Due molle ed un'altalena.
Buona sera, sto incontrando delle difficoltà nel trovare le equazioni che regolano la dinamica del seguente
Dove le due molle sono a riposo quando l'asta è orizzontale.
Ho provato a risolverlo con metodi energetici:
L'energia cinetica del sistema è
$$ T = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) l^2 \dot{ \varphi} ^2 $$
mentre l'energia potenziale
$$ V = \frac{1}{2} (k_1 + k_2) l^2 \cos^2 \varphi $$
quindi la lagrangiana per piccole oscillazioni, espandendo il coseno al secondo termine, è
$$ L = T-V = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) l^2 \dot{ \varphi} ^2 - \frac{1}{2} (k_1 + k_2) l^2 \left (1+\frac{\varphi^2}{2} \right )^2 $$
computando l'equazione di Eulero-Lagrange ottengo
$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial L}{\partial \varphi}=(m_1+m_2) l^2 \ddot{\varphi} +(k_1+k_2) l^2 \varphi=0$$
purtroppo questa equazione non è corretta.
La soluzione proposta dal mio professore è
$$(m_1+m_2) l^2 \ddot{\varphi} +2(k_1+k_2) l^2 \varphi=0$$
ma io non riesco proprio a capire da dove salti fuori quel due al secondo termine. Evidentemente non sto considerando qualcosa nella scrittura dell'energia potenziale.
Grazie a tutti coloro che hanno avuto la pazienza di arrivar si qui. Sapreste spiegarmi qual'è la causa di tale temine?
[fcd="Sistema meccanico"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 52 45 111 45 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 45 35 120 55 0
SA 120 55 0
SA 45 35 0
CV 0 120 45 122 44 120 42 118 42 118 43 120 43 120 43 0
CV 0 120 43 122 42 120 40 118 40 118 41 120 41 120 41 0
CV 0 120 41 122 40 120 38 118 38 118 39 120 39 120 39 0
CV 0 120 39 122 38 120 36 118 36 118 37 120 37 120 37 0
CV 0 120 37 122 36 120 34 118 34 118 35 120 35 120 35 0
CV 0 120 35 122 34 120 32 118 32 118 33 120 33 120 33 0
CV 0 120 33 122 32 120 30 118 30 118 31 120 31 120 31 0
CV 0 120 31 122 30 120 28 118 28 118 29 120 29 120 29 0
CV 0 120 29 122 28 120 26 118 26 118 27 120 27 120 27 0
CV 0 120 27 122 26 120 24 118 24 118 25 120 25 120 25 0
CV 0 120 25 122 24 120 22 118 22 118 23 120 23 122 22 119 20 0
LI 120 45 120 55 0
LI 119 10 119 20 0
CV 0 45 30 47 29 45 27 43 27 43 28 45 28 45 28 0
CV 0 45 28 47 27 45 25 43 25 43 26 45 26 45 26 0
CV 0 45 26 47 25 45 23 43 23 43 24 45 24 45 24 0
CV 0 45 24 47 23 45 21 43 21 43 22 45 22 45 22 0
CV 0 45 22 47 21 45 19 43 19 43 20 45 20 47 19 44 17 0
LI 45 30 45 35 0
LI 44 10 44 17 0
RP 39 8 49 10 0
RP 114 8 124 10 0
BE 96 45 99 47 98 48 94 48 0
TY 99 44 4 3 0 1 0 * φ
SA 83 45 0
TY 64 35 4 3 0 1 0 L++M++Roman10 l
TY 100 51 4 3 0 1 0 L++M++Roman10 l
TY 122 54 4 3 0 1 0 * m
TY 41 35 4 3 0 1 0 * m
TY 48 21 4 3 0 1 0 * k
TY 123 30 4 3 0 1 0 * k
TY 44 37 3 2 0 1 0 * 1
TY 125 56 3 2 0 1 0 * 2
TY 126 32 3 2 0 1 0 * 2
TY 51 23 3 2 0 1 0 * 1[/fcd]
FJC B 0.5
LI 52 45 111 45 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 45 35 120 55 0
SA 120 55 0
SA 45 35 0
CV 0 120 45 122 44 120 42 118 42 118 43 120 43 120 43 0
CV 0 120 43 122 42 120 40 118 40 118 41 120 41 120 41 0
