Due sfere legate ad una molla vengono lasciate cadere
Due sfere identiche di massa m sono legate ad una molla, la cui lunghezza a riposo è l. L'intero sistema è in caduta libera verso terra con le due sfere allineate lungo il prolungamento del raggio terrestre. La molla a costante elastica k. Dire di quanto la molla si trova allungata nel momento in cui la più vicina delle sfere si trova ad un'altezza h rispetto alla superficie terrestre.
Il mio "dilemma" è il seguente: è necessario considerare legge di conservazione dell'energia, tenendo in cosiderazione l'energia elastica spesa dalla molla, oppure, dal momento che il sistema è in caduta libera, tenere presente soltanto la seconda legge della dinamica e il moto di caduta libera di un grave, pertanto osservando che la distanza tra le due sfere non cambi?
grazie per l'aiuto e le eventuali motivazioni
Il mio "dilemma" è il seguente: è necessario considerare legge di conservazione dell'energia, tenendo in cosiderazione l'energia elastica spesa dalla molla, oppure, dal momento che il sistema è in caduta libera, tenere presente soltanto la seconda legge della dinamica e il moto di caduta libera di un grave, pertanto osservando che la distanza tra le due sfere non cambi?
grazie per l'aiuto e le eventuali motivazioni
Risposte
"bad.alex":
Due sfere identiche di massa m sono legate ad una molla, la cui lunghezza a riposo è l. L'intero sistema è in caduta libera verso terra con le due sfere allineate lungo il prolungamento del raggio terrestre. La molla a costante elastica k. Dire di quanto la molla si trova allungata nel momento in cui la più vicina delle sfere si trova ad un'altezza h rispetto alla superficie terrestre.
Il mio "dilemma" è il seguente: è necessario considerare legge di conservazione dell'energia, tenendo in cosiderazione l'energia elastica spesa dalla molla, oppure, dal momento che il sistema è in caduta libera, tenere presente soltanto la seconda legge della dinamica e il moto di caduta libera di un grave, pertanto osservando che la distanza tra le due sfere non cambi?
grazie per l'aiuto e le eventuali motivazioni
La distanza non cambierebbe se l è "abbastanza piccolo", altrimenti devi tener conto che la sfera più vicina è attratta di più di quella più lontana per la legge di gravitazione universale.
"Faussone":
La distanza non cambierebbe se l è "abbastanza piccolo", altrimenti devi tener conto che la sfera più vicina è attratta di più di quella più lontana per la legge di gravitazione universale.
l risulta essere 2000 km. Non tanto piccolo, mentre m 3 tonnellate. h invece è 200 km. Quindi dovrei tenere in considerazione la legge di gravitazione universale. Quindi, la formula da applicare quale sarebbe?
"bad.alex":
[quote="Faussone"]
La distanza non cambierebbe se l è "abbastanza piccolo", altrimenti devi tener conto che la sfera più vicina è attratta di più di quella più lontana per la legge di gravitazione universale.
l risulta essere 2000 km. Non tanto piccolo, mentre m 3 tonnellate. h invece è 200 km. Quindi dovrei tenere in considerazione la legge di gravitazione universale. Quindi, la formula da applicare quale sarebbe?[/quote]
E' un problema molto interessante.
Puoi risolverlo utilizzando la nozione di massa ridotta, oppure (ancora meglio per fare esercizio) puoi cercare di scrivere direttamente le equazioni della dinamica per le due masse. NB: Puoi trascurare l'attrazione gravitazionale fra le due masse.
"Faussone":
[quote="bad.alex"][quote="Faussone"]
La distanza non cambierebbe se l è "abbastanza piccolo", altrimenti devi tener conto che la sfera più vicina è attratta di più di quella più lontana per la legge di gravitazione universale.
l risulta essere 2000 km. Non tanto piccolo, mentre m 3 tonnellate. h invece è 200 km. Quindi dovrei tenere in considerazione la legge di gravitazione universale. Quindi, la formula da applicare quale sarebbe?[/quote]
E' un problema molto interessante.
Puoi risolverlo utilizzando la nozione di massa ridotta, oppure (ancora meglio per fare esercizio) puoi cercare di scrivere direttamente le equazioni della dinamica per le due masse. NB: Puoi trascurare l'attrazione gravitazionale fra le due masse.[/quote]
faussone, purtroppo non sono riuscito a svolgerlo. Tuttavia, dal momento che sono interessato alla soluzione, al procedimento, risolvo altri e poi ritorno su questo. Grazie per l'aiuto.
e il "de coccio" torna su questo problema.
