Due sfere - tre molle
Ciao !
mi sono iscritta oggi e ho letto subito il regolamento, ma devo ancora allenare la tecnica... non sgridatemi troppo se sbaglio qualcosa !
Sto svolgendo esercizio che in parte credo di aver capito, ma avrei bisogno ancora di qualche sapiente imbeccata.
Praticamente ho due sfere collegate da tre molle lungo una "filo" che le tiene inclinate di un angolo $alpha$ come illustrato in figura:
le molle esterne hanno costante elastica $k_1$ mentre la molla centrale ha costante elastica $k_2$. A riposo le molle hanno lunghezza $l/3$.
Io devo:
- formulare le equazioni dei vincoli
- introdurre le coordinate generalizzate $q_1$ e $q_2$
- individuare la lagrangiana e le equazioni del moto
Per quanto riguarda le equazioni del vincoli nel piano $x,y$ ho pensato che le masse debbano rimanere lungo il "filo" quindi
$y_1/x_1 = tan alpha$ e $y_2/x_2 = tan alpha$
è giusto o avrei dovuto scegliere qualcos'altro ?
Come coordinate generalizzate ho preso la differenza tra la posizione generica della sfera e la sua posizione di riposo, ergo:
$q_1 = x_1 - 2/3 l$ e $q_2 = x_2 - 1/3 l$
Energia cinetica:
$T = 1/2 m (dot(q)_1^2 + dot(q)_2^2)$
Energia potenziale:
$U = 1/2 (k_1 q_1^2 + k_1 q_2^2 + k_2(q_2-q_1)^2) + mg(2/3 l - q_1) + mg(1/3 l - q_2)$
Lagrangiana:
$L = 1/2 m (dot(q)_1^2 + dot(q)_2^2) -1/2 (k_1 q_1^2- k_1 q_2^2 -k_2(q_2-q_1)^2) -mg(l - q_1 - q_2 ) $
Ci siamo ?
Usando le equazioni di Eulero-Lagrange ottengo:
$d/(dt) ( (partial L)/(partial dot(q)_1) ) - (partial L)/(partial q_1) = 0 \Rightarrow ddot(q)_1 m+q_1 (k_1+k_2)-k_2 q_2-mg=0$
e analogamente
$ddot(q)_2m+k_1 q_2+q_2 k_2-k_2 q_1-mg=0$
finora mi sembra tutto ok.
Ora devo considerare il moto in coordinate cartesiane e utilizzare le equazioni dei vincoli con i moltiplicatori di Lagrange per determinare le equazioni del moto in coordinate cartesiane arrivando a sei equazioni in sei incognite.
Qui iniziano i problemi...
Esprimo per mezzo di Pitagora la variazione rispetto alla posizione di riposo di una pallina in coordinate cartesiase:
$q = sqrt(Delta x^2 + Delta y^2)$ con $Delta x = x- l/3 cos alpha$ e $Delta y = y- l/3 sin alpha$
Vincoli con i moltiplicatori di Lagrange:
$g^I = lambda_1 (y_1/x_1-tan alpha)$
$g^(II) = lambda_2 (y_2/x_2-tan alpha)$
Ottengo una lagrangiana (lunghissima):
$L = 1/2 m (dot(x_1)^2 + dot(y_1)^2 + dot(x_2)^2 + dot(y_2)^2) - 1/2 k_1 ( (x_1 - 2/3 l cos alpha)^2 + (y_1 - 2/3 l sin alpha)^2 ) +$
$- 1/2 k_1 ((x_2 - 1/3 l cos alpha)^2+(y_2- 1/3 l sin alpha)^2) + $
$-1/2 k_2 (sqrt((x_1-2/3 l cos alpha)^2+(y_1-2/3 l sin alpha)^2)-sqrt((x_1-2/3 l cos alpha)^2+(y_1-2/3 l sin alpha)^2 )) +$
$ - mgy_1-mgy_2+lambda_1(y_1/x_1-tan alpha)+lambda_2(y_2/x_2- tan alpha)$
Approdo a queste sei equazioni:
(1) $ddot(x)_1 m+2k_1 x_1-l k_1 cos alpha - 1/4 k_2 [(x_1-2/3 l cos alpha)^2+(y_1-2/3 l sin alpha)^2 ]^(-1/2) (2 x_1-4/3 l cos alpha)+y_1/(x_1^2 ) lambda_1 = 0$
(2) $ddot(y)_1 m+2k_1 y_1-l k_1 sin alpha +1/4 k_2 [(x_1-2/3 l cos alpha)^2+(y_1-2/3 l sin alpha)^2]^(-1/2) (2x_1-2/3 l cos alpha)+mg-(lambda_1)/x_1 = 0$
(3) $ddot(x)_2 m+1/2 k_1 [(x_2-2/3 l cos alpha)^2+(y_2-2/3 l cos alpha)^2 ]^(-1/2)⋅(x_2-1/3 l cos alpha)+y_2/(x_2^2) lambda^2 = 0$
(4) $ddot(y)_2 m+1/2 k_1 [(x_2-2/3 l cos alpha)^2+(y_2-2/3 l cos alpha)^2]^(-1/2)⋅(y_2-1/3 l cos alpha)+mg+(lambda_2)/x_2 =0$
(5) $ y_1/x_1 -tan alpha=0$
(6) $ y_2/x_2 -tan alpha=0$
(ovviamente cosiderando $lambda_1$ e $lambda_2$ come funzioni di $t$).
Adesso dovrei risolvere il sistema per ricavare $lambda_1$ e $lambda_2$ ma non ho idea di come fare.
Idee ?
Grazie anche solo di aver letto tutto fino in fondo.
mi sono iscritta oggi e ho letto subito il regolamento, ma devo ancora allenare la tecnica... non sgridatemi troppo se sbaglio qualcosa !
Sto svolgendo esercizio che in parte credo di aver capito, ma avrei bisogno ancora di qualche sapiente imbeccata.
Praticamente ho due sfere collegate da tre molle lungo una "filo" che le tiene inclinate di un angolo $alpha$ come illustrato in figura:
le molle esterne hanno costante elastica $k_1$ mentre la molla centrale ha costante elastica $k_2$. A riposo le molle hanno lunghezza $l/3$.
Io devo:
- formulare le equazioni dei vincoli
- introdurre le coordinate generalizzate $q_1$ e $q_2$
- individuare la lagrangiana e le equazioni del moto
Per quanto riguarda le equazioni del vincoli nel piano $x,y$ ho pensato che le masse debbano rimanere lungo il "filo" quindi
$y_1/x_1 = tan alpha$ e $y_2/x_2 = tan alpha$
è giusto o avrei dovuto scegliere qualcos'altro ?
Come coordinate generalizzate ho preso la differenza tra la posizione generica della sfera e la sua posizione di riposo, ergo:
$q_1 = x_1 - 2/3 l$ e $q_2 = x_2 - 1/3 l$
Energia cinetica:
$T = 1/2 m (dot(q)_1^2 + dot(q)_2^2)$
Energia potenziale:
$U = 1/2 (k_1 q_1^2 + k_1 q_2^2 + k_2(q_2-q_1)^2) + mg(2/3 l - q_1) + mg(1/3 l - q_2)$
Lagrangiana:
$L = 1/2 m (dot(q)_1^2 + dot(q)_2^2) -1/2 (k_1 q_1^2- k_1 q_2^2 -k_2(q_2-q_1)^2) -mg(l - q_1 - q_2 ) $
Ci siamo ?
Usando le equazioni di Eulero-Lagrange ottengo:
$d/(dt) ( (partial L)/(partial dot(q)_1) ) - (partial L)/(partial q_1) = 0 \Rightarrow ddot(q)_1 m+q_1 (k_1+k_2)-k_2 q_2-mg=0$
e analogamente
$ddot(q)_2m+k_1 q_2+q_2 k_2-k_2 q_1-mg=0$
finora mi sembra tutto ok.
Ora devo considerare il moto in coordinate cartesiane e utilizzare le equazioni dei vincoli con i moltiplicatori di Lagrange per determinare le equazioni del moto in coordinate cartesiane arrivando a sei equazioni in sei incognite.
Qui iniziano i problemi...
Esprimo per mezzo di Pitagora la variazione rispetto alla posizione di riposo di una pallina in coordinate cartesiase:
$q = sqrt(Delta x^2 + Delta y^2)$ con $Delta x = x- l/3 cos alpha$ e $Delta y = y- l/3 sin alpha$
Vincoli con i moltiplicatori di Lagrange:
$g^I = lambda_1 (y_1/x_1-tan alpha)$
$g^(II) = lambda_2 (y_2/x_2-tan alpha)$
Ottengo una lagrangiana (lunghissima):
$L = 1/2 m (dot(x_1)^2 + dot(y_1)^2 + dot(x_2)^2 + dot(y_2)^2) - 1/2 k_1 ( (x_1 - 2/3 l cos alpha)^2 + (y_1 - 2/3 l sin alpha)^2 ) +$
$- 1/2 k_1 ((x_2 - 1/3 l cos alpha)^2+(y_2- 1/3 l sin alpha)^2) + $
$-1/2 k_2 (sqrt((x_1-2/3 l cos alpha)^2+(y_1-2/3 l sin alpha)^2)-sqrt((x_1-2/3 l cos alpha)^2+(y_1-2/3 l sin alpha)^2 )) +$
$ - mgy_1-mgy_2+lambda_1(y_1/x_1-tan alpha)+lambda_2(y_2/x_2- tan alpha)$
Approdo a queste sei equazioni:
(1) $ddot(x)_1 m+2k_1 x_1-l k_1 cos alpha - 1/4 k_2 [(x_1-2/3 l cos alpha)^2+(y_1-2/3 l sin alpha)^2 ]^(-1/2) (2 x_1-4/3 l cos alpha)+y_1/(x_1^2 ) lambda_1 = 0$
(2) $ddot(y)_1 m+2k_1 y_1-l k_1 sin alpha +1/4 k_2 [(x_1-2/3 l cos alpha)^2+(y_1-2/3 l sin alpha)^2]^(-1/2) (2x_1-2/3 l cos alpha)+mg-(lambda_1)/x_1 = 0$
(3) $ddot(x)_2 m+1/2 k_1 [(x_2-2/3 l cos alpha)^2+(y_2-2/3 l cos alpha)^2 ]^(-1/2)⋅(x_2-1/3 l cos alpha)+y_2/(x_2^2) lambda^2 = 0$
(4) $ddot(y)_2 m+1/2 k_1 [(x_2-2/3 l cos alpha)^2+(y_2-2/3 l cos alpha)^2]^(-1/2)⋅(y_2-1/3 l cos alpha)+mg+(lambda_2)/x_2 =0$
(5) $ y_1/x_1 -tan alpha=0$
(6) $ y_2/x_2 -tan alpha=0$
(ovviamente cosiderando $lambda_1$ e $lambda_2$ come funzioni di $t$).
Adesso dovrei risolvere il sistema per ricavare $lambda_1$ e $lambda_2$ ma non ho idea di come fare.
Idee ?
Grazie anche solo di aver letto tutto fino in fondo.
Risposte
"Nausicaa":
Ora devo considerare il moto in coordinate cartesiane e utilizzare le equazioni dei vincoli con i moltiplicatori di Lagrange per determinare le equazioni del moto in coordinate cartesiane arrivando a sei equazioni in sei incognite.
La consegna non lo richiede. Anzi, dice esplicitamente di introdurre le coordinate generalizzate. Insomma, il sistema ha due gradi di libertà. L'esercizio è finito quando hai determinato le equazioni di Lagrange per $[q_1]$ e $[q_2]$.
Ciao !
No , purtroppo lo richiede.
Non ho inventato io quel passaggio ! Grazie lo stesso di aver letto tutto
No , purtroppo lo richiede.
Non ho inventato io quel passaggio ! Grazie lo stesso di aver letto tutto
"Nausicaa":
Grazie lo stesso di aver letto tutto
Veramente, quella parte non l'ho letta. In ogni modo, mi sembra che tu stia confondendo questa Lagrangiana con quella che si utilizza nei problemi di estremo vincolato. Sono due cose diverse. A meno che, tu non debba procedere secondo lo schema di questa risorsa: http://www.dimnp.unipi.it/gabiccini-m/R ... colata.pdf
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