Elettroni e buca di potenziale infinita
Ciao ragazzi, scrivo per avere qualche delucidazione sulla meccanica quantistica...quest'anno il nostro prof. ha deciso di inserirne qualche cenno nel programma di Fisica 2 (per ingegneria), ma c'è qualche passaggio che non mi è chiaro. Vengo subito al dunque...parliamo di buche di potenziale di profondità infinita. Ecco un problema che al momento non riesco a risolvere (c'è sicuramente qualcosa che devo andarmi a vedere della teoria, ma non so cosa 
):
Si consideri una buca di potenziale unidimensionale di larghezza a del tipo:
$V(x)=oo$ per $x<-a$ e $x>0$
$V(x)=V_0$ per $-a
b) Nella buca ci sono tre elettroni, che non interagiscono tra loro, ed il sistema è in uno stato di energia minima. Quanti elettroni avranno le energie $E_1$, $E_2$, $E_3$?
Ok. Per risolvere il punto a) occorre risolvere l'equazione di Schroedinger con le condizioni al contorno $\psi(0)=\psi(-a)=0$ da cui si ricavano gli autovalori $E_n=V_0+(n^2\pi^2h_-^2)/(2ma^2)$ (con $h_(-)=h/(2\pi)$ ho indicato la costante di Planck).
b) Qui vengono i problemi: cosa cambia se anzichè un elettrone sono presenti più elettroni nella buca? Cosa vuol dire che il sistema è in uno stato di energia minima? Come faccio a sapere quali stati energetici occuperanno? L'unica cosa che mi viene in mente è che essendo il sistema in uno stato di energia minima, tali elettroni occuperanno le energie più basse, ma come faccio a sapere quanti elettroni ci saranno per ogni $E_n$? C'entra forse il principio di esclusione di Pauli (qualche reminiscenza dallo studio della chimica, ma lì si parlava di atomi, qui invece?)? In questo caso 2 elettroni si troveranno nello stato $E_1$ e un elettrone nello stato $E_2$, ma è solo una supposizione, non sono sicuro che questa sia la via giusta...
):Si consideri una buca di potenziale unidimensionale di larghezza a del tipo:
$V(x)=oo$ per $x<-a$ e $x>0$
$V(x)=V_0$ per $-a
b) Nella buca ci sono tre elettroni, che non interagiscono tra loro, ed il sistema è in uno stato di energia minima. Quanti elettroni avranno le energie $E_1$, $E_2$, $E_3$?
Ok. Per risolvere il punto a) occorre risolvere l'equazione di Schroedinger con le condizioni al contorno $\psi(0)=\psi(-a)=0$ da cui si ricavano gli autovalori $E_n=V_0+(n^2\pi^2h_-^2)/(2ma^2)$ (con $h_(-)=h/(2\pi)$ ho indicato la costante di Planck).
b) Qui vengono i problemi: cosa cambia se anzichè un elettrone sono presenti più elettroni nella buca? Cosa vuol dire che il sistema è in uno stato di energia minima? Come faccio a sapere quali stati energetici occuperanno? L'unica cosa che mi viene in mente è che essendo il sistema in uno stato di energia minima, tali elettroni occuperanno le energie più basse, ma come faccio a sapere quanti elettroni ci saranno per ogni $E_n$? C'entra forse il principio di esclusione di Pauli (qualche reminiscenza dallo studio della chimica, ma lì si parlava di atomi, qui invece?)? In questo caso 2 elettroni si troveranno nello stato $E_1$ e un elettrone nello stato $E_2$, ma è solo una supposizione, non sono sicuro che questa sia la via giusta...
Risposte
Gli elettroni hanno spin $\frac{1}{2}$ e dunque sono, per il teorema di spin-statistica, fermioni, e vale dunque il principio di Pauli come avevi già intuito. Vuol dire che ogni stato quantico di particella singola può essere occupato solo da 0 o da 1 fermioni. Lo spin, invece, vuol dire, in soldoni e senza dimostrazione, che per ogni stato quantico che calcoli con una particella senza spin, avrai due stati quantici per una particella spin $\frac{1}{2}$, sostanzialmente uno con spin su e uno con spin giù. Non posso spiegarti meglio questa cosa senza entrare nei dettagli, e visto che si tratta di fisica 2 per ingegneria non mi pare proprio il caso di ammorbarti.
Il conto a questo punto è semplice: senza spin i livelli energetici erano non degeneri (un solo stato indipendente fissata l'energia), per cui moltiplichi tutti questi per due per tenere conto dello spin; lo spettro appare così:
$| 1 , \uparrow \rangle$ e $ |1 , \downarrow \rangle$, di energia $E_1$;
$| 2 , \uparrow \rangle$ e $ |2 , \downarrow \rangle$, di energia $E_2$;
... eccetera.
per costruire lo stato fondamentale del sistema totale con il numero di elettroni fisso a tre inizi a riempire gli stati di particella singola un fermione alla volta, partendo dal ground.
Quindi metterai i primi due elettroni nel livello energetico $E_1$, uno per ogni stato. Non puoi metterne di più. Il terzo elettrone va nel livello $E_2$ (che è degenere.) Lo stato dei singoli elettroni non è determinato (nel senso che non puoi dire quale elettrone ha quale verso di spin) ma quello che il problema ti chiede è ben definito, ovvero quanti elettroni hai in ogni livello energetico.
Il conto a questo punto è semplice: senza spin i livelli energetici erano non degeneri (un solo stato indipendente fissata l'energia), per cui moltiplichi tutti questi per due per tenere conto dello spin; lo spettro appare così:
$| 1 , \uparrow \rangle$ e $ |1 , \downarrow \rangle$, di energia $E_1$;
$| 2 , \uparrow \rangle$ e $ |2 , \downarrow \rangle$, di energia $E_2$;
... eccetera.
per costruire lo stato fondamentale del sistema totale con il numero di elettroni fisso a tre inizi a riempire gli stati di particella singola un fermione alla volta, partendo dal ground.
Quindi metterai i primi due elettroni nel livello energetico $E_1$, uno per ogni stato. Non puoi metterne di più. Il terzo elettrone va nel livello $E_2$ (che è degenere.) Lo stato dei singoli elettroni non è determinato (nel senso che non puoi dire quale elettrone ha quale verso di spin) ma quello che il problema ti chiede è ben definito, ovvero quanti elettroni hai in ogni livello energetico.
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