CV 0 120 41 122 40 120 38 118 38 118 39 120 39 120 39 0
CV 0 120 39 122 38 120 36 118 36 118 37 120 37 120 37 0
CV 0 120 37 122 36 120 34 118 34 118 35 120 35 120 35 0
CV 0 120 35 122 34 120 32 118 32 118 33 120 33 120 33 0
CV 0 120 33 122 32 120 30 118 30 118 31 120 31 120 31 0
CV 0 120 31 122 30 120 28 118 28 118 29 120 29 120 29 0
CV 0 120 29 122 28 120 26 118 26 118 27 120 27 120 27 0
CV 0 120 27 122 26 120 24 118 24 118 25 120 25 120 25 0
CV 0 120 25 122 24 120 22 118 22 118 23 120 23 122 22 119 20 0
LI 120 45 120 55 0
LI 119 10 119 20 0
CV 0 45 30 47 29 45 27 43 27 43 28 45 28 45 28 0
CV 0 45 28 47 27 45 25 43 25 43 26 45 26 45 26 0
CV 0 45 26 47 25 45 23 43 23 43 24 45 24 45 24 0
CV 0 45 24 47 23 45 21 43 21 43 22 45 22 45 22 0
CV 0 45 22 47 21 45 19 43 19 43 20 45 20 47 19 44 17 0
LI 45 30 45 35 0
LI 44 10 44 17 0
RP 39 8 49 10 0
RP 114 8 124 10 0
BE 96 45 99 47 98 48 94 48 0
TY 99 44 4 3 0 1 0 * φ
SA 83 45 0
TY 64 35 4 3 0 1 0 L++M++Roman10 l
TY 100 51 4 3 0 1 0 L++M++Roman10 l
TY 122 54 4 3 0 1 0 * m
TY 41 35 4 3 0 1 0 * m
TY 48 21 4 3 0 1 0 * k
TY 123 30 4 3 0 1 0 * k
TY 44 37 3 2 0 1 0 * 1
TY 125 56 3 2 0 1 0 * 2
TY 126 32 3 2 0 1 0 * 2
TY 51 23 3 2 0 1 0 * 1[/fcd]
Dove le due molle sono a riposo quando l'asta è orizzontale.
Ho provato a risolverlo con metodi energetici:
L'energia cinetica del sistema è
$$ T = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) l^2 \dot{ \varphi} ^2 $$
mentre l'energia potenziale
$$ V = \frac{1}{2} (k_1 + k_2) l^2 \cos^2 \varphi $$
quindi la lagrangiana per piccole oscillazioni, espandendo il coseno al secondo termine, è
$$ L = T-V = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) l^2 \dot{ \varphi} ^2 - \frac{1}{2} (k_1 + k_2) l^2 \left (1+\frac{\varphi^2}{2} \right )^2 $$
computando l'equazione di Eulero-Lagrange ottengo
$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial L}{\partial \varphi}=(m_1+m_2) l^2 \ddot{\varphi} +(k_1+k_2) l^2 \varphi=0$$
purtroppo questa equazione non è corretta.
La soluzione proposta dal mio professore è
$$(m_1+m_2) l^2 \ddot{\varphi} +2(k_1+k_2) l^2 \varphi=0$$
ma io non riesco proprio a capire da dove salti fuori quel due al secondo termine. Evidentemente non sto considerando qualcosa nella scrittura dell'energia potenziale.
Grazie a tutti coloro che hanno avuto la pazienza di arrivar si qui. Sapreste spiegarmi qual'è la causa di tale temine?
Risposte
Dovrebbe essere $V=1/2(k_1+k_2)l^2sin^2varphi$, comunque l'equazione di lagrange linearizzata è:
$(m_1+m_2)l^2ddotvarphi+(k_1+k_2)l^2varphi=0$, quindi direi che quella data dal tuo prof è sbgliata
$(m_1+m_2)l^2ddotvarphi+(k_1+k_2)l^2varphi=0$, quindi direi che quella data dal tuo prof è sbgliata
Si hai ragione per il seno, errore mio. Scriverò al professore.
Grazie.
Grazie.
Perchè manca l'energia potenziale gravitazionale?
No il sistema non è immerso in campi gravitazionali. Comunque se fosse, le costanti non avrebbero la forma di un due! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo