E se Jesse Owens fosse saltato a Melbourne.

[StellaMartensitica]

Scusate ho un dubbio sul seguente problema:

Nota la formula della gittata del proiettile:

$R=(V_0^2*sen(2\theta))/(g)$

(proiettile di velocita iniziale $V_0$ e angolo di proiezione $\theta$)

1)Dimostrare che se l'accelerazione di gravità varia di $dg$ allora la gittata varia di $dR$ con $(dR)/R=-(dg)/g$
2) Nel '36 Jesse Owens (Stati Uniti) stabilì il record mondiale di salto in lungo di $8,09m$ ai giochi olimpici di Berlino dove $g=9,8128ms^(-2)$

Che differenza ci sarebbe stata nel salto record se egli si fosse cimentato invece a Melbourne nel '66, dove $g=9,7999m/s^(-2)$

Il primo punto l'ho fatto perché è facile. Il secondo mi viene un $dR=0,0106m$ però il libro mi dice che sono "in meno" cioè che Jesse Owens avrebbe fatto un salto più corto a Melbourne rispetto alla performance a Berlino. Ma come mai il salto è più corto se g è leggermente minore? Io avrei detto che era più lungo anche perché $g$ è al denominatore della formula.

[professorkappa]

C'e' un segno meno: al diminuire di g (dg<0) corrisponde un aumento di R, perche $dR=-R/gdg$.
Prova a postare esattamente quello che dice il libro

[StellaMartensitica]

Ma infatti secondo me è un refuso ma non ero sicuro. Dopo riporterò il testo dell'esercizio completo.

Grazie della risposta

[StellaMartensitica]

Riporto il testo integrale:
Esercizio 59
a)Dimostrare che se l'accelerazione di gravità cambia di una quantità $dg$ la gittata di un proiettile di velocità iniziale $v_0$ ed angolo di proiezione $\theta_0$ cambia di $dR$ dove $(dR)/R=-(dg)/g$
b)Se l'accelerazione di gravità cambia di una piccola wiantità $\Deltag$ (per esempio tra un punto e l'altro della terra) la gittata di un dato proiettile cambia pure. Sia la variazione di gittata $\DeltaR$, se $\Deltag, \DeltaR$ sono abbastanza piccoli, possiamo scrivere $(\DeltaR)/R=-(\Deltag)/g$. Nel $"1936"$ Jesse Owens (Stati Uniti) stabilì il record mondiale di salto in lungo di $8,09m$ ai giochi olimpici di Berlino dove $g=9,8128m/(sec^2)$. Che differenza ci sarebbe stata nel suo salto record se egli si fosse cimentato invece a Melbourne nel $"1966"$, dove $g=9,7999m/(sec^2)$?

Soluzioni:
a) La gittata $R=(v_0^2)/g*sen(2*\theta_0)$.

Se $g$ varia di $dg$ si ha una gittata $R^("*")=R+dR$

Da cui $R*g+g*dR+R*dg+dR*dg=R*g$
essendo $dR, dg$ piccoli:

$(dR)/R=-(dg)/g$

b) Dalla $(\DeltaR)/R=-(\Deltag)/g$ la differenza nel salto sarebbe stata $\DeltaR=-R*(\Deltag)/g$

Cioè essendo $R=8,09m$, $\Deltag=9,8128-9,7999=0,0129m/(sec^2)$

$\DeltaR=-0,0106m$

Quindi la differenza di salto sarebbe stata di $1,06 cm$ in meno

[Palliit]

Nel 1966 Jesse Owens aveva 53 anni, per forza se fosse andato a Melbourne avrebbe saltato peggio di trent'anni prima.


Comunque mi pare evidente che è una bufala del testo.

Tra l'altro, puoi arrivare più rapidamente alla relazione: $(dR)/R=-(dg)/g$ considerando che per $v_0$ e $sin 2 vartheta$ fissati risulta $R*g="costante"$, quindi $d(R*g)=0" "to" "Rdg+gdR=0$ , da cui la conclusione.

Comunque mi pare di capire che ci sia un errore nell'uso che fai del simbolo $Delta$: se indichi con pedice $B$ e $M$ rispettivamente le gittate e i valori di $g$ a Berlino e a Melbourne, allora $DeltaR=R_M-R_B$ e conseguentemente: $Delta g=g_M-g_Bapprox-0.013 "m/s"^2$, il che comporta evidentemente un $DeltaR$ maggiore di zero, alias $R_M>R_B$.

[StellaMartensitica]

Si mi sembrava anche concettualmente che non stesse in piedi il discorso, cioè che la gittata diminuisce se diminuisce $g$.
Però siccome era scritto su un testo volevo accertarmi che fosse effettivamente un errore.
Grazie a tutti delle risposte.