Due problemi di un compito
Per quanto riguarda il primo, mi discosto di poco dal risultato della V iniziale, ma non capisco perchè ma mi rimane quel termine che moltiplica il coeff di attrito
Per quanto riguarda il secondo, che andrebbe fatto ricorrendo al thm delle forze vive, non ho capito se vanno impostate 3 equazioni per ciascuna forza viva in gioco, oppure una sola con tutte e 3 da considerare simultaneamente; in più non credo di aver ben capito se l'impostazione delle forze è corretta, in quanto credo che la "vivacità delle forze" consista in quella componente di forze che compie lavoro, cioè la componente tangenziale della forza peso, della forza elastica e della F applicata, mentre non compierà lavoro quelle forze come la tensione del filo che sono perpendicolari allo spostamento, giusto?
Eppure c'è qualcosa nell'impostazione della formula in cui non mi trovo d'accordo
testo
http://imageshack.us/photo/my-images/802/testoh.jpg/
tentativo mio
http://imageshack.us/photo/my-images/811/tentativo.jpg/
soluzione
http://imageshack.us/photo/my-images/53 ... ioneu.jpg/
Per quanto riguarda il secondo, che andrebbe fatto ricorrendo al thm delle forze vive, non ho capito se vanno impostate 3 equazioni per ciascuna forza viva in gioco, oppure una sola con tutte e 3 da considerare simultaneamente; in più non credo di aver ben capito se l'impostazione delle forze è corretta, in quanto credo che la "vivacità delle forze" consista in quella componente di forze che compie lavoro, cioè la componente tangenziale della forza peso, della forza elastica e della F applicata, mentre non compierà lavoro quelle forze come la tensione del filo che sono perpendicolari allo spostamento, giusto?
Eppure c'è qualcosa nell'impostazione della formula in cui non mi trovo d'accordo
testo
http://imageshack.us/photo/my-images/802/testoh.jpg/
tentativo mio
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soluzione
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Risposte
Per quanto riguarda il primo, il testo del problema specifica che il moto è di puro rotolamento, un fenomeno non dissipativo. Il coefficiente di attrito statico ha un valore sufficiente ad evitare lo strisciamento, ma non entra esplicitamente nell'equazione dell'energia, [tex]\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}I(v_0/R)^2=\frac{1}{2}mv_f^2+\frac{1}{2}I(v_f/R)^2+mgh[/tex].
Per il secondo, le forze agiscono simultaneamente, è comunque corretto considerare solo quelle che svolgono lavoro. Ma puoi vedere il problema con una forma diversa: la forza costante [tex]F[/tex] è equivalente ad un campo uniforme, puoi quindi introdurre un ulteriore termine di energia potenziale [tex]-Fx=-Fl\sin\theta[/tex], oltre a quello gravitazionale e quello elastico, e scrivere la conservazione dell'energia per il pendolo.
Per il secondo, le forze agiscono simultaneamente, è comunque corretto considerare solo quelle che svolgono lavoro. Ma puoi vedere il problema con una forma diversa: la forza costante [tex]F[/tex] è equivalente ad un campo uniforme, puoi quindi introdurre un ulteriore termine di energia potenziale [tex]-Fx=-Fl\sin\theta[/tex], oltre a quello gravitazionale e quello elastico, e scrivere la conservazione dell'energia per il pendolo.
Dovrebbe essere:
$V_0^2=10/7gh+(2gN^2\pi^2R^2)/(h+2\piNRsin\theta)$
con un fattore $N$ al secondo addendo di quel denominatore.
$V_0^2=10/7gh+(2gN^2\pi^2R^2)/(h+2\piNRsin\theta)$
con un fattore $N$ al secondo addendo di quel denominatore.
Ho capito, anche se ancora non mi è chiarissima l'impostazione finale dell'esercizio del pendolo.. perchè l'esercizio consigliava di applicare le forze vive, mentre con la conservazione dell'energia cambia il modo di vedere la configurazione delle forze in gioco .. oppure no?
