Due masse attaccate a una molla
Ripassando un po' fisica 1 ho incontrato un esempio svolto per esemplificare il ruolo dell'energia interna e del lavoro delle forze conservative e non. In questo esempio ci sono due corpi identici $m_1,m_2$ di massa $m$ attaccati alle estremità di una molla ideale, il tutto è su un piano orizzontale liscio . All'istante iniziale la molla è tenuta compressa (tramite un filo) di $delta$ rispetto alla lunghezza di riposo $l$, e $m_2$ è appoggiata ad una parete rigida.
Quello che viene detto è che una volta tagliato il filo le masse iniziano il loro moto e $m_2$ si stacca dal muro quando la molla raggiunge la lunghezza di equilibrio. Qualitativamente mi è chiaro: nel momento in cui si inverte la forza su $m_2$ questa si stacca dalla parete (che non esercita più reazione vincolare).
Quello che vorrei fare è ottenere questo risultato 'quantitativamente' tramite le equazioni del moto.
Ho pensato di impostare il problema tramite le equazioni
$\{(\ddot x_1=-kd),(\ddot x_2=kd-kd*theta(\bar t-t)):}$
dove $d=l-(x_2-x_1)$ e la parte con la funzione di Heaviside è la reazione vincolare, che è non nulla fino a $\bar t$.
Ho provato a risolvere le equazioni facendo le sostituzioni $x_c=1/2*(x_1+x_2) \quad x_d=(x_2-x_1)$ ma non riesco ad arrivare a una conclusione perchè non so imporre le condizioni iniziali, e forse il problema così è impostato male dato che dovrei ricavare $\bar t$ per trovare che a quell'istante $m_2$ si stacca dalla parete.
Magari c'e un modo più furbo per impostare il problema o forse si possono risolvere le equazioni di sopra tramite alcune considerazioni, però per adesso a me non viene in mente altro, quindi confido in un vostro aiuto
Quello che viene detto è che una volta tagliato il filo le masse iniziano il loro moto e $m_2$ si stacca dal muro quando la molla raggiunge la lunghezza di equilibrio. Qualitativamente mi è chiaro: nel momento in cui si inverte la forza su $m_2$ questa si stacca dalla parete (che non esercita più reazione vincolare).
Quello che vorrei fare è ottenere questo risultato 'quantitativamente' tramite le equazioni del moto.
Ho pensato di impostare il problema tramite le equazioni
$\{(\ddot x_1=-kd),(\ddot x_2=kd-kd*theta(\bar t-t)):}$
dove $d=l-(x_2-x_1)$ e la parte con la funzione di Heaviside è la reazione vincolare, che è non nulla fino a $\bar t$.
Ho provato a risolvere le equazioni facendo le sostituzioni $x_c=1/2*(x_1+x_2) \quad x_d=(x_2-x_1)$ ma non riesco ad arrivare a una conclusione perchè non so imporre le condizioni iniziali, e forse il problema così è impostato male dato che dovrei ricavare $\bar t$ per trovare che a quell'istante $m_2$ si stacca dalla parete.
Magari c'e un modo più furbo per impostare il problema o forse si possono risolvere le equazioni di sopra tramite alcune considerazioni, però per adesso a me non viene in mente altro, quindi confido in un vostro aiuto
Risposte
Ti dà tanto fastidio utilizzare l'informazione (qualitativa se vogliamo, ma non da buttar via...) che, finchè la molla spinge, ossia fino a che è più corta della sua lunghezza a riposo, la massa m2 non si muove? Ti sembra più cool usare la funzione di Heaviside?
In realtà ho usato la theta perchè è la prima cosa che mi è venuta in mente e perchè mi permette di scrivere l'equazione in maniera più corta, non perchè fafffiga 
e comunque il fatto è che il risultato che volevo ricavare dalle equazioni del moto è proprio che a lunghezza della molla pari a $l$ la massa 2 si stacca, perciò avevo pensato di usare il tempo. Anche se adesso mi stanno venendo dei dubbi sul senso della mia richiesta...mi sembra che quello che voglio ricavare sia una condizione iniziale da imporre
e comunque il fatto è che il risultato che volevo ricavare dalle equazioni del moto è proprio che a lunghezza della molla pari a $l$ la massa 2 si stacca, perciò avevo pensato di usare il tempo. Anche se adesso mi stanno venendo dei dubbi sul senso della mia richiesta...mi sembra che quello che voglio ricavare sia una condizione iniziale da imporre
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