Due esercizi di Termodinamica
Salve ragazzi e buona domenica. Vi propongo due esercizi che mi hanno lasciato qualche dubbio.
Il testo del primo è il seguente:
"Un gas ideale biatomico si trova nello stato 1( \(\displaystyle T_1 = 300 K \), \(\displaystyle V_1 = 50 * 10^-3 m^3 \),\(\displaystyle p1 = 10^5 Pa \) ). Con una compressione adiabatica reversibile il gas viene portato nello stato 2 in cui \(\displaystyle T_2 = 400K\). Calcolare: a) i valori \(\displaystyle V_2 \) e \(\displaystyle p_2 \), b) il lavoro \(\displaystyle W_1 \) compiuto sul gas. Successivamente il gas viene fatto espandere adiabaticamente contro la pressione esterna \(\displaystyle p_1 \) e l’espansione viene arrestata quando il gas si trova nello stato 3 con volume \(\displaystyle V_3 = V_1. \) Calcolare: c) il lavoro \(\displaystyle W_2 \) compiuto dal gas, d) i valori di \(\displaystyle T_3, p_3 \). "
La prima parte scorre senza particolare problemi, basta variare tra le equazioni di Poisson e la legge di stato dei gas ideali per ricavare le quantità necessarie. Il lavoro \(\displaystyle W_1 \) è facilmente calcolabile. Per quanto riguarda la seconda parte, il testo dice che il gas si espande in maniera adiabatica fino a riportare il suo volume al valore che aveva nello stato 1. Questa trasformazione viene classificata come irreversibile, per cui non si possono più applicare le equazioni di Poisson sfruttando le coordinate termodinamiche. Il lavoro \(\displaystyle W_2 \) viene calcolato come se fosse una isobara con pressione \(\displaystyle p_1 \), analizzando la variazione di volume dallo stato 2 allo stato 3. Questo passaggio mi è poco chiaro. Inoltre, sono a conoscenza del fatto che l'espansione di un gas sia irreversibile ( come d'altronde tutte o quasi tutte le trasformazioni esistenti in natura), ma qual è il modo per essere sicuri del fatto che quella in esame sia realmente una trasformazione irreversibile?
Mentre per il secondo:
"Un recipiente cilindrico a pareti adiabatiche è diviso in due parti A e B da un setto diatermico mobile senza attrito; la base della parte B può scorrere senza attrito. In entrambe le parti si trova una mole di gas ideale monoatomico; inizialmente i volumi sono eguali, \(\displaystyle V_a = V_b = 10^-2 m^3 \) e la temperatura del sistema è \(\displaystyle T_a = T_b = 300K \). Agendo dall'esterno con una pressione costante \(\displaystyle p_0 = 4bar \) il gas nella parte B viene compresso fino a che si raggiunge l'equilibrio termodinamico. Calcolare il volume finale, la temperatura finale del sistema, la variazione di entalpia del gas."
I volumi sono uguali allo stato iniziale, e così anche la temperatura in quanto il setto centrale è diatermico. Il gas è contenuto all'interno di un contenitore adiabatico, per cui non ci saranno scambi di calore con l'ambiente esterno e quindi \(\displaystyle Q = Q_a + Q_b = 0 \). Inoltre, da quanto ho avuto modo di intuire, ad equilibrio raggiunto la pressione nelle due sezioni A e B deve essere uguale altrimenti il pistone o il setto si muoverebbero. In entrambe le due parti il lavoro è pari alla variazione di energia meccanica, in base al primo principio. Questo lavoro a cosa corrisponde? Al lavoro calcolato in una normale trasformazione isobara? Inoltre, come fanno i volumi finali ad essere uguali in entrambe le sezioni?
Il testo del primo è il seguente:
"Un gas ideale biatomico si trova nello stato 1( \(\displaystyle T_1 = 300 K \), \(\displaystyle V_1 = 50 * 10^-3 m^3 \),\(\displaystyle p1 = 10^5 Pa \) ). Con una compressione adiabatica reversibile il gas viene portato nello stato 2 in cui \(\displaystyle T_2 = 400K\). Calcolare: a) i valori \(\displaystyle V_2 \) e \(\displaystyle p_2 \), b) il lavoro \(\displaystyle W_1 \) compiuto sul gas. Successivamente il gas viene fatto espandere adiabaticamente contro la pressione esterna \(\displaystyle p_1 \) e l’espansione viene arrestata quando il gas si trova nello stato 3 con volume \(\displaystyle V_3 = V_1. \) Calcolare: c) il lavoro \(\displaystyle W_2 \) compiuto dal gas, d) i valori di \(\displaystyle T_3, p_3 \). "
La prima parte scorre senza particolare problemi, basta variare tra le equazioni di Poisson e la legge di stato dei gas ideali per ricavare le quantità necessarie. Il lavoro \(\displaystyle W_1 \) è facilmente calcolabile. Per quanto riguarda la seconda parte, il testo dice che il gas si espande in maniera adiabatica fino a riportare il suo volume al valore che aveva nello stato 1. Questa trasformazione viene classificata come irreversibile, per cui non si possono più applicare le equazioni di Poisson sfruttando le coordinate termodinamiche. Il lavoro \(\displaystyle W_2 \) viene calcolato come se fosse una isobara con pressione \(\displaystyle p_1 \), analizzando la variazione di volume dallo stato 2 allo stato 3. Questo passaggio mi è poco chiaro. Inoltre, sono a conoscenza del fatto che l'espansione di un gas sia irreversibile ( come d'altronde tutte o quasi tutte le trasformazioni esistenti in natura), ma qual è il modo per essere sicuri del fatto che quella in esame sia realmente una trasformazione irreversibile?
Mentre per il secondo:
"Un recipiente cilindrico a pareti adiabatiche è diviso in due parti A e B da un setto diatermico mobile senza attrito; la base della parte B può scorrere senza attrito. In entrambe le parti si trova una mole di gas ideale monoatomico; inizialmente i volumi sono eguali, \(\displaystyle V_a = V_b = 10^-2 m^3 \) e la temperatura del sistema è \(\displaystyle T_a = T_b = 300K \). Agendo dall'esterno con una pressione costante \(\displaystyle p_0 = 4bar \) il gas nella parte B viene compresso fino a che si raggiunge l'equilibrio termodinamico. Calcolare il volume finale, la temperatura finale del sistema, la variazione di entalpia del gas."
I volumi sono uguali allo stato iniziale, e così anche la temperatura in quanto il setto centrale è diatermico. Il gas è contenuto all'interno di un contenitore adiabatico, per cui non ci saranno scambi di calore con l'ambiente esterno e quindi \(\displaystyle Q = Q_a + Q_b = 0 \). Inoltre, da quanto ho avuto modo di intuire, ad equilibrio raggiunto la pressione nelle due sezioni A e B deve essere uguale altrimenti il pistone o il setto si muoverebbero. In entrambe le due parti il lavoro è pari alla variazione di energia meccanica, in base al primo principio. Questo lavoro a cosa corrisponde? Al lavoro calcolato in una normale trasformazione isobara? Inoltre, come fanno i volumi finali ad essere uguali in entrambe le sezioni?
Risposte
Il lavoro e' pari alla forza applicata per lo spostamento. la forza applicata e' $p_0*S$, lo spostamento incognito e' $Deltax$. E siccome $S*Deltax=DeltaV$, $L=p_0DeltaV$ con $DeltaV$ la diminuzione del volume.
La temperatura finale del sistema e' facilmente determinabile. Degli scambi interni ti importa poco perche' si annullano.
La pressione deve essere identicamente $p_0$ in entrambi i setti, e quindi essendo la temperatura la stessa in entrambi i setti, i volumi "ridotti" devono essere identici.
La temperatura finale del sistema e' facilmente determinabile. Degli scambi interni ti importa poco perche' si annullano.
La pressione deve essere identicamente $p_0$ in entrambi i setti, e quindi essendo la temperatura la stessa in entrambi i setti, i volumi "ridotti" devono essere identici.
