Due blocchetti in moto rettilineo tenuti insieme da una molla?
Se poteste aiutarmi entro questa sera ve ne sarei molto grato. Il testo dell'esercizio è questo:
"Due blocchetti identici a e b entrambi di massa m possono scivolare senza attrito su un binario rettilineo. Essi sono collegati da una molla di lunghezza l e costante elastica k. Inizialmente sono a riposo. Al tempo t=0, il blocco a, colpito bruscamente, acquisisce una velocità istantanea $ v_0 $ verso destra. Determinare in tempi successivi:
a) la velocità del centro di massa del sistema
b) le velocità di entrambi i blocchi
c) l'energia cinetica del sistema da graficare in funzione del tempo"
Il centro di massa si trova nel punto medio tra i due blocchi, e la sua velocità l'ho calcolata applicando la definizione $ v_(CM)=(0*m+v_0*m)/(2m)=v_0/2 $ ovvero moto rettilineo uniforme (e mi sembra abbia senso, in quanto comunque non sono presenti forze esterne al sistema e si conserva la quantità di moto)
La velocità di entrambi i blocchi...credo si tratti della composizione dei due moti armonici generati dalla molla e del moto traslatorio rettilineo uniforme dovuto al centro di massa. Ipotizzo $ v_a=v_0/2-omegaAcos(omegat+phi) $ e $ v_b=v_0/2+omegaAcos(omegat+phi) $, scegliendo come verso delle x positivo quello diretto verso destra. E' corretto procedere così? E come svolgere il terzo punto?
Vi ringrazio in anticipo.
"Due blocchetti identici a e b entrambi di massa m possono scivolare senza attrito su un binario rettilineo. Essi sono collegati da una molla di lunghezza l e costante elastica k. Inizialmente sono a riposo. Al tempo t=0, il blocco a, colpito bruscamente, acquisisce una velocità istantanea $ v_0 $ verso destra. Determinare in tempi successivi:
a) la velocità del centro di massa del sistema
b) le velocità di entrambi i blocchi
c) l'energia cinetica del sistema da graficare in funzione del tempo"
Il centro di massa si trova nel punto medio tra i due blocchi, e la sua velocità l'ho calcolata applicando la definizione $ v_(CM)=(0*m+v_0*m)/(2m)=v_0/2 $ ovvero moto rettilineo uniforme (e mi sembra abbia senso, in quanto comunque non sono presenti forze esterne al sistema e si conserva la quantità di moto)
La velocità di entrambi i blocchi...credo si tratti della composizione dei due moti armonici generati dalla molla e del moto traslatorio rettilineo uniforme dovuto al centro di massa. Ipotizzo $ v_a=v_0/2-omegaAcos(omegat+phi) $ e $ v_b=v_0/2+omegaAcos(omegat+phi) $, scegliendo come verso delle x positivo quello diretto verso destra. E' corretto procedere così? E come svolgere il terzo punto?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
up
Ho messo giù qualche idea,ma ti dirò che non sono molto convinto, quindi dimmi tu che cosa ne pensi.
Ritengo che convenga mettersi nel riferimento del CM, poiché in tale riferimento la quantità di moto totale del sistema è nulla.
Evidentemente in tale riferimento deve aversi, indicando con $x_A$ e $x_B$ i moduli degli spostamenti delle masse rispetto al CM , di tipo armonico dopo l'impulso :
$m_A x_A - m_Bx_B = 0 $ , e cioè, visto che le due masse sono uguali : $x_A = x_B$ .
Chiaramente, rispetto al CM le due masse hanno spostamenti uguali in valore, ma diretti in senso opposto.
L'allungamento della molla vale : $\Deltal = x_A + x_B $.
Perciò, il moto di ciascuna massa rispetto al CM è dato da :
$m_Addotx_A = - k\Deltal$
$m_Bddotx_B = - k\Deltal$
e cioè :
$ddotx_A + (2k)/mx_A = 0 $
$ddotx_B + (2k)/mx_B = 0 $
in pratica rispetto al CM le due masse hanno lo stesso tipo di moto armonico, da parti opposte rispetto al CM.
La pulsazione del moto quindi è : $ \omega = sqrt((2k)/m) $
Risolte le equazioni diff. del moto, si può trovare per derivazione la velocità di ciascuna massa nel rif. del CM. Per risalire a quella assoluta occorre sommare la velocità di trascinamento del CM.
In quanto all'energia, dovrebbe essere data dalla somma della energia traslazionale di tutto il sistema , con la velocità del CM, e dell'energia associata ai moti oscillatori delle due masse rispetto al CM.
Ritengo che convenga mettersi nel riferimento del CM, poiché in tale riferimento la quantità di moto totale del sistema è nulla.
Evidentemente in tale riferimento deve aversi, indicando con $x_A$ e $x_B$ i moduli degli spostamenti delle masse rispetto al CM , di tipo armonico dopo l'impulso :
$m_A x_A - m_Bx_B = 0 $ , e cioè, visto che le due masse sono uguali : $x_A = x_B$ .
Chiaramente, rispetto al CM le due masse hanno spostamenti uguali in valore, ma diretti in senso opposto.
L'allungamento della molla vale : $\Deltal = x_A + x_B $.
Perciò, il moto di ciascuna massa rispetto al CM è dato da :
$m_Addotx_A = - k\Deltal$
$m_Bddotx_B = - k\Deltal$
e cioè :
$ddotx_A + (2k)/mx_A = 0 $
$ddotx_B + (2k)/mx_B = 0 $
in pratica rispetto al CM le due masse hanno lo stesso tipo di moto armonico, da parti opposte rispetto al CM.
La pulsazione del moto quindi è : $ \omega = sqrt((2k)/m) $
Risolte le equazioni diff. del moto, si può trovare per derivazione la velocità di ciascuna massa nel rif. del CM. Per risalire a quella assoluta occorre sommare la velocità di trascinamento del CM.
In quanto all'energia, dovrebbe essere data dalla somma della energia traslazionale di tutto il sistema , con la velocità del CM, e dell'energia associata ai moti oscillatori delle due masse rispetto al CM.
Grazie navigatore, alla fine ero arrivato anch'io alla stessa conclusione. Una rappresentazione nel sistema del laboratorio diventerebbe decisamente troppo complessa e di sicuro meno pratica.
Ma passare al sistema del laboratorio non è così difficile. Infatti, poiché la velocità $v_0$ al blocco A è impressa mediante un impulso, e questo impulso è dato da una forza per un tempo ( $Fdt = mdv$ , giusto?), passato il tempo $dt$ dell'impulso cessa ogni azione esterna al sistema, quindi mi sembra logico che il sistema torni ad essere isolato, e nel laboratorio si muova quindi con la velocità costante $v_0/2$ del CM . Insomma, si tratta di sovrapporre al moto riferito al CM il moto del CM stesso rispetto al laboratorio. In effetti è ciò che avevi detto tu.
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