Elettrone attorno al protone e Terra attorno al Sole
I due sistemi del titolo sono due sistemi legati ed in entrambi i casi l'energia potenziale d'interazione è negativa. In entrambi i casi vale il principio di conservazione dell'energia meccanica. Se per un attimo immaginiamo che l'elettrone e la Terra arrestino il proprio moto, la loro energia cinetica si annullerebbe. Per la conservazione l'energia potenziale deve aumentare e tale aumento corrisponde ad un allontanamento dell'elettrone dal protone e della Terra dal Sole (nell'allontanamento l'energia potenziale diventa sempre meno negativa e quindi aumenta).Questo non è paradossale? In generale qual è il modo fisico più corretto per descrivere la stabilità del moto circolare sotto l'azione di forze attrattive? In giro su internet si legge che la stabilità di tali sistemi è garantita da una velocità tangenziale sufficiente ad impedire il collasso del sistema! Se volessi vederlo in formule?
Grazie.
P.S. Nel caso del sistema atomico mi riferisco al modello classico senza quindi far intervenire la meccanica quantistica.
Grazie.
P.S. Nel caso del sistema atomico mi riferisco al modello classico senza quindi far intervenire la meccanica quantistica.
Risposte
Premetto che non sono un fisico ma provo a rispondere comunque. Questo chiaramente per anticiparti il fatto che anche il mio discorso sarà infarcito di inesattezze (e me ne scuso). Penso che il ragionamento non sia corretto a diversi livelli. Prima di tutto stiamo parlando di due fenomeni completamente diversi, e se vuoi sapere "il modo fisico più corretto" per descrivere queste cose, non ci si può fermare ad una descrizione così banale, utilizzando addirittura la fisica classica per descrivere il moto di un elettrone, semplicemente non funziona così.
I pianeti si muovo su un'orbita stabile intorno al sole, è vero, ma non perchè per qualche strano motivo ai corpi piaccia muoversi lungo le ellissi, ma perchè il sole deforma lo spazio-tempo, ed i pianeti si muovono lungo la geodetica dello spazio-tempo che minimizza l'energia (a partire da determinate condizioni iniziali).
ti consiglio di guardare questo video, è molto interessante e penso possa toglierti qualche dubbio. Anzi direi che lo consiglio a tutti (tutti i profani di relatività perchè è divulgativo). È una bella discussione tra Mercadini e "Spazi Attorcigliati", ti consiglio anche di seguire il canale:
https://www.youtube.com/watch?v=RjTHITtjUPE
Per quanto riguarda l'atomo, e quì rientro un pò nelle mie competenze, le frasi "il modo fisico più corretto" e "senza quindi far intervenire la meccanica quantistica" non sono compatibili. Il modello da te descritto, in realtà, faceva acqua da tutte le parti già quando è stato proposto inizialmente da Rutherford, perchè degli elettroni che girano intorno a dei protoni, dovrebbero provocare l'emissione di onde elettromagnetiche. Quindi non vedo come si possa dare un'interpretazione corretta partendo da un modello sbagliato.
L'altro errore che fai, parlando del moto dei pianeti, è che nel tuo esperimento mentale, la terra dovrebbe fermarsi istantaneamente, per effetto di nessuna forza, e dovrebbe quindi teletrasportarsi istantaneamente in punto diverso dello spazio. Quindi da un lato vuoi che accada una cosa impossibile, dall'altro però vuoi mantenere il principio di conservazione dell'energia, a questo punto, visto che stiamo parlando di cose impossibili, potremmo anche dire "l'energia non si conserva". Il problema è che stai cercando di giustificare con il principio di conservazione dell'energia qualcosa che viola il principio stesso, perchè i corpi non smettono di muoversi se non ci agisce una forza sopra
Qui arrivo al nocciolo della mia (disordinata) risposta:
E' ovvio che così arrivi ad un paradosso, hai scelto tu di voler violare alcuni leggi fisiche e di volerne rispettare altre. È come se ti dicessi "facciamo finta che esista una macchina a moto perpetuo costruita con legno e metallo, per il principio di conservazione dell'energia quindi non ci devono essere attriti, ma come è possibile che non ci siano attriti in un macchinario di legno e metallo?"
La risposta ovviamente è che semplicemente le macchine a moto perpetuo non esistono, punto, quindi non ha senso porsi la domanda.
Il calcolo non torna, e il risultato è paradossale, semplicemente perchè questo è impossibile, viola non sò quante leggi fisiche. Inoltre se la terra fosse ferma, o meglio se avesse avuto velocità nulla come condizione iniziale (guarda il video linkato
) ovviamente verrebbe attratta dal sole sempre perchè seguirebbe semplicemente la geodetica dello spazio-tempo più "efficiente"
Correzioni di qualsiasi tipo sono più che benvenute
I pianeti si muovo su un'orbita stabile intorno al sole, è vero, ma non perchè per qualche strano motivo ai corpi piaccia muoversi lungo le ellissi, ma perchè il sole deforma lo spazio-tempo, ed i pianeti si muovono lungo la geodetica dello spazio-tempo che minimizza l'energia (a partire da determinate condizioni iniziali).
ti consiglio di guardare questo video, è molto interessante e penso possa toglierti qualche dubbio. Anzi direi che lo consiglio a tutti (tutti i profani di relatività perchè è divulgativo). È una bella discussione tra Mercadini e "Spazi Attorcigliati", ti consiglio anche di seguire il canale:
https://www.youtube.com/watch?v=RjTHITtjUPE
Per quanto riguarda l'atomo, e quì rientro un pò nelle mie competenze, le frasi "il modo fisico più corretto" e "senza quindi far intervenire la meccanica quantistica" non sono compatibili. Il modello da te descritto, in realtà, faceva acqua da tutte le parti già quando è stato proposto inizialmente da Rutherford, perchè degli elettroni che girano intorno a dei protoni, dovrebbero provocare l'emissione di onde elettromagnetiche. Quindi non vedo come si possa dare un'interpretazione corretta partendo da un modello sbagliato.
L'altro errore che fai, parlando del moto dei pianeti, è che nel tuo esperimento mentale, la terra dovrebbe fermarsi istantaneamente, per effetto di nessuna forza, e dovrebbe quindi teletrasportarsi istantaneamente in punto diverso dello spazio. Quindi da un lato vuoi che accada una cosa impossibile, dall'altro però vuoi mantenere il principio di conservazione dell'energia, a questo punto, visto che stiamo parlando di cose impossibili, potremmo anche dire "l'energia non si conserva". Il problema è che stai cercando di giustificare con il principio di conservazione dell'energia qualcosa che viola il principio stesso, perchè i corpi non smettono di muoversi se non ci agisce una forza sopra
Qui arrivo al nocciolo della mia (disordinata) risposta:
E' ovvio che così arrivi ad un paradosso, hai scelto tu di voler violare alcuni leggi fisiche e di volerne rispettare altre. È come se ti dicessi "facciamo finta che esista una macchina a moto perpetuo costruita con legno e metallo, per il principio di conservazione dell'energia quindi non ci devono essere attriti, ma come è possibile che non ci siano attriti in un macchinario di legno e metallo?"
La risposta ovviamente è che semplicemente le macchine a moto perpetuo non esistono, punto, quindi non ha senso porsi la domanda.
Il calcolo non torna, e il risultato è paradossale, semplicemente perchè questo è impossibile, viola non sò quante leggi fisiche. Inoltre se la terra fosse ferma, o meglio se avesse avuto velocità nulla come condizione iniziale (guarda il video linkato
) ovviamente verrebbe attratta dal sole sempre perchè seguirebbe semplicemente la geodetica dello spazio-tempo più "efficiente"Correzioni di qualsiasi tipo sono più che benvenute
"TS778LB":
Se per un attimo immaginiamo che l'elettrone e la Terra arrestino il proprio moto, la loro energia cinetica si annullerebbe. Per la conservazione l'energia potenziale deve aumentare e tale aumento corrisponde ad un allontanamento dell'elettrone dal protone e della Terra dal Sole
Ripeto quel che ti ha già detto Flamber, in modo magari più stringato.
Non è impossibile che la Terra (lasciamo stare l'elettrone) arresti il suo moto. Se venisse colpita nel modo giusto da un oggetto abbastanza grosso potrebbe fermarsi. Quel che non può avvenire è che questo possa avvenire gratis, senza scambio di energia. In un urto anelastico, come sai l'energia (meccanica) non si conserva. Quindi non è il caso di invocarne la conservazione. Il risultato poi non sarebbe l'allontanamento della Terra dal sole, ma proprio il contrario, la caduta della Terra sul sole.
Allora piuttosto di ammettere che si fermi all'improvviso, ipotizziamo che ci sia attrito. L'attrito avrebbe un'azione frenante con l'effetto di ridurre la velocità tangenziale del pianeta. Come si fa a far vedere che il risultato finale è una spirale di caduta sul Sole?
"TS778LB":
ipotizziamo che ci sia attrito. L'attrito avrebbe un'azione frenante con l'effetto di ridurre la velocità tangenziale del pianeta. Come si fa a far vedere che il risultato finale è una spirale di caduta sul Sole?
Una spiegazione analitica non so dartela, però qualitativamente la vedrei così: se hai un'orbita circolare, e in un momento qualsiasi riduci di un tot la velocità, il risultato è un'orbita ellittica, il cui afelio è nel punto della frenata, con una discesa verso il perielio. Se, arrivato qui, esegui un'altra frenata, il risultato è quello mantenere il perielio e di abbassare l'afelio, e, con una frenata opportuna, puoi ottenere un'orbita circolare più bassa della precedente.
Così, con due frenate per giro, ti abbassi continuamente verso il sole, con una specie di spirale.
La Stazione Spaziale Internazionale, ad esempio, non si move nel vuoto, ma subisce un lieve attrito atmosferico (a quell'altitudine chiaramente l'aria è molto rarefatta ma non del tutto assente). Per questo motivo sono necessarie correzioni periodiche che la riportino sull'orbita desiderata. Altrimenti, la sua orbita quasi perfettamente circolare, inizierebbe a ridurre il suo raggio e la SSI si ritroverebbe a spiraleggiare sempre meno lentamente verso la terra fino a cadere al suolo.
Si ricavando le equazioni orarie del moto a partire dall'equazione della legge di gravitazione universale di Newton (che poi tanto universale non è ) e aggiungendoci la presenza di una forza d'attrito, e da date condizioni iniziali.
Ricavando la traiettoria dalla legge oraria, non ottieni più un'orbita ellittica stabile, ma una specie di "spirale" che punta verso il centro della terra. Se ti vuoi addentrare nel calcolo armati di pazienza, è un buon modo di passare il tempo in quarantena.
Per una risposte "veloce" in termini classici, guarda queste dispense, la matematica è abbastanza semplice:
http://tesi.cab.unipd.it/50572/1/tesi_ghetti.pdf
Nelle prime pagine trovi tutto quello che ti serve per chiarire i tuoi dubbi. In più a pagina 27 trovi una piccola trattazione del trasferimento alla Hohmann:
"[...] Hohmann studiò un metodo per permettere ad un oggetto di trasferirsi da un’orbita a maggiore energia specifica ad un’altra a minore attraverso una minima variazione di velocità al perigeo. [...]"
Come si fa a far vedere che il risultato finale è una spirale di caduta sul Sole?
Si ricavando le equazioni orarie del moto a partire dall'equazione della legge di gravitazione universale di Newton (che poi tanto universale non è
) e aggiungendoci la presenza di una forza d'attrito, e da date condizioni iniziali.Ricavando la traiettoria dalla legge oraria, non ottieni più un'orbita ellittica stabile, ma una specie di "spirale" che punta verso il centro della terra. Se ti vuoi addentrare nel calcolo armati di pazienza, è un buon modo di passare il tempo in quarantena.
Per una risposte "veloce" in termini classici, guarda queste dispense, la matematica è abbastanza semplice:
http://tesi.cab.unipd.it/50572/1/tesi_ghetti.pdf
Nelle prime pagine trovi tutto quello che ti serve per chiarire i tuoi dubbi. In più a pagina 27 trovi una piccola trattazione del trasferimento alla Hohmann:
"[...] Hohmann studiò un metodo per permettere ad un oggetto di trasferirsi da un’orbita a maggiore energia specifica ad un’altra a minore attraverso una minima variazione di velocità al perigeo. [...]"
Ciao. Le equazioni che si ottengono sono non lineari quindi trovare la soluzione è decisamente problematico. La dimostrazione più rapida passa attraverso una scrittura del problema in coordinate polari (immaginando il moto planare) ed una integrazione nel campo complesso al fine di ottenere l'equazione parametrica tipica delle spirali. Non credo che mostrarlo analiticamente aiuti molto in questo contesto, per essere apprezzato richiede una buona dose di conoscenza matematica altrimenti rimane una formula vuota. Le spiegazioni a braccio date fino ad ora credo siano più utili. Solo una precisazione sull'incipit. Un elettrone non gira attorno al protone, spiralizzerebbe in ogni caso, anche in assenza di qualunque attrito o altri agenti esterni. E' il motivo per cui è nata la meccanica quantistica.
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