Ciao Kappa. Preciso come sempre! Ricapitolando, da quanto ho capito il fatto che il setto sia fermo o mobile determina tante cose. Se è mobile, allora nelle due sezioni si avrà la stessa pressione finale all'equilibrio, nonchè la stessa temperatura essendo il setto diatermico. Da qui deriva che anche i volumi finali saranno uguali, dalla legge di stato dei gas ideali. Ho svolto un altro esercizio di questo tipo, con contenitori adiabatici e setti, e in questo caso il gas è contenuto in un cilindro rigido per cui non ci sarà lavoro esterno ma la parete diatermica al centro si muoverà solo per la differenza delle pressioni tra le due parti. Quello che non ho capito è perchè, ad un certo punto, il testo scriva che la somma dei volumi iniziali equivale alla somma dei volumi finali. Quello che abbiamo detto è che i volumi ridotti saranno uguali, ma non uguali ai volumi iniziali! C'è però una cosa da dire, la temperatura finale all'equilibrio risulta essere uguale alla temperatura iniziale nella parte A, che poi è uguale alla temperatura in B. Può essere che questa determini l'uguaglianza dei volumi finali con i volumi iniziali? La pressione finale sarà ovviamente diversa da quella presente nelle due parti (2 atm in A, 1 atm in B).
Inoltre, la variazione d'entropia dell'universo per un gas racchiuso in un cilindro adiabatico a cosa corrisponde?
Inoltre, la variazione d'entropia dell'universo per un gas racchiuso in un cilindro adiabatico a cosa corrisponde?
"professorkappa":
La pressione deve essere identicamente $p_0$ in entrambi i setti, e quindi essendo la temperatura la stessa in entrambi i setti, i volumi "ridotti" devono essere identici.
Da cosa deriva che la pressione debba necessariamente essere p0 nei setti?
Se non lo fosse, il pistone o il setto si muoverebbero
Ok, su questo ci siamo.Le pressioni finali devono essere uguali nei due spazi per non far muovere il setto centrale. Ma perché proprio p0? Non potrebbe essere una pressione diversa quella finale? Come si fa a dire a priori che sarà proprio p0?
Ti sarei immensamente grato se potessi dare un'occhiata anche a questo. Quando hai del tempo, senza alcuna fretta! Grazie mille
"MrEngineer":
Ciao Kappa. Preciso come sempre! Ricapitolando, da quanto ho capito il fatto che il setto sia fermo o mobile determina tante cose. Se è mobile, allora nelle due sezioni si avrà la stessa pressione finale all'equilibrio, nonchè la stessa temperatura essendo il setto diatermico. Da qui deriva che anche i volumi finali saranno uguali, dalla legge di stato dei gas ideali. Ho svolto un altro esercizio di questo tipo, con contenitori adiabatici e setti, e in questo caso il gas è contenuto in un cilindro rigido per cui non ci sarà lavoro esterno ma la parete diatermica al centro si muoverà solo per la differenza delle pressioni tra le due parti. Quello che non ho capito è perchè, ad un certo punto, il testo scriva che la somma dei volumi iniziali equivale alla somma dei volumi finali. Quello che abbiamo detto è che i volumi ridotti saranno uguali, ma non uguali ai volumi iniziali! C'è però una cosa da dire, la temperatura finale all'equilibrio risulta essere uguale alla temperatura iniziale nella parte A, che poi è uguale alla temperatura in B. Può essere che questa determini l'uguaglianza dei volumi finali con i volumi iniziali? La pressione finale sarà ovviamente diversa da quella presente nelle due parti (2 atm in A, 1 atm in B).
Inoltre, la variazione d'entropia dell'universo per un gas racchiuso in un cilindro adiabatico a cosa corrisponde?
Ti sarei immensamente grato se potessi dare un'occhiata anche a questo. Quando hai del tempo, senza alcuna fretta! Grazie mille
Sulla base di B ci sono 4 bar. Per essere tutto in equilibrio ci devono essere 4 bar in B e 4 bar in A
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