Due dischi su un piano inclinato
Salve a tutti, ho da proporvi un esercizio per avere un parere su come l'ho risolto.
Un sistema meccanico è costituito da un disco rigido, omogeneo, di raggio r e massa m, e da un anello rigido, omogeneo, che ha raggio e massa uguali a quelli del disco. Il disco e l'anello sono vincolati a rotolare senza strisciare su un piano inclinato, di inclinazione $ theta $ ; inoltre ai due centri sono collegati gli estremi di una fune inestendibile e di massa trascurabile. L'intero sistema giace in un piano verticale ortogonale al piano inclinato e l'anello si trova più in alto rispetto al disco.
a) Se si applica nel punto P dell'anello una opportuna forza diretta tangenzialmente all'anello e perpendicolare al piano inclinato si osserva che l'intero sistema è in equilibrio v. figura). Calcolare il modulo di questa forza e le forze che il piano inclinato esercita sul disco e sull'anello.
b) Se si elimina bruscamente la forza F il sistema si muove con la fune tesa. Calcolare la tensione della fune.
Come lo risolvo:
a) $ F=2mgsintheta $ somma delle componenti parallele al piano inclinato della forza peso dei dischi che generano un momento rispetto il punto di contatto tra l'anello e il piano.
Sull'anello il piano esercita una forza pari a:
$ N1=mgcostheta+mgsentheta $ il secondo termine proviene dal disco
$ N2=mgcostheta $
b) s
Scrivo le equazioni del moto per entrambi i dischi:
$ ma=mgsen theta-Fa+T $ per l'anello (T=tensione; Fa=forza di attrito)
$ ma=mgsen theta-Fa-T $ per il disco
$ Fa1R=I1 alpha $ (I1=momento di inerzia anello; I2=momento di inerzia dl disco)
$ Fa2R=I2 alpha $
$ a=alphaR $
Adesso ricavo T dalla seconda equazione e sostituisco nella prima riscrivedo $ alpha=a/R $ , $ I1=mR^2 $ ,
$ I2=1/2mR^2 $
$ 2ma=2mgsentheta-1/2ma-ma $
ricavo quindi l'accelerazione dei centri di massa dei due dischi e posso adesso calcolar anche T.
Corretto?
Un sistema meccanico è costituito da un disco rigido, omogeneo, di raggio r e massa m, e da un anello rigido, omogeneo, che ha raggio e massa uguali a quelli del disco. Il disco e l'anello sono vincolati a rotolare senza strisciare su un piano inclinato, di inclinazione $ theta $ ; inoltre ai due centri sono collegati gli estremi di una fune inestendibile e di massa trascurabile. L'intero sistema giace in un piano verticale ortogonale al piano inclinato e l'anello si trova più in alto rispetto al disco.
a) Se si applica nel punto P dell'anello una opportuna forza diretta tangenzialmente all'anello e perpendicolare al piano inclinato si osserva che l'intero sistema è in equilibrio v. figura). Calcolare il modulo di questa forza e le forze che il piano inclinato esercita sul disco e sull'anello.
b) Se si elimina bruscamente la forza F il sistema si muove con la fune tesa. Calcolare la tensione della fune.
Come lo risolvo:
a) $ F=2mgsintheta $ somma delle componenti parallele al piano inclinato della forza peso dei dischi che generano un momento rispetto il punto di contatto tra l'anello e il piano.
Sull'anello il piano esercita una forza pari a:
$ N1=mgcostheta+mgsentheta $ il secondo termine proviene dal disco
$ N2=mgcostheta $
b) s
Scrivo le equazioni del moto per entrambi i dischi:
$ ma=mgsen theta-Fa+T $ per l'anello (T=tensione; Fa=forza di attrito)
$ ma=mgsen theta-Fa-T $ per il disco
$ Fa1R=I1 alpha $ (I1=momento di inerzia anello; I2=momento di inerzia dl disco)
$ Fa2R=I2 alpha $
$ a=alphaR $
Adesso ricavo T dalla seconda equazione e sostituisco nella prima riscrivedo $ alpha=a/R $ , $ I1=mR^2 $ ,
$ I2=1/2mR^2 $
$ 2ma=2mgsentheta-1/2ma-ma $
ricavo quindi l'accelerazione dei centri di massa dei due dischi e posso adesso calcolar anche T.
Corretto?
Risposte
Ho esaminato solo la parte statica del problema per mancanza di tempo, e già mi fermo a dirti alcune cose.
Secondo me tu dai per scontato (correggimi se sbaglio) che la reazione del piano inclinato sulle ruote sia solo normale. Perché? Siccome c'è attrito (altrimenti le ruote non potrebbero rotolare senza strisciare), il piano fornisce anche una reazione tangenziale.
Allora il modo giusto di procedere è il seguente.
Prendiamo come riferimento il punto di contatto tra disco e piano e calcoliamo i momenti. Chiamo $\tau$ la tensione della fune intermedia tra ruota e disco.
\[\begin{gathered}
\tau R = mgR\sin \theta \hfill \\
\tau = mg\sin \theta \hfill \\
\end{gathered} \]
Trovata la tensione, mi sposto sull'anello e faccio il calcolo dei momenti rispetto al punto di contatto tra questo e il piano:
\[\begin{gathered}
FR = mgR\sin \theta + \tau R \hfill \\
F = 2mg\sin \theta \hfill \\
\end{gathered} \]
Adesso vediamo le reazioni.
