Due recipienti comunicanti
Salve,
mi trovo davanti un esercizieto banale, chiedo un parere sulla esattezza della mia soluzione.
Grazie
mi trovo davanti un esercizieto banale, chiedo un parere sulla esattezza della mia soluzione.
Grazie
Risposte
Il primo risultato va bene, anche se io avrei fatto diversamente : il diagramma delle pressioni idrostatiche sulla parete alta $h$ è triangolare, la parte intercettata dai piani orizzontali che delimitano il volume di destra è un trapezio alto $d$ . io avrei scritto :
$F = d\int_(h-d)^h\rhogydy =………= 1/2\rhogd^2(2h-d)$ .
Per quanto riguarda la seconda parte, tieni presente che la forza $F$ non è costante. Infatti, per uno spostamento $ds$ del pistone e quindi una variazione di volume $dV = d^2ds$ , il livello $h$ nel recipiente di sinistra aumenta anch'esso di $ds$ , vista la geometria. Per cui, $F$ aumenta.
$F = d\int_(h-d)^h\rhogydy =………= 1/2\rhogd^2(2h-d)$ .
Per quanto riguarda la seconda parte, tieni presente che la forza $F$ non è costante. Infatti, per uno spostamento $ds$ del pistone e quindi una variazione di volume $dV = d^2ds$ , il livello $h$ nel recipiente di sinistra aumenta anch'esso di $ds$ , vista la geometria. Per cui, $F$ aumenta.
Quindi il lavoro per spingere il pistone di un tratto pari a d/2 è la somma di due contributi
uno dovuto allo spostamento del punto di applicazione di F per d/2
più uno dovuto all'innalzamento della colomìnna di liquido di sinistra di un tratto sempre pari a d/2?
$L = L_1+L_2$
dove $L_1=(1/2)rhogd^3(d/2) =(1/4)rhogd^4$ e $L_2=..$?
uno dovuto allo spostamento del punto di applicazione di F per d/2
più uno dovuto all'innalzamento della colomìnna di liquido di sinistra di un tratto sempre pari a d/2?
$L = L_1+L_2$
dove $L_1=(1/2)rhogd^3(d/2) =(1/4)rhogd^4$ e $L_2=..$?
Io ho fatto così.
Ho chiamato $h_i$ l'altezza iniziale del liquido , quella che il problema chiama $h$ .
Quindi la forza "iniziale" prima determinata vale :
$F_i = 1/2\rhogd^2(2h_i -d) = \rhogd^2h_i -1/2\rhogd^3$
Quando il pistone si è spostato di $d/2$ , l'altezza del liquido nel serbatoio di destra è diventata $h_f = h_i + d/2$ . Corrispondentemente , la forza finale occorrente per tener fermo il pistone vale :
$F_f = 1/2\rhogd^2(2h_f -d)$ , dove $h_f$ è quella prima detta.
Siccome la pressione a una profondità qualsiasi aumenta linearmente con l'aumentare dell'altezza da $h_i$ ad $h_f$ , anche la forza aumenta linearmente. Percio, se ne può considerare il valore medio :
$F_m = 1/2(F_i + F_f) $ , dove sostituendo i valori si trova : $ F_m = \rhogd^2h_i - 1/4\rhogd^3$ .
Il lavoro si può calcolare come prodotto della $F_m$ per lo spostamento $d/2 $ : fai i conti , e ti trovi col risultato del libro:
$L = 1/2\rhogd^3(h_i - d/4) $ .
Direi che è una applicazione banale del teorema della media, se i miei ricordi di analisi sono ancora sufficienti.
Ho chiamato $h_i$ l'altezza iniziale del liquido , quella che il problema chiama $h$ .
Quindi la forza "iniziale" prima determinata vale :
$F_i = 1/2\rhogd^2(2h_i -d) = \rhogd^2h_i -1/2\rhogd^3$
Quando il pistone si è spostato di $d/2$ , l'altezza del liquido nel serbatoio di destra è diventata $h_f = h_i + d/2$ . Corrispondentemente , la forza finale occorrente per tener fermo il pistone vale :
$F_f = 1/2\rhogd^2(2h_f -d)$ , dove $h_f$ è quella prima detta.
Siccome la pressione a una profondità qualsiasi aumenta linearmente con l'aumentare dell'altezza da $h_i$ ad $h_f$ , anche la forza aumenta linearmente. Percio, se ne può considerare il valore medio :
$F_m = 1/2(F_i + F_f) $ , dove sostituendo i valori si trova : $ F_m = \rhogd^2h_i - 1/4\rhogd^3$ .
Il lavoro si può calcolare come prodotto della $F_m$ per lo spostamento $d/2 $ : fai i conti , e ti trovi col risultato del libro:
$L = 1/2\rhogd^3(h_i - d/4) $ .
Direi che è una applicazione banale del teorema della media, se i miei ricordi di analisi sono ancora sufficienti.
Grazie tanto iltuo approccio è più semplice ed efficace del mio!
Avrei una domanda conclusiva per questo problema (non so se devo aprire un altro topic)
e cioè rispetto al punto a) precedente: calcolare il punto di applicazione di F (la sua quota rispetto al piano di appoggio) affinchè sul pistone (mobile) non si verifichino movimenti di rotazione.