Voglio dire quando conviene applicare le forze vive e quando la conservazione dell'energia?
A me esce questo risultato, sinceramente penso che la v iniziale si debba supporre nulla
http://imageshack.us/photo/my-images/148/wwws.jpg/
Voglio dire quando conviene applicare le forze vive e quando la conservazione dell'energia?
A me esce questo risultato, sinceramente penso che la v iniziale si debba supporre nulla
http://imageshack.us/photo/my-images/148/wwws.jpg/
beh la conservazione dell'energia discende dal teorema delle forze vive, è derivato da questo nel caso di forze conservative
quindi entrambi sono equivalenti nel caso di forze conservative.
(e il teorema delle forze ve è conseguenza dell'equazione fondamentale della dinamica quindi ciò che ti dice la conservazione te lo dice anche il teorema delle forze vive e a maggior ragione l'equazione fondamentale)
infatti il teorema delle forze vive dice che per il moto di un sistema materiale libero vale $dL=dT$
se le forze sono conservative $dL=dU$ e dal teorema delle forze vive: $dL=dU$ ->$d(L-U)=0$ cioè $L - U = cost$ che esprime la conservazione
quindi entrambi sono equivalenti nel caso di forze conservative.
(e il teorema delle forze ve è conseguenza dell'equazione fondamentale della dinamica quindi ciò che ti dice la conservazione te lo dice anche il teorema delle forze vive e a maggior ragione l'equazione fondamentale)
infatti il teorema delle forze vive dice che per il moto di un sistema materiale libero vale $dL=dT$
se le forze sono conservative $dL=dU$ e dal teorema delle forze vive: $dL=dU$ ->$d(L-U)=0$ cioè $L - U = cost$ che esprime la conservazione
Il teorema delle forze vive vale anche in presenza di forze dissipative:
$L_(cons)+L_(diss)=E_(c2)-E_(c1)$
Il lavoro delle forze conservative può essere espresso introducendo l'energia potenziale:
$L_(cons)=E_(p1)-E_(p2)
Quindi:
$E_(p1)-E_(p2)+L_(diss)=E_(c2)-E_(c1)$
$L_(diss)=[E_(c2)+E_(p2)]-[E_(c1)+E_(p1)]$
dalla quale appare evidente come una variazione di energia meccanica sia da attribuire al lavoro delle forze dissipative. In assenza di forze dissipative:
$0=[E_(c2)+E_(p2)]-[E_(c1)+E_(p1)]$
$E_(c2)+E_(p2)=E_(c1)+E_(p1)$
che rappresenta la conservazione dell'energia meccanica.
Nel secondo problema, poichè anche la forza $F$ è conservativa, puoi usare indifferentemente il teorema delle forze vive oppure la conservazione dell'energia meccanica, ma devi comunque esprimere il lavoro in modo corretto. Se decidi di utilizzare il teorema delle forze vive, un calcolo esplicito fornirebbe il seguente valore:
$L_F=Fl$
Se decidi di applicare la conservazione dell'energia meccanica, prima devi determinare l'energia potenziale associata alla forza $F$:
$E_p=-Fx+costante$
quindi calcolare il lavoro con la seguente formula:
$L=E_(p1)-E_(p2)=0-(-Fl)=Fl
oppure ragionare solo in termini di energia potenziale, più logico se si è deciso di introdurla.
$L_(cons)+L_(diss)=E_(c2)-E_(c1)$
Il lavoro delle forze conservative può essere espresso introducendo l'energia potenziale:
$L_(cons)=E_(p1)-E_(p2)
Quindi:
$E_(p1)-E_(p2)+L_(diss)=E_(c2)-E_(c1)$
$L_(diss)=[E_(c2)+E_(p2)]-[E_(c1)+E_(p1)]$
dalla quale appare evidente come una variazione di energia meccanica sia da attribuire al lavoro delle forze dissipative. In assenza di forze dissipative:
$0=[E_(c2)+E_(p2)]-[E_(c1)+E_(p1)]$
$E_(c2)+E_(p2)=E_(c1)+E_(p1)$
che rappresenta la conservazione dell'energia meccanica.
