Due corpi a contatto
Salve, sto avendo dei dubbi madornali su questo "problema" che mi sono posto.
Immaginiamo di avere due corpi di masse differenti $M$ ed $m$ (questa precisazione è inutile per il momento) a contatto l'uno con l'altro ed appoggiati su un piano liscio (anche questa precisazione è inutile, ma semplifica le cose).
Applico adesso, in qualche modo di cui non mi curo, una forza $F$ al primo corpo di massa $M$. A questo punto non riesco bene a capire come si instaurerà il moto. Mi spiego:
Il corpo $M$ deve di conseguenza trasmettere una forza al secondo corpo $m$. Chiamerò tale forza $R_+$. A tale forza deve reagire una reazione (che chiamerò $R_-$) che il secondo corpo di massa $m$ agisce sul primo di massa $M$. Risulta inoltre che $F = R_+ = R_-$ in modulo. Facendo un bilancio di forze qualche istante infinitesimamente piccolo dopo aver iniziato ad applicare la forza $F$ su entrambi i corpi ottengo dunque:
Corpo di massa $M$: $F_{ris} = F + R_{-} = 0$
Corpo di massa $m$: $F_{ris} = R_+$
Ovviamente questa situazione dura un infinitesimo, infatti appena il corpo di massa minore accelera le reazioni vincolari vengono meno ed il bilancio di forze cambia in:
Corpo di massa $M$: $F_{ris} = F$
Corpo di massa $m$: $F_{ris} = 0$
Mi viene da pensare che quindi il moto, che a me appare di due corpi "attaccati", è in realtà costituito da tante piccole "oscillazioni" che, se vogliamo, sono dovute alle forze di repulsione elettromagnetiche (nel/i punto/i di contatto tra i due corpi) che noi non percepiamo in quanto appartenenti alla scala atomica.
Tutta questa menata, di cui chiedo conferma perché non so se ha senso, mi serve per arrivare a questo punto.
Ipotizzando vero quanto sopra detto, nel caso in cui $M ≫ m$ tecnicamente questo fenomeno "atomico" dovrei riuscire a vederlo anche alla scala normale? Dovrei poter vedere a massa $m$ che "schizza" e piano piano $M$ la raggiunge. Questa cosa non mi sembra molto logica quindi credo che il mio ragionamento sia sbagliato da qualche parte; se qualcuno mi mostra un ragionamento corretto gliene sarei grato.
Grazie in anticipo!
Immaginiamo di avere due corpi di masse differenti $M$ ed $m$ (questa precisazione è inutile per il momento) a contatto l'uno con l'altro ed appoggiati su un piano liscio (anche questa precisazione è inutile, ma semplifica le cose).
Applico adesso, in qualche modo di cui non mi curo, una forza $F$ al primo corpo di massa $M$. A questo punto non riesco bene a capire come si instaurerà il moto. Mi spiego:
Il corpo $M$ deve di conseguenza trasmettere una forza al secondo corpo $m$. Chiamerò tale forza $R_+$. A tale forza deve reagire una reazione (che chiamerò $R_-$) che il secondo corpo di massa $m$ agisce sul primo di massa $M$. Risulta inoltre che $F = R_+ = R_-$ in modulo. Facendo un bilancio di forze qualche istante infinitesimamente piccolo dopo aver iniziato ad applicare la forza $F$ su entrambi i corpi ottengo dunque:
Corpo di massa $M$: $F_{ris} = F + R_{-} = 0$
Corpo di massa $m$: $F_{ris} = R_+$
Ovviamente questa situazione dura un infinitesimo, infatti appena il corpo di massa minore accelera le reazioni vincolari vengono meno ed il bilancio di forze cambia in:
Corpo di massa $M$: $F_{ris} = F$
Corpo di massa $m$: $F_{ris} = 0$
Mi viene da pensare che quindi il moto, che a me appare di due corpi "attaccati", è in realtà costituito da tante piccole "oscillazioni" che, se vogliamo, sono dovute alle forze di repulsione elettromagnetiche (nel/i punto/i di contatto tra i due corpi) che noi non percepiamo in quanto appartenenti alla scala atomica.
Tutta questa menata, di cui chiedo conferma perché non so se ha senso, mi serve per arrivare a questo punto.
Ipotizzando vero quanto sopra detto, nel caso in cui $M ≫ m$ tecnicamente questo fenomeno "atomico" dovrei riuscire a vederlo anche alla scala normale? Dovrei poter vedere a massa $m$ che "schizza" e piano piano $M$ la raggiunge. Questa cosa non mi sembra molto logica quindi credo che il mio ragionamento sia sbagliato da qualche parte; se qualcuno mi mostra un ragionamento corretto gliene sarei grato.
Grazie in anticipo!
Risposte
"dRic":
Ipotizzando vero quanto sopra detto, nel caso in cui $M ≫ m$ tecnicamente questo fenomeno "atomico" dovrei riuscire a vederlo anche alla scala normale? Dovrei poter vedere a massa $m$ che "schizza" e piano piano $M$ la raggiunge. Questa cosa non mi sembra molto logica quindi credo che il mio ragionamento sia sbagliato da qualche parte; se qualcuno mi mostra un ragionamento corretto gliene sarei grato.
Se immagini che i due corpi siano, anzichè a contatto, collegati con una molla, è vero che se al tempo 0 applichi una forza a uno dei due, l'altro lo segue non in modo rigido ma oscillando avanti e indietro.
Ora, le azioni di contatto sono in realtà molto simili ad una molla: molto rigida, per cui le oscillazioni sono estremamente piccole, e rapidamente smorzate per gli attriti interni. ma in sostanza quello che pensi non è così sbagliato.
MA non mi appare che succeda questa oscillazione.
In ogni istante sul corpo M agisce una forza $F-R$ e quindi per M deve valere $F-R=Ma$.
Sul corpo m $R=ma$
L'accelerazione e' pertanto $a=F/(M+m)$ e $R=F-FM/(M+m)=Fm/(M+m)$ e mi sembra che tutto sia costante
In ogni istante sul corpo M agisce una forza $F-R$ e quindi per M deve valere $F-R=Ma$.
Sul corpo m $R=ma$
L'accelerazione e' pertanto $a=F/(M+m)$ e $R=F-FM/(M+m)=Fm/(M+m)$ e mi sembra che tutto sia costante
Io concordo sia con mgrau che con professorkappa , e aggiungo che dipende dalla modalità con cui la forza $F$ è applicata al corpo di massa $M$ . Immaginiamo infatti che la forza sia applicata in maniera impulsiva ....quel famoso impulso che lascia perplessi tanti studiosi ... Cioè , alla maniera di un urto , per capirci, come quando con la stecca di biliardo colpiamo la palla, davanti alla quale è messo il pallino a contatto . Allora valgono le leggi dell'urto , e in genere in un caso come questo diciamo che l'urto è elastico , mentre dovremmo dire che lo è solo parzialmente , con una certa energia che va perduta.
Questo mi porta a riflettere su quanto sia strana , a volte , la meccanica classica .
Si assume uno schema di corpo rigido, che ci va bene fino a quando studiamo il moto di corpo soggetto a forze e momenti, per determinare le caratteristiche globali del moto risultante. Ma in certe circostanze questo schema non va più bene. Quando parliamo di urto, introduciamo un concetto di "elasticità" , totale o parziale che sia, o addirittura nulla, il quale non fa parte certamente dello schema di corpo rigido. Dire che un urto è elastico , supponiamo totalmente, significa appunto immaginare un comportamento come quello supposto da mgrau e da dRic ; i corpi che urtano si deformano elasticamente : che vuol dire ? Vuol dire che la deformazione , cessata l'azione (la forza) deformante , si annulla , e il corpo ritorna nella sua forma originale. Ma allora , non sono più corpi rigidi !
Professorkappa , quante provette meccaniche hai rotto, al banco prova di materiali metallici ? Nelle prove di trazione , si distingue un "limite di proporzionalità" tra forza e deformazione , in cui vale la legge di Hooke : $\sigma = E \epsilon$ , e dopo ...dopo succede che si instaurano delle deformazioni permanenti . Ma questo si capisce studiando altre materie , non è il caso di parlarne qui.
Però , come sembra strana, certe volte , la meccanica classica !
Questo mi porta a riflettere su quanto sia strana , a volte , la meccanica classica .
Si assume uno schema di corpo rigido, che ci va bene fino a quando studiamo il moto di corpo soggetto a forze e momenti, per determinare le caratteristiche globali del moto risultante. Ma in certe circostanze questo schema non va più bene. Quando parliamo di urto, introduciamo un concetto di "elasticità" , totale o parziale che sia, o addirittura nulla, il quale non fa parte certamente dello schema di corpo rigido. Dire che un urto è elastico , supponiamo totalmente, significa appunto immaginare un comportamento come quello supposto da mgrau e da dRic ; i corpi che urtano si deformano elasticamente : che vuol dire ? Vuol dire che la deformazione , cessata l'azione (la forza) deformante , si annulla , e il corpo ritorna nella sua forma originale. Ma allora , non sono più corpi rigidi !
Professorkappa , quante provette meccaniche hai rotto, al banco prova di materiali metallici ? Nelle prove di trazione , si distingue un "limite di proporzionalità" tra forza e deformazione , in cui vale la legge di Hooke : $\sigma = E \epsilon$ , e dopo ...dopo succede che si instaurano delle deformazioni permanenti . Ma questo si capisce studiando altre materie , non è il caso di parlarne qui.
Però , come sembra strana, certe volte , la meccanica classica !
Neanche io vedo tutte queste oscillazioni e molle che vanno tanto di moda...oltre al fatto che l'analisi di dRic mi pare del tutto sbagliata
Mah, sara' che io sono un vil meccanico e le mie modellizzazioni sono molto rudimentali.
Se i corpi sono rigidi, semplicemente non ci sono deformazioni per quanto grande sia la forza. Se non lo sono la deformazione e' proporzionale alla forza applicata (ho visto qualche provetta rompersi a trazione: a volte quando fornivamo pompe centrifughe di grossa stazza - si parlava di MW, il cliente chiedeva che venisse ritagliato un provino di materiale dalla corpo pompa e venissero esguiti test distruttivi a trazione e a impatto. Lo schiocco, quando il provino rompeva a trazione, era molto gratificante).
Ora nel problema posto da dric, o i corpi sono rigidi o non lo sono. Ma ha senso spingere l'analisi ed estenderal a corpi non rigidi, specialmente quando questi sono "blocchi"? E se si, allora dovrebbe, nella stesura del problema, ipotizzare i parametri di detta elasticita'. Altrimenti un vie meccanico come me sara' contento di assumere i corpi come idealmente rigidi e rifugiarsi nel conforto delle braccia di Newton (che pare fosse anche un po trascurato in fatto di igiene personale).
Mi pare per' che le equazioni scritte da dric siano errate: Non vedo come possa essere F=R.
Se i corpi sono rigidi, semplicemente non ci sono deformazioni per quanto grande sia la forza. Se non lo sono la deformazione e' proporzionale alla forza applicata (ho visto qualche provetta rompersi a trazione: a volte quando fornivamo pompe centrifughe di grossa stazza - si parlava di MW, il cliente chiedeva che venisse ritagliato un provino di materiale dalla corpo pompa e venissero esguiti test distruttivi a trazione e a impatto. Lo schiocco, quando il provino rompeva a trazione, era molto gratificante).
Ora nel problema posto da dric, o i corpi sono rigidi o non lo sono. Ma ha senso spingere l'analisi ed estenderal a corpi non rigidi, specialmente quando questi sono "blocchi"? E se si, allora dovrebbe, nella stesura del problema, ipotizzare i parametri di detta elasticita'. Altrimenti un vie meccanico come me sara' contento di assumere i corpi come idealmente rigidi e rifugiarsi nel conforto delle braccia di Newton (che pare fosse anche un po trascurato in fatto di igiene personale).
