Due molle con carrucola
Ho un dubbio su questo esercizio:
Due molle di costanti elastiche $k_1$ e $k_2$ e di lunghezze a riposo $L_1$ e $L_2$ sono legate ad una parete fissa nei punti A e B. L'altra estremità delle due molle è legata ad una corda, priva di massa e lunghezza $L$, avvolta attorno alla puleggia C, di raggio $R$ e massa trascurabile. L'asse della puleggia C, appoggiato ad un piano orizzontale privo di attrito, è legato ad una massa sospesa $m$, con una corda priva di massa e passante attorno ad un vincolo D senza attrito.
1) Calcolare l'allungamento delle molle in condizioni di equilibrio.
In condizioni di equilibrio l'equazione di moto per la massa è $0=T_1-mg \Rightarrow T_1=mg$, dove $T_1$ è appunto la tensione della corda attaccata alla massa; le tensioni della corda attaccata alle molle devono essere uguali ai due lati della carrucola C perché essa è priva di massa e le chiamo $T_2$, quindi per la carrucola C: $0=T_1-2T_2 \Rightarrow T_2=(mg)/2$. Queste tensioni devono equiparare all'equilibrio le forze elastiche esercitate dalle molle:
$F_{e_1} = T_2 = F_{e_2}$, cioè $k_1\Deltax_1=(mg)/2=k_2\Deltax_2$, da cui $\Deltax_1=(mg)/(2k_1)$ e $\Deltax_2=(mg)/(2k_2)$.
2) Calcolare la reazione vincolare della parete sulle due molle all'equilibrio.
Per il punto A: $0=N_1-F_{e_1}$, per il punto B: $0=N_2-F_{e_2}$; all'equilibrio $F_{e_1}=F_{e_2}=(mg)/2$, quindi $N_1=N_2=(mg)/2$, la reazione totale esercitata dalla parete è $N=N_1+N_2=mg$.
Fin qua credo che vada bene..
3) Calcolare la frequenza di oscillazione del sistema.
L'equazione di moto della massa è $ma=mg-T_1$, dove $T_1=F_{e_1}+F_{e_2}$, e quindi $ma=mg-(F_{e_1}+F_{e_2})$, ho però dei dubbi sul valore delle forze elastiche.. Mi verrebbe da dire che l'elongazione delle molle è uguale, cioè $\Deltax_1=\Deltax_2:=\Deltax$, avrei quindi il caso di molle in parallelo e scriverei $a=g-(k_1+k_2)/mDeltax$, da cui $\omega=\sqrt{(k_1+k_2)/m}$, non sono però convinto di poter fare questa ipotesi senza una buona giustificazione..
Qualcuno può chiarirmi le idee?
Due molle di costanti elastiche $k_1$ e $k_2$ e di lunghezze a riposo $L_1$ e $L_2$ sono legate ad una parete fissa nei punti A e B. L'altra estremità delle due molle è legata ad una corda, priva di massa e lunghezza $L$, avvolta attorno alla puleggia C, di raggio $R$ e massa trascurabile. L'asse della puleggia C, appoggiato ad un piano orizzontale privo di attrito, è legato ad una massa sospesa $m$, con una corda priva di massa e passante attorno ad un vincolo D senza attrito.
1) Calcolare l'allungamento delle molle in condizioni di equilibrio.
In condizioni di equilibrio l'equazione di moto per la massa è $0=T_1-mg \Rightarrow T_1=mg$, dove $T_1$ è appunto la tensione della corda attaccata alla massa; le tensioni della corda attaccata alle molle devono essere uguali ai due lati della carrucola C perché essa è priva di massa e le chiamo $T_2$, quindi per la carrucola C: $0=T_1-2T_2 \Rightarrow T_2=(mg)/2$. Queste tensioni devono equiparare all'equilibrio le forze elastiche esercitate dalle molle:
$F_{e_1} = T_2 = F_{e_2}$, cioè $k_1\Deltax_1=(mg)/2=k_2\Deltax_2$, da cui $\Deltax_1=(mg)/(2k_1)$ e $\Deltax_2=(mg)/(2k_2)$.
2) Calcolare la reazione vincolare della parete sulle due molle all'equilibrio.
Per il punto A: $0=N_1-F_{e_1}$, per il punto B: $0=N_2-F_{e_2}$; all'equilibrio $F_{e_1}=F_{e_2}=(mg)/2$, quindi $N_1=N_2=(mg)/2$, la reazione totale esercitata dalla parete è $N=N_1+N_2=mg$.
Fin qua credo che vada bene..
3) Calcolare la frequenza di oscillazione del sistema.
L'equazione di moto della massa è $ma=mg-T_1$, dove $T_1=F_{e_1}+F_{e_2}$, e quindi $ma=mg-(F_{e_1}+F_{e_2})$, ho però dei dubbi sul valore delle forze elastiche.. Mi verrebbe da dire che l'elongazione delle molle è uguale, cioè $\Deltax_1=\Deltax_2:=\Deltax$, avrei quindi il caso di molle in parallelo e scriverei $a=g-(k_1+k_2)/mDeltax$, da cui $\omega=\sqrt{(k_1+k_2)/m}$, non sono però convinto di poter fare questa ipotesi senza una buona giustificazione..
Qualcuno può chiarirmi le idee?
Risposte
"Sabb":
Mi verrebbe da dire che l'elongazione delle molle è uguale, cioè $\Deltax_1=\Deltax_2:=\Deltax$,
Certamente non è così, basta pensare al caso in cui una delle molle è sostituita con un filo rigido (k infinito). Direi che, come nel caso statico, l'allungamento delle due molle è inversamente proporzionale a k.
"mgrau":
Certamente non è così, basta pensare al caso in cui una delle molle è sostituita con un filo rigido (k infinito). Direi che, come nel caso statico, l'allungamento delle due molle è inversamente proporzionale a k.
E’ vero, l’allungamento non può essere uguale a priori.. Quello che non capisco è come impostare l’equazione differenziale, da una parte ho $k_1\Deltax_1$, dall’altra $k_2\Deltax_2$, ma non so come passare da queste elongazioni ad una sola variabile $x(t)$ in modo da riuscire a risolvere l’equazione differenziale “analiticamente”. Probabilmente è una domanda stupida, ma davvero non so come continuare..
Mi pare che il problema sia a due gradi di libertà, la rotazione della puleggia e la sua traslazione
Direi che:
lo spostamento del perno è la media degli allungamenti delle due molle
se la carrucola non ha massa, la tensione della fune è costante, e allora gli allungamenti sono in proporzione inversa alle costanti k
lo spostamento del perno è la media degli allungamenti delle due molle
se la carrucola non ha massa, la tensione della fune è costante, e allora gli allungamenti sono in proporzione inversa alle costanti k
"mgrau":
Direi che:
lo spostamento del perno è la media degli allungamenti delle due molle
se la carrucola non ha massa, la tensione della fune è costante, e allora gli allungamenti sono in proporzione inversa alle costanti k
Ok, se la carrucola non ha massa le tensioni ai capi della fune dai due lati di essa sono uguali, quindi sono uguali anche le due forze elastiche $F_{e_1}=F_{e_2}:=F_e$, mentre la tensione della fune a destra della carrucola C è $T_1=2F_e$, gli allungamenti sono $\Deltax_1= F_e/k_1$ e $\Deltax_2=F_e/k_2$. A questo punto, non sapendo come procedere, ho pensato di cercare una costante elastica $k'$ tale che $T_1=2F_e=k'*\Deltax_{carrucola}=k'*(\Deltax_1+\Deltax_2)/2$, da cui $\Deltax_1+\Deltax_2=4F_e/(k')$, sostituendo gli allungamenti: $F_e/k_1+F_e/k_2=4F_e/(k')$, quindi $k'=4(k_1k_2)/(k_1+k_2)$ e la frequenza di oscillazione è $\omega=\sqrt{(2k_1k_2)/(m(k_1+k_2))}$.
Può essere corretto? Grazie a entrambi
"Sabb":
A questo punto, non sapendo come procedere, ...
Mi pare che sai come procedere...
E sì, a me pare giusto.
"Sabb":
In condizioni di equilibrio l'equazione di moto per la massa è $0=T_1-mg \Rightarrow T_1=mg$, dove $T_1$ è appunto la tensione della corda attaccata alla massa; le tensioni della corda attaccata alle molle devono essere uguali ai due lati della carrucola C perché essa è priva di massa e le chiamo $T_2$, quindi per la carrucola C: $0=T_1-2T_2 \Rightarrow T_2=(mg)/2$. Queste tensioni devono equiparare all'equilibrio le forze elastiche esercitate dalle molle:
$F_{e_1} = T_2 = F_{e_2}$, cioè $k_1\Deltax_1=(mg)/2=k_2\Deltax_2$, da cui $\Deltax_1=(mg)/(2k_1)$ e $\Deltax_2=(mg)/(2k_2)$.
Boh! Io ti propongo un ragionamento
Se il sistema è in equilibrio anche la carrucola è ferma. Carrucola e funi non hanno peso, quindi la forza in gioco è solo $mg$
Il sistema diventa analogo a due molle in parallelo: http://www.isciencelab.it/images/filepdf/Molle
Lo spostamento delle due molle in equilibrio è identico, quindi scriverei $mg=2kx$ dove $k=k_1+k_2$
Ogni molla si sposta di $x=(mg)/(2k)$
Che ne dici?
"Bokonon":
Se il sistema è in equilibrio anche la carrucola è ferma.
Lo spostamento delle due molle in equilibrio è identico, ...
Non è identico per niente. La puleggia può ruotare sul suo asse, e fare in modo che i due allungamenti corrispondano a tensioni uguali, ossia $k_1Deltax_1 = k_2Deltax_2$
Pensa al caso in cui una molla è sostituita da un filo rigido ($k = infty$). Ti pare che gli allungamenti saranno uguali?
"mgrau":
La puleggia può ruotare sul suo asse
In situazione di equilibrio è ferma.
Il suo solo compito è stato appunto riequilibrare la massa rispetto alle due molle...esattamente come in qualsiasi esercizio di molle parallele.
Ripeto, la carrucola è FERMA.
Eh certo dimenticavo che la puleggia "non ha massa", quindi niente due gradi di libertà. Comunque, risolvendola con metodo più sofisticati l'equazione delle piccole oscillazioni risulta $mddotx=mg-(4k_1k_2)/(k_1+k_2)x$. Ovviamente, anche nel caso statico, NON sono molle in parallelo.
"Vulplasir":
risolvendola con metodo più sofisticati l'equazione delle piccole oscillazioni risulta $ mddotx=mg-(4k_1k_2)/(k_1+k_2)x $
Bene, diciamo che mi torna, a parte quel 4, che a me viene 2:
L'eq di moto per $m$ è $ma=mg-T$, concordiamo sul fatto che la costante elastica equivalente sia $k'=4(k_1k_2)/(k_1+k_2)$, ma se $T=k'*\Deltax_{carrucola}=4(k_1k_2)/(k_1+k_2)*(\Deltax_1+\Deltax_2)/2 = 2(k_1k_2)/(k_1+k_2)(\Deltax_1+\Deltax_2)$ l'equazione di moto non dovrebbe essere: $ma=mg-2(k_1k_2)/(k_1+k_2)(\Deltax_1+\Deltax_2)$?
O devo considerare l'elongazione della carrucola (e non più le elongazioni singole delle molle) e quindi avere $ma=mg-4(k_1k_2)/(k_1+k_2)\Deltax_{carrucola}$?
"Bokonon":
Il sistema diventa analogo a due molle in parallelo
In realtà il sistema è più simile al caso di molle in serie rispetto a quello di molle in parallelo, come si vede dall'equazione di moto di $m$.
Ovviamente devi considerare lo spostamento $x$ della carrucola, pari allo spostamento verticale della massa m.
Se vuoi ottenere per bene l'equazione, considera lo spostamento x a destra della carrucola e una rotazione $theta$ oraria della carrucola, le forze esercitate dalle molle sono:
$F_1=k_1(x+r theta)$
$F_2=k_2(x-r theta)$
Essendo r il raggio della carrucola.
La prima equazione cardinale applicata alla carrucola ci dice che:
$T=F_1+F_2$
Essendo T la tensione della corda a cui è appesa la massa m.
La seconda cardinale applicata ancora alla carrucola dice che:
$k_2r(x+r theta)=k_2r(x-r theta)$
L'equazione di moto per la massa m è quindi:
$mddotx=mg-T$
Sostituisci T dalla prima cardinale, poi sostituisci $theta$ dalla seconda cardinale e ottiene una equazione che coinvolge solo x, lo spostamento del centro della puleggia.
Per "metodi" più sofisticati non intendevo questo, si può fare in pochi passaggi con l'equazione di Lagrange.
Se vuoi ottenere per bene l'equazione, considera lo spostamento x a destra della carrucola e una rotazione $theta$ oraria della carrucola, le forze esercitate dalle molle sono:
$F_1=k_1(x+r theta)$
$F_2=k_2(x-r theta)$
Essendo r il raggio della carrucola.
La prima equazione cardinale applicata alla carrucola ci dice che:
$T=F_1+F_2$
Essendo T la tensione della corda a cui è appesa la massa m.
La seconda cardinale applicata ancora alla carrucola dice che:
$k_2r(x+r theta)=k_2r(x-r theta)$
L'equazione di moto per la massa m è quindi:
$mddotx=mg-T$
Sostituisci T dalla prima cardinale, poi sostituisci $theta$ dalla seconda cardinale e ottiene una equazione che coinvolge solo x, lo spostamento del centro della puleggia.
Per "metodi" più sofisticati non intendevo questo, si può fare in pochi passaggi con l'equazione di Lagrange.
"mgrau":
Non è identico per niente. La puleggia può ruotare sul suo asse, e fare in modo che i due allungamenti corrispondano a tensioni uguali, ossia $k_1Deltax_1 = k_2Deltax_2$
Pensa al caso in cui una molla è sostituita da un filo rigido ($k = infty$). Ti pare che gli allungamenti saranno uguali?
A ben vedere, hai perfettamente ragione. Perdonami.
"Vulplasir":
Ovviamente devi considerare lo spostamento $x$ della carrucola, pari allo spostamento verticale della massa m.
Giustissimo, scusami, non ci stavo pensando.
"Vulplasir":
Per "metodi" più sofisticati non intendevo questo, si può fare in pochi passaggi con l'equazione di Lagrange.
Certo, immaginavo che stessi parlando di qualcosa di un po' più avanzato
Se invece la carrucola avesse massa $M$, allora la prima equazione cardinale per la carrucola diverrebbe $M\ddot{x}=T-(F_1+F_2)$, mentre la seconda equazione cardinale per la carrucola $RF_1-RF_2=I\ddot{\theta}$, quindi ho il sistema di equazioni:
\begin{cases}
m\ddot{x} = mg -T\\
M\ddot{x} = T - F_1 - F_2\\
RF_1-RF_2=I\ddot{\theta}
\end{cases}
Dove $F_1=k_1(x+R\theta)$ e $F_2=k_2(x-R\theta)$.
Sapendo che $I=1/2 MR^2$ e che $\ddot{\theta}=\ddot{x}/R$ scrivo la terza equazione come $F_1-F_2=1/2M\ddot{x}$, ragionando come prima ricavo $\theta= (M\ddot{x})/(R(k_1+k_2))+x/R(k_2-k_1)/(k_1+k_2)$. Dalla seconda ricavo $T$ e lo sostituisco nella prima che diventa $(m+M)\ddot{x}=mg-F_1-F_2$, sostituendo in questa $\theta$ ottengo come prima un'equazione nella sola variabile $x$, cioè: $(m+M+M(k_1-k_2)/(k_1+k_2))\ddot{x}=mg-x*(4k_1k_2)/(k_1+k_2)$.
Anche nel caso di carrucola con massa la frequenza di oscillazione è quindi $\omega=2\sqrt((k_1k_2)/(k_1+k_2))$?
"Vulplasir":
considera lo spostamento x a destra della carrucola e una rotazione $ theta $ oraria della carrucola, le forze esercitate dalle molle sono:
$ F_1=k_1(x+r theta) $
$ F_2=k_2(x-r theta) $
Sinceramente non avevo mai visto questo ragionamento.. grazie, mi tornerà utile!
No, se la carrucola avesse massa, il problema avrebbe due gradi di libertà, x e $theta$ indipendenti tra loro. Non vale la relazione $x=R theta$, il puro rotolamento qui non c'entra niente, x e $theta$ sono indipendenti tra loro. Il problema è dato dalle due equazioni differenziali:
$(M+m)ddotx=mg-F_1-F_2$
$Iddottheta=RF_2-RF_1$
Le equazioni risultano accoppiate, ossia le incognite x e theta sono presenti in entrambe le equazioni. SI può dimostrare che tale tipo di sistema oscilla. Per ottenere le oscillazioni bisogna disaccoppiare il sistema. Per prima cosa si scrive il sistema in forma matriciale:
$[(M+m, 0), (0, I)][(ddotx), (ddot theta)]+[(k_1+k_2, k_1r-k_2r), (k_1r-k_2r, k_1r^2+k_2r^2)][(x), (theta)]=0$ (ho tralasciato il termine costante mg perché non influsice sulle oscillazioni)
Detta $mathbb(M)$ la prima matrice, detta matrice delle masse, e $mathbb(K)$ la seconda matrice, detta matrice del potenziale, le frequenze delle piccole oscillazioni del sistema si trovano risolvendo il problema agli autovalori accoppiato:
$det(mathbb(M)-omega^2mathbb(K))=0$
$(M+m)ddotx=mg-F_1-F_2$
$Iddottheta=RF_2-RF_1$
Le equazioni risultano accoppiate, ossia le incognite x e theta sono presenti in entrambe le equazioni. SI può dimostrare che tale tipo di sistema oscilla. Per ottenere le oscillazioni bisogna disaccoppiare il sistema. Per prima cosa si scrive il sistema in forma matriciale:
$[(M+m, 0), (0, I)][(ddotx), (ddot theta)]+[(k_1+k_2, k_1r-k_2r), (k_1r-k_2r, k_1r^2+k_2r^2)][(x), (theta)]=0$ (ho tralasciato il termine costante mg perché non influsice sulle oscillazioni)
Detta $mathbb(M)$ la prima matrice, detta matrice delle masse, e $mathbb(K)$ la seconda matrice, detta matrice del potenziale, le frequenze delle piccole oscillazioni del sistema si trovano risolvendo il problema agli autovalori accoppiato:
$det(mathbb(M)-omega^2mathbb(K))=0$
Ok ho capito, grazie della spiegazione, sei stato chiarissimo! 
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