Nel secondo problema, poichè anche la forza $F$ è conservativa, puoi usare indifferentemente il teorema delle forze vive oppure la conservazione dell'energia meccanica, ma devi comunque esprimere il lavoro in modo corretto. Se decidi di utilizzare il teorema delle forze vive, un calcolo esplicito fornirebbe il seguente valore:
$L_F=Fl$
Se decidi di applicare la conservazione dell'energia meccanica, prima devi determinare l'energia potenziale associata alla forza $F$:
$E_p=-Fx+costante$
quindi calcolare il lavoro con la seguente formula:
$L=E_(p1)-E_(p2)=0-(-Fl)=Fl
oppure ragionare solo in termini di energia potenziale, più logico se si è deciso di introdurla.
Ottimo, grazie mille per la chiarificazione dei concetti.
Ma il risultato della F che ho trovato è giusto o no?
Ma il risultato della F che ho trovato è giusto o no?
$FL-MgL-1/2kL^2=0 rarr F=Mg+1/2kL$
Ok, mi confermate che è vero che devo considerare la F in tutto il suo modulo(e non solo la componete che fa lavoro), poichè essendo questa conservativa, il lavoro che ne vado a calcolare non dipende dal cammino, ma solo dalla differenza di quota?
Stai facendo confusione. Il fatto che nel calcolo del lavoro complessivo della forza $F$ compaia il suo modulo, non significa che, istante per istante, a fare lavoro non sia solo la componente parallela alla direzione tangente alla traiettoria punto per punto.
Si lo so, infatti stavo cercando di chiarirmi le idee. Se per esempio la F applicata fosse leggermente inclinata verso l'alto di chesò 15 gradi, cosa cambierebbe nella mrisoluzione del problema?
Concettualmente nulla, praticamente abbastanza. Non credi sia il caso di consolidare le tue basi con un po' di teoria?
Il problema sta proprio qui. Mi hai detto che teoricamente non cambia nulla, mentre nella prassi si può notare cambiamento. Ergo è mediante il cambio dei dati di un esercizio che si suppone evincere la differenza tra le risoluzioni di un problema.
Infatti negli appunti del mio professore viene trattato il lavoro di una forza, conservativa e non, da un punto di vista molto generalizzato(definizione della funzione U(x) tale che la forza è definita come in componenti le derivate parziali della U ecc. ecc.), e con scarso riferimento alla risoluzione degli esercizi.
Se l'angolo aumentasse di 15 gradi verso l'altro probabilmente vi sarebbe un aumento della componente tangenziale al percorso del pendolo, e dunque il lavoro si riferirebbe alla F*sen(theta)?
So di essere un cattivo esempio dal punto di vista del rigore per la comprensione di questa materia, ma non potresti chiudere un occhio?
Infatti negli appunti del mio professore viene trattato il lavoro di una forza, conservativa e non, da un punto di vista molto generalizzato(definizione della funzione U(x) tale che la forza è definita come in componenti le derivate parziali della U ecc. ecc.), e con scarso riferimento alla risoluzione degli esercizi.
Se l'angolo aumentasse di 15 gradi verso l'altro probabilmente vi sarebbe un aumento della componente tangenziale al percorso del pendolo, e dunque il lavoro si riferirebbe alla F*sen(theta)?
So di essere un cattivo esempio dal punto di vista del rigore per la comprensione di questa materia, ma non potresti chiudere un occhio?
Se la forza avesse avuto due componenti, avresti dovuto esprimere l'energia potenziale in questo modo:
$vec F=F_1vec i+F_2vec j$
$E_p=-F_(1)x-F_(2)y+costante$
Quindi, nel calcolo del lavoro, avresti dovuto tener conto della variazione di entrambe le coordinate.
$vec F=F_1vec i+F_2vec j$
$E_p=-F_(1)x-F_(2)y+costante$
Quindi, nel calcolo del lavoro, avresti dovuto tener conto della variazione di entrambe le coordinate.
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