Provo a ragionare in questo modo, pur ritenendo sbagliato 'approccio: sulla sfera più vicina alla Terra agiscono la forza gravitazionale F_1 , che tende ad accelerarla verso la Terra, e la forza elastica della molla, T che tende a frenarla. E fin qui dovrei esserci. Sull’altra sfera,invece, sia la forza gravitazionale F_2 che la forza della molla (- T ), provocano un’accelerazione verso la Terra.
Se si ha deformazione,allora si deve quindi verificare che
F_1 – T = F_2+T cioè:
T = (F_1 – F_2 ) / 2
una volta trovata T e nota k, non mi resta che trovare la deformazione/allungamento.
E' sbagliato?
avevo inoltre fatto altre considerazioni in proposito, ma non so se sono corrette:
la forza gravitazionale $F(r) = (G*M_t*m)/r^2$
dove $M_t$ e' la massa della terra e $R_t$ e' il raggio della terra -> $ g = G*M_t/R_t^2$
L'energia potenziale sara'
$U(r) = -G*M_t*m/r = -g*m*R_t/r$ (per semplificarmi i calcoli)
Quando$ m_1 $si trova ad altezza h,$ m_2$ sara' ad altezza $ h+l_1$ dove $l_1 $ e' la lunghezza della molla in caduta.
Ovvero:
$l_1 = l+d$
(cioe' lunghezza molla = lunghezza a riposo + allungamento- il classico delta x ).
L'energia potenziale della molla e'
$E = 1/2*k*d^2$ con k costante elastica.
L'energia finale del sistema:
$E_f = - g*m*R_t/(h+R_t) - g*m*R_t/(h+R_t+l+d) +1/2 *k*d^2$ (posso aver sbagliato a sostituire ma mi interessa il metodo)
con$ r = h+Rt$ (perchè non ho a priori r)
L'energia si conserva --> energia finale e' zero --> dalla precedente equazione, ponendo E_fin=0 trovo l'allungamento della molle, che in teoria dovrebbe essere molto più piccolo del raggio terrestre.
E' giusto o ho sbagliato qualcosa?
torna su questo problema. Provo a ragionare in questo modo, pur ritenendo sbagliato 'approccio: sulla sfera più vicina alla Terra agiscono la forza gravitazionale F_1 , che tende ad accelerarla verso la Terra, e la forza elastica della molla, T che tende a frenarla. E fin qui dovrei esserci. Sull’altra sfera,invece, sia la forza gravitazionale F_2 che la forza della molla (- T ), provocano un’accelerazione verso la Terra.
Se si ha deformazione,allora si deve quindi verificare che
F_1 – T = F_2+T cioè:
T = (F_1 – F_2 ) / 2
una volta trovata T e nota k, non mi resta che trovare la deformazione/allungamento.
E' sbagliato?
avevo inoltre fatto altre considerazioni in proposito, ma non so se sono corrette:
la forza gravitazionale $F(r) = (G*M_t*m)/r^2$
dove $M_t$ e' la massa della terra e $R_t$ e' il raggio della terra -> $ g = G*M_t/R_t^2$
L'energia potenziale sara'
$U(r) = -G*M_t*m/r = -g*m*R_t/r$ (per semplificarmi i calcoli)
Quando$ m_1 $si trova ad altezza h,$ m_2$ sara' ad altezza $ h+l_1$ dove $l_1 $ e' la lunghezza della molla in caduta.
Ovvero:
$l_1 = l+d$
(cioe' lunghezza molla = lunghezza a riposo + allungamento- il classico delta x ).
L'energia potenziale della molla e'
$E = 1/2*k*d^2$ con k costante elastica.
L'energia finale del sistema:
$E_f = - g*m*R_t/(h+R_t) - g*m*R_t/(h+R_t+l+d) +1/2 *k*d^2$ (posso aver sbagliato a sostituire ma mi interessa il metodo)
con$ r = h+Rt$ (perchè non ho a priori r)
L'energia si conserva --> energia finale e' zero --> dalla precedente equazione, ponendo E_fin=0 trovo l'allungamento della molle, che in teoria dovrebbe essere molto più piccolo del raggio terrestre.
E' giusto o ho sbagliato qualcosa?
io ho provato a scriverle così: (ma sei certo che le due forze sono uguali?)
$m*a_1=m*g_1-k*x$,
$m*a_2=m*g_2+k*x$
dove
$g_1=(g*R^2)/(R+h)^2$
$g_2=(g*R^2)/(R+h+l+x)^2$
con $R$=raggio della Terra, $g$=accelerazione gravitazionale sulla superficie terrestre.
spero di essere stata utile. ciao.
