedere qui, avevo già fatto una bella ricerca in rete sull'argomento. Resto in attesa.
E si, prima di chiedere qui, avevo già fatto una bella ricerca in rete sull'argomento. Resto in attesa.
Coi fili infiniti il potenziale è infinito. Gli integrali forniscono degli arcoseniiperboloci che divergono. Se, invece, si calcola il campo elettrico, le cose sono banali... (a causa di quel conduttore piano bisognerà usare il metodo delle cariche immaginarie)
Si tratta di un esercizio da tema d'esame di un corso di elettromagnetismo applicato, quindi credo che ci sia una soluzione che non comporti la risoluzione di integrali così intricati 
Sì, so cosa comporta la presenza del conduttore elettrico perfetto.
Continuerò a ragionarci e nel frattempo Resto in attesa di altri suggerimenti.
Sì, so cosa comporta la presenza del conduttore elettrico perfetto.
Continuerò a ragionarci e nel frattempo Resto in attesa di altri suggerimenti.
Beh, sono integrali del tipo $ \int_{-L}^{+L}\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}dz$... non sono così tragici... 
Se qualcuno posta una soluzione senza quegli integrali, allora io faccio 1000 vasche con un braccio solo...
Se qualcuno posta una soluzione senza quegli integrali, allora io faccio 1000 vasche con un braccio solo...
Tralasciando per un attimo il Come risolvere certi integrali, una sua eventuale risoluzione, come può darmi un potenziale funzione di $(x,y)$ oppure in coordinate cilindriche?
Me lo chiedo perchè poi mi servirebbe per determinare il campo $\vec{E}$.
In ogni caso le risposte sono: $V(P) = - 56.5 [V]$ ; $\vec{E} = - 18.1 \vec{a}_x + 22.3 \vec{a}_y [V/m]$.
Me lo chiedo perchè poi mi servirebbe per determinare il campo $\vec{E}$.
In ogni caso le risposte sono: $V(P) = - 56.5 [V]$ ; $\vec{E} = - 18.1 \vec{a}_x + 22.3 \vec{a}_y [V/m]$.
Tenterei con un metodo diverso:
- campo e potenziale di un filo infinito uniformemente carico possono essere calcolati con il solito teorema di Gauss, ottenendo $E= \frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0 r}$ e quindi $\phi=-\frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0} \ln r$. Spero di aver posizionato bene le costanti, ai miei tempi l'elettromagnetismo si studiava in cgs e non ho mai preso confidenza con $\epsilon_0$.
- il piano conduttore suggerisce di usare il metodo delle immagini (come ha già indicato arrigo), cioè posizionare opportunamente cariche speculari in modo che il piano risulti come superficie a potenziale costante (nel caso specifico nullo).
- i calcoli numerici sembrano un po' fastidiosi, ma temo siano inevitabili
- campo e potenziale di un filo infinito uniformemente carico possono essere calcolati con il solito teorema di Gauss, ottenendo $E= \frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0 r}$ e quindi $\phi=-\frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0} \ln r$. Spero di aver posizionato bene le costanti, ai miei tempi l'elettromagnetismo si studiava in cgs e non ho mai preso confidenza con $\epsilon_0$.
- il piano conduttore suggerisce di usare il metodo delle immagini (come ha già indicato arrigo), cioè posizionare opportunamente cariche speculari in modo che il piano risulti come superficie a potenziale costante (nel caso specifico nullo).
- i calcoli numerici sembrano un po' fastidiosi, ma temo siano inevitabili
Grazie. L'espressione del campo elettrico la conoscevo, ma leggendo il testo dell'esercizio, visto che mi richiede prima il potenziale, penso che voglia sia così anche per una questione di più veloce risoluzione. Inoltre come puoi notare dalle soluzioni, suggerisce di esprimere il campo elettrico in coordinate cartesiane, ed è proprio per questo che ho subito pensato che il potenziale si possa ricavare in funzione di $(x,y)$, poi sostituire i valori $(3,3)$, trovare $V$, e dall'espressione di $V$ in $(x,y)$, ricavare il campo elettrico come il gradiente di $V$ cambiato di segno.
Spero che sia chiaro il mio ragionamento.
Spero che sia chiaro il mio ragionamento.
In effetti il campo è radiale, e puoi calcolare le componenti rispetto a un sistema di riferimento cartesiano. Eseguendo i calcoli su un foglio excel (di cui riesco a postare solo l'immagine) la soluzione è immediata:
Purtroppo temo non possiate usarlo durante l'esame, e come ho detto i calcoli sono un po' fastidiosi con una semplice calcolatrice.
Purtroppo temo non possiate usarlo durante l'esame, e come ho detto i calcoli sono un po' fastidiosi con una semplice calcolatrice.
Ottimo Cmax, hai trovato il potenziale senza quei brutti integrali. Allora ho perso la scommessa... Io cercavo una soluzione a partire dall'integrale postato all'inizio che invoca il potenziale newtoniano. Tale potenziale si annulla all'infinito. Siccome il tuo potenzale all'infinito diverge, allora il mio deve divergere al finito... Comunque, l'arcosenoiperbolico è tutto sommato un logaritmo...
Ps. In linea di principio, che senso ha chiedere in un esercizio il valore del potenziale in un punto, visto che è sempre definito a meno di una costante additivoa? Ha senso, invece, chiedere una ddp fra due punti...
Comunque, l'arcosenoiperbolico è tutto sommato un logaritmo...Ps. In linea di principio, che senso ha chiedere in un esercizio il valore del potenziale in un punto, visto che è sempre definito a meno di una costante additivoa? Ha senso, invece, chiedere una ddp fra due punti...
É vero. Tuttavia c'é un conduttore che si estende all'infinito, e puó quindi essere considerato "a massa", e una convenzione abbastanza diffusa consente di considerarlo a potenziale nullo senza necessità di precisarlo.
Ringrazio entrambi per i "contributi" datomi su questo esercizio! Non mi resta che fare una chiacchierata con il docente per dei chiarimeni definitivi. Chiudo.
datomi su questo esercizio! Non mi resta che fare una chiacchierata con il docente per dei chiarimeni definitivi. Chiudo.
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