La reazione normale del piano sul disco compensa tutte le forze normali, dunque:
\[{N_d} = mg\cos \theta \]
(considero positiva la reazione quando diretta dal piano verso l'esterno)
La reazione tangente al piano compensa le forze tangenti:
\[{T_d} = mg\sin \theta - \tau = 0\]
(considero positiva la reazione quando diretta verso la parte superiore del piano inclinato)
Per l'anello si ha:
\[\begin{gathered}
{N_a} = mg\cos \theta + F = mg\left( {\cos \theta + 2\sin \theta } \right) \hfill \\
{T_a} = mg\sin \theta + \tau = 2mg\sin \theta \hfill \\
\end{gathered} \]
D'altra parte è evidente che se non ci fosse almeno una reazione tangente, cioè se mancasse l'attrito, tutto il sistema scivolerebbe giù.
Secondo me tu dai per scontato (correggimi se sbaglio) che la reazione del piano inclinato sulle ruote sia solo normale. Perché? Siccome c'è attrito (altrimenti le ruote non potrebbero rotolare senza strisciare), il piano fornisce anche una reazione tangenziale.
Allora il modo giusto di procedere è il seguente.
Prendiamo come riferimento il punto di contatto tra disco e piano e calcoliamo i momenti. Chiamo $\tau$ la tensione della fune intermedia tra ruota e disco.
\[\begin{gathered}
\tau R = mgR\sin \theta \hfill \\
\tau = mg\sin \theta \hfill \\
\end{gathered} \]
Trovata la tensione, mi sposto sull'anello e faccio il calcolo dei momenti rispetto al punto di contatto tra questo e il piano:
\[\begin{gathered}
FR = mgR\sin \theta + \tau R \hfill \\
F = 2mg\sin \theta \hfill \\
\end{gathered} \]
Adesso vediamo le reazioni.
La reazione normale del piano sul disco compensa tutte le forze normali, dunque:
\[{N_d} = mg\cos \theta \]
(considero positiva la reazione quando diretta dal piano verso l'esterno)
La reazione tangente al piano compensa le forze tangenti:
\[{T_d} = mg\sin \theta - \tau = 0\]
(considero positiva la reazione quando diretta verso la parte superiore del piano inclinato)
Per l'anello si ha:
\[\begin{gathered}
{N_a} = mg\cos \theta + F = mg\left( {\cos \theta + 2\sin \theta } \right) \hfill \\
{T_a} = mg\sin \theta + \tau = 2mg\sin \theta \hfill \\
\end{gathered} \]
D'altra parte è evidente che se non ci fosse almeno una reazione tangente, cioè se mancasse l'attrito, tutto il sistema scivolerebbe giù.
Ciao! Grazie comunque per averci dato un'occhiata.
Comunque no, assolutamente, è ovvia e non ho trascurato affatto la presenza della forza di attrito, tant'è che nel secondo punto dell'esercizio, giusto o sbagliato che sia, ne ho tenuto conto. Perchè non ne ho tenuto conto nei calcoli della statica? Boh, mi sono auto convinto che il testo volesse solo la reazione normale. Il fatto che non ci sia non è quindi una dimenticanza ma una cosa voluta, seppur insensata
Voglio chiederti una cosa: nel calcolo di Na hai segnato F positiva, o meglio, concorde con mgcostheta, ma se la vediamo come forza applicata dall'anello al piano, è discorde alla forza peso, o ugualmente, la forza F che il piano applica all'anello deve essere rivolta verso il basso diversamente dalla reazione mgcostheta che è rivolta verso l'alto. Sfugge qualcosa a me o hai semplicemente tenuto conto del modulo della forza totale esercitata dal piano?
Comunque no, assolutamente, è ovvia e non ho trascurato affatto la presenza della forza di attrito, tant'è che nel secondo punto dell'esercizio, giusto o sbagliato che sia, ne ho tenuto conto. Perchè non ne ho tenuto conto nei calcoli della statica? Boh, mi sono auto convinto che il testo volesse solo la reazione normale. Il fatto che non ci sia non è quindi una dimenticanza ma una cosa voluta, seppur insensata
Voglio chiederti una cosa: nel calcolo di Na hai segnato F positiva, o meglio, concorde con mgcostheta, ma se la vediamo come forza applicata dall'anello al piano, è discorde alla forza peso, o ugualmente, la forza F che il piano applica all'anello deve essere rivolta verso il basso diversamente dalla reazione mgcostheta che è rivolta verso l'alto. Sfugge qualcosa a me o hai semplicemente tenuto conto del modulo della forza totale esercitata dal piano?
$N_a$ è la reazione del piano ovvero la forza che il piano esercita verso l'anello.
Questa forza deve equilibrare sia la F (che è diretta dall'anello verso il piano), sia la componente peso dell'anello $mgcos\theta$ che pure è diretta dall'anello verso il piano.
Il verso di $N_a$ è dunque opposto sia a F che alla componente di peso $mgcos\theta$ e il suo modulo è quello indicato.
Questa forza deve equilibrare sia la F (che è diretta dall'anello verso il piano), sia la componente peso dell'anello $mgcos\theta$ che pure è diretta dall'anello verso il piano.
Il verso di $N_a$ è dunque opposto sia a F che alla componente di peso $mgcos\theta$ e il suo modulo è quello indicato.
Ah ok, hai ragione perdonami, mi ero fatto in mente un'immagine diversa dello schema
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo