Due cubi identici di massa m uniti da una molla compressa

[anna_4270]

Un sistema è composto da due cubi identici di massa m uniti da una molla compressa di costante elastica k. I cubi sono anche connessi da un filo in tensione che ad un certo punto viene bruciato. Trovare:
a) per quale valore della compressione iniziale della
molla ΔL il cubo inferiore si solleverà dal piano
d’appoggio
b) quale sarà l’altezza massima h raggiunta dal centro di massa del sistema (rispetto alla quota iniziale) se ΔL=7mg/k

[Quinzio]

Quando la corda si spezza, la massa superiore iniziera' a salire, fino a raggiungere il punto piu' alto, dove si ferma per un istante, per poi iniziare a scendere.
In quel punto la forza di contrazione della molla e' massima e tende a richiamare le masse.
Se $kx = ma$, fa in modo che $a > g$ l'accelerazione di gravita', allora la massa inferiore fa un sobbalzo, si stacca da terra.

Se poniamo la quota zero della massa superiore quando la molla e' a riposo, abbiamo il bilancio delle energie:

$mgh_1 + 1/2 k h_1^2 = mgh_2 +1/2 k h_2^2$

Dove $h_1 > 0$ e' il punto piu alto raggiunto dalla massa e $h_2 < 0$ il punto di partenza.

Sostituiamo $h_1 = (mg)/k$

$mg { m g}/k + 1/2 k ((mg)/k)^2 = mgh_2 +1/2 k h_2^2$

Quindi il risultato e' la soluzione dell'equazione di secondo grado

$ h_2^2 + 2 (m g)/(k) h_2 - 3 ((m g)/(k))^2 =0$

$(h_2 + 3(m g)/(k))(h_2 -(m g)/(k)) = 0 $

Quindi $h_2 = - 3(m g)/(k)$

$Delta L = 3(m g)/(k)$

[Quinzio]

Se la molla parte da una compressione di $7 (mg)/k$, quando la massa inferiore inizia a staccarsi il sistema ha un'energia residua $E$.
Questa energia residua $E$ e' quella che fa salire il baricentro del sistema, che possiamo pensarlo come composto da due masse $m$.
Il baricentro salira' allora di un ulteriore $h_3 = E/(2mg)$,

Quindi

$ mgh_1 + 1/2 k h_1^2 +E= mgh_2 +1/2 k h_2^2 $

dove $h_1 = (mg)/k$

$h_1 = -7 (mg)/k$

$ (mg)^2/k + 1/2 (mg)^2/k +E = -7 (mg)^2/k +49/2 (mg)^2/k $

$E = 16 (mg)^2/k$

$h_3 = (16 (mg)^2/k)/(2mg) = 8 (mg)/k$

A questi vanno aggiunti i $4 (mg)/k$ di quando la massa inizia a staccarsi $4=(1+7)/2$.

Quindi il baricentro si solleva in tutto di $12 (mg)/k$