Mi pare per' che le equazioni scritte da dric siano errate: Non vedo come possa essere F=R.
"professorkappa":
.....
Se i corpi sono rigidi, semplicemente non ci sono deformazioni per quanto grande sia la forza. Se non lo sono la deformazione e' proporzionale alla forza applicata (ho visto qualche provetta rompersi a trazione: a volte quando fornivamo pompe centrifughe di grossa stazza - si parlava di MW, il cliente chiedeva che venisse ritagliato un provino di materiale dalla corpo pompa e venissero esguiti test distruttivi a trazione e a impatto. Lo schiocco, quando il provino rompeva a trazione, era molto gratificante).
Ho firmato decine di migliaia di bollettini di prove meccaniche di laboratorio, su materiali più disparati.
La deformazione è proporzionale alla forza applicata solo fino ad un certo punto . Ma non è il caso di parlare di questo, ora.
"Shackle":
[quote="professorkappa"].....
Se i corpi sono rigidi, semplicemente non ci sono deformazioni per quanto grande sia la forza. Se non lo sono la deformazione e' proporzionale alla forza applicata (ho visto qualche provetta rompersi a trazione: a volte quando fornivamo pompe centrifughe di grossa stazza - si parlava di MW, il cliente chiedeva che venisse ritagliato un provino di materiale dalla corpo pompa e venissero esguiti test distruttivi a trazione e a impatto. Lo schiocco, quando il provino rompeva a trazione, era molto gratificante).
Ho firmato decine di migliaia di bollettini di prove meccaniche di laboratorio, su materiali più disparati.
La deformazione è proporzionale alla forza applicata solo fino ad un certo punto . Ma non è il caso di parlare di questo, ora.[/quote]
Non lo metto in dubbio. E conosco il comportamento del materiale: la crescita lineare, la parziale plasticizzazione (quella zona di diagramma $sigma-epsilon$ in cui va a zigzag, l ulteriore aumento di $sigma$ alla plasticizzazione, poi la diminuzione e la rottura. Ma su questo esercizio cosa c'entra? Mi sembra che l'approssimazione di corpo rigido qui sia piu che sufficiente. E chi dice che il materials sia elastico? Se I blocchi sono di legno? O di plastica. Insomma a me pare che ci perdiamo in un bicchiere d'acqua quando Newton basta e avanza. Secondo me.
Ma su questo esercizio cosa c'entra? Mi sembra che l'approssimazione di corpo rigido qui sia piu che sufficiente. E chi dice che il materials sia elastico?
In questa discussione, originata da un dubbio di dRic, l'elasticità c'entra e non c'entra... Se i corpi si suppongono perfettamente rigidi, l'elasticità è nulla. Se però si ragiona in termini di urto, l' ipotesi di rigidità totale va abbandonata; tutta qui la mia osservazione. Ciao .
"Shackle":
. Se però si ragiona in termini di urto, l' ipotesi di rigidità totale va abbandonata; .
Ma non solo in caso di urto. Tutte le volte che si applica una forza in un punto di un corpo, che sia un urto oppure no, questa forza si propaga nel corpo come un'onda (elastica o anche no). Ovviamente questo se si vuole spaccare il capello in quattro, altrimenti nella stragrande maggioranza dei casi se ne può fare a meno.
Però, se a qualcuno vengono dei dubbi esistenziali, come al nostro dRic, mi pare giusto entrare nel dettaglio e far vedere come le apparenti contraddizioni si risolvono.
"mgrau":
[quote="Shackle"]
. Se però si ragiona in termini di urto, l' ipotesi di rigidità totale va abbandonata; .
Ma non solo in caso di urto. Tutte le volte che si applica una forza in un punto di un corpo, che sia un urto oppure no, questa forza si propaga nel corpo come un'onda (elastica o anche no). Ovviamente questo se si vuole spaccare il capello in quattro, altrimenti nella stragrande maggioranza dei casi se ne può fare a meno.
Però, se a qualcuno vengono dei dubbi esistenziali, come al nostro dRic, mi pare giusto entrare nel dettaglio e far vedere come le apparenti contraddizioni si risolvono.[/quote]
Se dici questo, stai appunto supponendo che il materiale sia elastico . Quindi, il corpo non è "rigido" nel senso della meccanica razionale . Che cosa vuol dire " anche no" ?
Anche no, vuol dire che se dò una spinta troppo forte, l'oggetto può anche restare deformato.
Insomma, una specie di budino...
Però una volta ho provato a mangiare un budino semi-rigido , e mi si è rotto un dente...
Però una volta ho provato a mangiare un budino semi-rigido , e mi si è rotto un dente...
Salve, grazie a tutti della partecipazione e scusate la tarda risposta. Ho letto molto di fretta i vostri messaggi (e quindi devo ancora assimilarli bene) perché volevo mettere in chiaro un paio di cose. Come hanno pensato @Shackle e @mgrau non stavo parlando di corpi rigidi, ma deformabili. In effetti quello che mi preme è capire come viene modellizzato (a livello molecolare) il contatto tra due corpi. Secondo me le forze elettromagnetiche tra gli atomi possono essere interpretate (come ha fatto notare @mgrau) come delle molle rigidissime (con $k \to \infty$) che conferiscono una forza "impulsiva" nell'istante in cui sono "compresse" (di una quantità infinitesima). Da qui mi è venuta l'idea che in realtà il moto risultante sia invece una serie di oscillazioni una dietro l'altra.
@professorkappa l'analisi del moto da lei proposta la condivido (e in un esercizio farei così ), ma ammettendo che i corpi rimangano effettivamente attaccati. Io sto cercando di capire se alla microscala è possibile continuare a far valere questa assunzione.
EDIT: comunque credo che il mio modello matematico sia sbagliato. In sostanza quello a cui vorrei arrivare è un modello in cui tra le due masse è presente una molla e poi facendo il limite per $k -> \infty$ (corpo rigido) dovrei riottenere le equazioni scritte da @professorkappa
), ma ammettendo che i corpi rimangano effettivamente attaccati. Io sto cercando di capire se alla microscala è possibile continuare a far valere questa assunzione.EDIT: comunque credo che il mio modello matematico sia sbagliato. In sostanza quello a cui vorrei arrivare è un modello in cui tra le due masse è presente una molla e poi facendo il limite per $k -> \infty$ (corpo rigido) dovrei riottenere le equazioni scritte da @professorkappa
Detto in parole povere, mi stavo interrogando sulla natura delle forze di contatto e come spiegarle con un modello classico. Non stavo cercando di spiegare il moto dei due corpi
Uno degli argomenti che si studiano ( per lo meno , io l'ho studiato a suo tempo ) , quando si affronta il corso di Costruzione di macchine , è la meccanica del contatto . Fu Hertz a tirare fuori delle formule al riguardo, ma non me ne ricordo più.
L'argomento , per chi è appassionato di scienza dei materiali , è uno dei più complessi e belli .
Per avere una idea di che cosa si tratta , guarda questo articolo di Wikipedia , a anche questa dispensa.
Non è materia semplice. Puoi divertirti a cercare , come ho fatto io , digitando sul motore di ricerca " formule di Hertz"
L'argomento , per chi è appassionato di scienza dei materiali , è uno dei più complessi e belli .
Per avere una idea di che cosa si tratta , guarda questo articolo di Wikipedia , a anche questa dispensa.
Non è materia semplice. Puoi divertirti a cercare , come ho fatto io , digitando sul motore di ricerca " formule di Hertz"
Grazie per i link, spippolerò un po' anche io. Anche se mi accontento di una spiegazione anche un po' semplicistica visto che questo non è proprio il mio campo...
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