EDIT: avevo letto il tuo messaggio molto più ridotto...
$m*a_1=m*g_1-k*x$,
$m*a_2=m*g_2+k*x$
dove
$g_1=(g*R^2)/(R+h)^2$
$g_2=(g*R^2)/(R+h+l+x)^2$
con $R$=raggio della Terra, $g$=accelerazione gravitazionale sulla superficie terrestre.
spero di essere stata utile. ciao.
EDIT: avevo letto il tuo messaggio molto più ridotto...
Si, ho aggiunto dopo. 
Ti ringrazio, Ada. Lo sei stata, come sempre. Grazie di cuore.
Buona notte, alex
Ti ringrazio, Ada. Lo sei stata, come sempre. Grazie di cuore.Buona notte, alex
prego. buona notte.
mmm .....
non credo che sia corretto. NB il sistema è in caduta libera....
Se la molla è sufficientemente rigida ti consiglio questo:
1) risolvi il moto considerando la molla infinitamente rigida e troverai una certa accelerazione di caduta
2) a questo punto assumi che la legge di moto di entrambe le masse segua quella legge (in pratica stai trascurando l'oscillazione della molla) e allora puoi imporre la legge di Newton.
Se invece la molla è deformabile significativamente il problema non è elementare e dovrebbero essere specificate le condizioni iniziali in cui il sistema viene liberato (in particoalre la lunghezza iniziale della molla). Pertanto, non credo che tutto qusto sia quanto richiesto, anche se ovviamente dipende dal contesto in cui l'esercizio (peraltro poco verosimile) è stato assegnato.
ciao
non credo che sia corretto. NB il sistema è in caduta libera....
Se la molla è sufficientemente rigida ti consiglio questo:
1) risolvi il moto considerando la molla infinitamente rigida e troverai una certa accelerazione di caduta
2) a questo punto assumi che la legge di moto di entrambe le masse segua quella legge (in pratica stai trascurando l'oscillazione della molla) e allora puoi imporre la legge di Newton.
Se invece la molla è deformabile significativamente il problema non è elementare e dovrebbero essere specificate le condizioni iniziali in cui il sistema viene liberato (in particoalre la lunghezza iniziale della molla). Pertanto, non credo che tutto qusto sia quanto richiesto, anche se ovviamente dipende dal contesto in cui l'esercizio (peraltro poco verosimile) è stato assegnato.
ciao
"mircoFN":
non credo che sia corretto. NB il sistema è in caduta libera....
Se la molla è sufficientemente rigida ti consiglio questo:
1) risolvi il moto considerando la molla infinitamente rigida e troverai una certa accelerazione di caduta
2) a questo punto assumi che la legge di moto di entrambe le masse segua quella legge (in pratica stai trascurando l'oscillazione della molla) e allora puoi imporre la legge di Newton.
ciao
non ho ben capito il punto 1)
Due punti separati da una certa distanza e soggetti alla gravità risentono di due forze note. La risultante accelera il sistema. Se questo è rigido l'accelerazione del CM è la stessa dei due punti ....
"mircoFN":capito.
Due punti separati da una certa distanza e soggetti alla gravità risentono di due forze note. La risultante accelera il sistema. Se questo è rigido l'accelerazione del CM è la stessa dei due punti ....
Scusami, ma dal momento che sono state postate diverse soluzioni, almeno una è corretta oppure no,quindi da rifare il tutto?
questo problema mi ha creato una confusione incredibile.
Penso che tu possa a questo punto fare i calcoli da solo, a prima vista non mi sembra che altre soluzioni siano complete
"mircoFN":
Penso che tu possa a questo punto fare i calcoli da solo, a prima vista non mi sembra che altre soluzioni siano complete
ok....mi metto subito all'opera. Grazie infinite a tutti voi per l'aiuto e la pazienza.
alex
In effetti le equazioni le puoi scrivere (intanto questo è un buon esercizio) ma la soluzione analitica non è semplice come ha detto mircoFN, a meno appunto di non semplificare in qualche modo il problema facendo delle approssimazioni.
Beh, l'approssimazione l'ho suggerita.... ovvero considerare poco deformabile la molla in prima approssimazione. In questo modo l'equazione risolvente mi sembra abbordabile.
Se si vuole abbandonare tale ipotesi il problema è fisicamente uguale e solo algebricamente un po' più complicato (equazione di terzo grado?).
Se si vuole abbandonare tale ipotesi il problema è fisicamente uguale e solo algebricamente un po' più complicato (equazione di terzo grado?).
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