Due problemi sulla cinematica
1.
Una particella di massa 0.04kg si muove con la seguente legge oraria:
dove r è espresso in metri.
Calcolare: il vettore forza totale agente sulla particella; [...]
Di questo problema ho sviluppato un metodo un pò particolare nel trovare incognite in presenza di parametri definiti in funzione di altri (qui la posizione definita in funzione del tempo), che però fin'ora ha trovato riscontro nei risultati. Ve lo mostro, chiedendovi se è un ragionamento corretto o se c'è un modo migliore per risolvere il problema.
La questione è semplice: basta trovare il vettore accelerazione.
Per ogni componente, utilizzo la formula generale del moto rettilineo uniformemente accelerato sostituendo opportunamente i valori.
Consideriamo solo la prima componente (le altre hanno un procedimento analogo, e la terza inoltre è irrilevante al mio proposito perché non ha un parametro t):
Adesso, poiché in questo tipo di moto l'accelerazione è costante, considero la sua derivata come valore effettivo, e quindi
a_x = 20
È corretto?
PS: di questo quesito non è definita la soluzione, quindi non posso verificarlo.
2.
Una particella si muove con legge oraria a partire dall'istante (iniziale) t=0
dove A=10.2, a=5.1, b=3.8, γ=8.3 e t è il tempo misurato in secondi.
Determinare la dimensione delle costanti A, a, b, γ, e l'unità di misura in cui esse sono espresse nel SI.
Di questo invece non ho un approccio.
Forse, come sopra, devo trovare la legge oraria (quindi t, a_x ed eventuali altri elementi) e poi usarla in funzione di ogni costante?
Una particella di massa 0.04kg si muove con la seguente legge oraria:
dove r è espresso in metri.
Calcolare: il vettore forza totale agente sulla particella; [...]
Di questo problema ho sviluppato un metodo un pò particolare nel trovare incognite in presenza di parametri definiti in funzione di altri (qui la posizione definita in funzione del tempo), che però fin'ora ha trovato riscontro nei risultati. Ve lo mostro, chiedendovi se è un ragionamento corretto o se c'è un modo migliore per risolvere il problema.
La questione è semplice: basta trovare il vettore accelerazione.
Per ogni componente, utilizzo la formula generale del moto rettilineo uniformemente accelerato sostituendo opportunamente i valori.
Consideriamo solo la prima componente (le altre hanno un procedimento analogo, e la terza inoltre è irrilevante al mio proposito perché non ha un parametro t):
Adesso, poiché in questo tipo di moto l'accelerazione è costante, considero la sua derivata come valore effettivo, e quindi
a_x = 20
È corretto?
PS: di questo quesito non è definita la soluzione, quindi non posso verificarlo.
2.
Una particella si muove con legge oraria a partire dall'istante (iniziale) t=0
dove A=10.2, a=5.1, b=3.8, γ=8.3 e t è il tempo misurato in secondi.
Determinare la dimensione delle costanti A, a, b, γ, e l'unità di misura in cui esse sono espresse nel SI.
Di questo invece non ho un approccio.
Forse, come sopra, devo trovare la legge oraria (quindi t, a_x ed eventuali altri elementi) e poi usarla in funzione di ogni costante?
Risposte
Ho paura tu abbia fatto confusione. Per prima cosa il procedimento che tu hai usato per risolvere il primo esercizio: se come sai nel moto uniformemente accelerato lo spazio percorso è proporzionale al quadrato del tempo, e in questo caso hai un termine di primo grado e uno di terzo, mi pare ovvio concludere che non siamo di fronte a una particella uniformemente accelerata (lungo l'asse x).
Per risolvere questo esercizio devi semplicemente applicare le definizioni di velocità e accelerazione, nonchè il secondo principio della dinamica.
Per il secondo invece devi solo fare un'analisi dimensionale (qual è l'unità di misura della lunghezza? se t è in secondi, quali unità di misura devono avere i vari coeff perchè ogni componente sia espressa in m...i?). Ti faccio notare inoltre che la legge oraria che vorresti trovare è proprio l'applicazione $r(t)$ data
Per risolvere questo esercizio devi semplicemente applicare le definizioni di velocità e accelerazione, nonchè il secondo principio della dinamica.
Per il secondo invece devi solo fare un'analisi dimensionale (qual è l'unità di misura della lunghezza? se t è in secondi, quali unità di misura devono avere i vari coeff perchè ogni componente sia espressa in m...i?). Ti faccio notare inoltre che la legge oraria che vorresti trovare è proprio l'applicazione $r(t)$ data
Nel primo problema mi trovo [tex]a_x = \frac{d^2(2t + 5t^3)}{dt^2} = 30t[/tex], è una risposta accettabile [tex]F_x = 1.2t[/tex]?
Nel secondo problema, come si fa l'analisi dimensionale con vettori scomposti nelle loro componenti?
Nel secondo problema, come si fa l'analisi dimensionale con vettori scomposti nelle loro componenti?
"Bonham":
Nel secondo problema, come si fa l'analisi dimensionale con vettori scomposti nelle loro componenti?
Ogni componente ha la medesima unità di misura...
"Bonham":
è una risposta accettabile [tex]F = 1.2t[/tex]?
più che accettabile è giusta (credo
)P.S. probabilmente hai solo dimenticato il pedice, ma quella è solo la componente $F_x$ della forza
Si ho dimenticato il pedice.
Quindi determino la dimensione di ogni costante solo in base alla componente, ad esempio con a:
[tex]r(t) = A^2a^3t^3 \rightarrow L = a^3T^3 \rightarrow a = \frac{\sqrt[3]{L}}{T}[/tex] ?
Ogni componente ha la medesima unità di misura...
Quindi determino la dimensione di ogni costante solo in base alla componente, ad esempio con a:
[tex]r(t) = A^2a^3t^3 \rightarrow L = a^3T^3 \rightarrow a = \frac{\sqrt[3]{L}}{T}[/tex] ?
Hai però supposto che la costante $A$ sia adimensionale, cosa che non quadra con la seconda componente
Allora devo scrivere a anche in funzione di A: [tex]a = \frac{\sqrt[3]{\frac{L}{A}}}{T}[/tex] ?
(Altrimenti come faccio a sapere qual'è la dimensione di A?)
(Altrimenti come faccio a sapere qual'è la dimensione di A?)
Dovresti riuscire a determinarla direttamente dall'analisi dimensionale della seconda componente (così come $gamma$)
Guarda, non riesco a trovare proprio la seconda componente. 
Mi trovo con questi risultati:
[tex]r(t) = A^2e^{\gamma t} \rightarrow \gamma t = \log_e \frac{L}{A^2} \rightarrow \gamma = \frac{log_e L - log_e A^2}{T}[/tex]
[tex]r(t) = A^2e^{\gamma t} \rightarrow A=\sqrt{\frac{L}{e^{\gamma T}}}[/tex]
Come devo fare?
PS: nella traccia la seconda componente è sbagliata (è corretta qui)
Mi trovo con questi risultati:
[tex]r(t) = A^2e^{\gamma t} \rightarrow \gamma t = \log_e \frac{L}{A^2} \rightarrow \gamma = \frac{log_e L - log_e A^2}{T}[/tex]
[tex]r(t) = A^2e^{\gamma t} \rightarrow A=\sqrt{\frac{L}{e^{\gamma T}}}[/tex]
Come devo fare?
PS: nella traccia la seconda componente è sbagliata (è corretta qui)
L'argomento della funzione esponenziale deve essere adimensionale. Questo ti basta
[tex]\gamma = T^{-1}, A = \sqrt{L}[/tex] ?
Mi pare ok
Bene. Sembra che abbia imparato qualcosa, che bello!
Grazie a te!
E perdonatemi tutti. 
Grazie a te!
E perdonatemi tutti.
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