Dovrebbe essere qualcosa del tipo: il momento risultate rispetto al punto di equilibrio deve essere nullo, pertanto
$\int_0^H(F_i)(dy)y=\int_H^d(F_s)(dy)y$
dove H è la quota di applicazione di F
$F_i$ è la forza da 0 fino ad H e $F_s$ da H fino a d
e cioè rispetto al punto a) precedente: calcolare il punto di applicazione di F (la sua quota rispetto al piano di appoggio) affinchè sul pistone (mobile) non si verifichino movimenti di rotazione.
Dovrebbe essere qualcosa del tipo: il momento risultate rispetto al punto di equilibrio deve essere nullo, pertanto
$\int_0^H(F_i)(dy)y=\int_H^d(F_s)(dy)y$
dove H è la quota di applicazione di F
$F_i$ è la forza da 0 fino ad H e $F_s$ da H fino a d
Aggiungo quanto segue a ciò che ho già detto, per completezza.
Ho usato il valore medio della forza $F_m = 1/2(F_i + F_f) $ per calcolare il lavoro, ma avrei anche potuto procedere , più in generale, al calcolo del lavoro con un semplice integrale, notando prima questo : la forza $F$ si può considerare funzione della altezza $h$ del liquido nel primo recipiente, la cui variazione elementare $\deltah$ è uguale allo spostamento $\deltas$ del pistone , [nota]metto $\delta$ come segno del differenziale , e non $d$ per evitare confusione con il lato $d$ dato dal problema per la sezione $S$[/nota], vista la geometria . Cioè si ha :
$F = F(h) = 1/2\rhogd^2(2h -d) $ , e quindi : $\deltaL = F(h)\deltah$
pertanto il lavoro occorrente per spostare il pistone di $d/2$ non è altro che l'integrale di $F(h)\deltah $ tra i valori $h_i$ e $h_f = h_i+ d/2$ , cioè :
$L = \int_(h_i)^(h_f) 1/2rhogd^2(2h-d)\deltah$
svolgendo questo semplice integrale si ottiene proprio il lavoro, che ho calcolato più semplicemente col valore medio della forza $F_m$ . Non riporto l'integrale, che è molto semplice.
Il diagramma delle pressioni idrostatiche relativo al tratto di altezza $d$ dal fondo è un trapezio, perché è un pezzo dell'intero diagramma triangolare relativo a tutta l'altezza, come ho già detto.
Perciò, per l'equilibrio richiesto, è sufficiente determinare il baricentro di questo trapezio : la retta di azione delle due forze uguali e contrarie agenti sul pistone passa per il baricentro del trapezio.
Naturalmente si può trovare anche con l'equilibrio dei momenti rispetto a un polo, per esempio a un punto del piano di appoggio.
Ho usato il valore medio della forza $F_m = 1/2(F_i + F_f) $ per calcolare il lavoro, ma avrei anche potuto procedere , più in generale, al calcolo del lavoro con un semplice integrale, notando prima questo : la forza $F$ si può considerare funzione della altezza $h$ del liquido nel primo recipiente, la cui variazione elementare $\deltah$ è uguale allo spostamento $\deltas$ del pistone , [nota]metto $\delta$ come segno del differenziale , e non $d$ per evitare confusione con il lato $d$ dato dal problema per la sezione $S$[/nota], vista la geometria . Cioè si ha :
$F = F(h) = 1/2\rhogd^2(2h -d) $ , e quindi : $\deltaL = F(h)\deltah$
pertanto il lavoro occorrente per spostare il pistone di $d/2$ non è altro che l'integrale di $F(h)\deltah $ tra i valori $h_i$ e $h_f = h_i+ d/2$ , cioè :
$L = \int_(h_i)^(h_f) 1/2rhogd^2(2h-d)\deltah$
svolgendo questo semplice integrale si ottiene proprio il lavoro, che ho calcolato più semplicemente col valore medio della forza $F_m$ . Non riporto l'integrale, che è molto semplice.
"zorrok":
Avrei una domanda conclusiva per questo problema (non so se devo aprire un altro topic)
e cioè rispetto al punto a) precedente: calcolare il punto di applicazione di F (la sua quota rispetto al piano di appoggio) affinchè sul pistone (mobile) non si verifichino movimenti di rotazione.
Il diagramma delle pressioni idrostatiche relativo al tratto di altezza $d$ dal fondo è un trapezio, perché è un pezzo dell'intero diagramma triangolare relativo a tutta l'altezza, come ho già detto.
Perciò, per l'equilibrio richiesto, è sufficiente determinare il baricentro di questo trapezio : la retta di azione delle due forze uguali e contrarie agenti sul pistone passa per il baricentro del trapezio.
Naturalmente si può trovare anche con l'equilibrio dei momenti rispetto a un polo, per esempio a un punto del piano di appoggio.
Considerando che il momento risultante delle forze di pressione è $M=Fy_C$ e per l'equilibrio la forza applicata al pistone deve sviluppare un momento uguale e contrariao ad M. Dunque rispetto all'asse passante per il lato inferiore il momento elementare è
$dM = y dF = y ρ g d (h - y) dy$
$M =int_0^d y ρ g d (h - y) dy$
$M = ρ g d^3 (h/2 - d/3)$
$y_C = M/F =1/3 d(3h-2d) / (2h-d) = 0.24 m$
$dM = y dF = y ρ g d (h - y) dy$
$M =int_0^d y ρ g d (h - y) dy$
$M = ρ g d^3 (h/2 - d/3)$
$y_C = M/F =1/3 d(3h-2d) / (2h-d) = 0.24 m$
Va bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo