Due biglie urtano una sbarra
Una sbarra omogenea di lunghezza $L=0,6 m$ e massa $M=0,8 kg$ si trova su un piano liscio orizzontale. Due biglie, da considerarsi puntiformi, di massa rispettivamente $m_1=0,1 kg$ e $m_2=0,2 kg$, si muovono sullo stesso piano orizzontale con velocità rispettivamente di $v_1=0,2 m/s$ e $v_2=0,1 m/s$ in direzione ortogonale alla sbarretta e versi opposti. I due corpi colpiscono contemporaneamente la sbarra da parti opposte rispetto al centro della sbarretta e a distanza rispettivamente di $d_1=0,2 m$ e $d_2=0,1 m$ dal centro di massa e vi rimangono conficcati. Determinare:
a) la posizione del centro di massa e la sua velocità;
b) il momento angolare del sistema dopo l'urto;
c) la velocità di rotazione del sistema.
Ho svolto questo esercizio ma ho delle perplessità a riguardo.
Ho calcolato la posizione del centro di massa come $x_(cm)=[m_1(-d_1)+m_2d_2]/(m_1+m_2+M)$. E' corretto? Il risultato di tale equazione è zero per cui il centro di massa dovrebbe coincidere in ogni stante con il centro della sbarra. A tal proposito, non bisogna determinare anche la componente $y_(cm)$?
La velocità è data invece da $v_(cm)=[m_1v_1+m_2v_2]/(m_1+m_2+M)$. E' giusto?
Poi, ho ricavato il momento angolare del sistema dopo l'urto dalla sua conservazione. Ho posto quindi $v_(cm)(m_1+m_2+M)=I\omega$ e determinando il momento angolare finale da quello iniziale, dove $I=(ML^2)/12+m_1d_1^2+m_2d_2^2$. Da questa relazione ho potuto ottenere anche la velocità di rotazione del sistema. Ma non sono proprio sicura che sia corretto così...
a) la posizione del centro di massa e la sua velocità;
b) il momento angolare del sistema dopo l'urto;
c) la velocità di rotazione del sistema.
Ho svolto questo esercizio ma ho delle perplessità a riguardo.
Ho calcolato la posizione del centro di massa come $x_(cm)=[m_1(-d_1)+m_2d_2]/(m_1+m_2+M)$. E' corretto? Il risultato di tale equazione è zero per cui il centro di massa dovrebbe coincidere in ogni stante con il centro della sbarra. A tal proposito, non bisogna determinare anche la componente $y_(cm)$?
La velocità è data invece da $v_(cm)=[m_1v_1+m_2v_2]/(m_1+m_2+M)$. E' giusto?
Poi, ho ricavato il momento angolare del sistema dopo l'urto dalla sua conservazione. Ho posto quindi $v_(cm)(m_1+m_2+M)=I\omega$ e determinando il momento angolare finale da quello iniziale, dove $I=(ML^2)/12+m_1d_1^2+m_2d_2^2$. Da questa relazione ho potuto ottenere anche la velocità di rotazione del sistema. Ma non sono proprio sicura che sia corretto così...
Risposte
Va bene la determinazione del centro di massa, però per la velocità devi tener conto che i versi delle velocità prima dell'urto sono opposti...
"Faussone":
Va bene la determinazione del centro di massa, però per la velocità devi tener conto che i versi delle velocità prima dell'urto sono opposti...
L'ultimo punto mi pare pure corretto.
Cambiando segno alla velocità risulta che il momento angolare è nullo, e di conseguenza anche la velocità di rotazione. È possibile?
"m.e._liberti":
Cambiando segno alla velocità risulta che il momento angolare è nullo, e di conseguenza anche la velocità di rotazione. È possibile?
Fa' attenzione, la velocità del centro di massa dopo l'urto sarà nulla, la velocità angolare finale invece non è nulla (i contributi al momento angolare delle due masse si sommano).
"m.e._liberti":
Ho posto quindi $v_(cm)(m_1+m_2+M)=I\omega$ e determinando il momento angolare finale da quello iniziale
Avevo visto male questo, a primo membro ci va il contributo del momento angolare (detto anche momento della quantità di moto) delle due masse prima dell'urto (e i due contributi hanno stesso segno), non la quantità di moto del sistema!
"Faussone":
[quote="m.e._liberti"]
Cambiando segno alla velocità risulta che il momento angolare è nullo, e di conseguenza anche la velocità di rotazione. È possibile?
Fa' attenzione, la velocità del centro di massa dopo l'urto sarà nulla, la velocità angolare finale invece non è nulla (i contributi al momento angolare delle due masse si sommano).
"m.e._liberti":
Ho posto quindi $v_(cm)(m_1+m_2+M)=I\omega$ e determinando il momento angolare finale da quello iniziale
Avevo visto male questo, a primo membro ci va il contributo del momento angolare (detto anche momento della quantità di moto) delle due masse prima dell'urto (e i due contributi hanno stesso segno), non la quantità di moto del sistema![/quote]
Quindi il momento angolare iniziale sarà uguale a $m_1v_1(-d_1)+m_2(-v_2)d_2$?
"m.e._liberti":
Quindi il momento angolare iniziale sarà uguale a $m_1v_1(-d_1)+m_2(-v_2)d_2$?
Sì corretto, i momenti angolari delle due masse hanno stesso segno (positivo o negativo a seconda della convenzione che scegli).
Perfetto allora, grazie mille ☺️
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