Due aste ed una parete verticale, velocità
Buongiorno a tutti.
//Dubbio C non ancora risolto
Posto questo quesito che mi ha dato non pochi problemi.
Un'asta $AB$ di sezione trascurabile, lunghezza $L$ e massa $M$ è imperniata in $A$ ad una guida verticale.
Una seconda asta $BC$, sempre di lunghezza $L$ e massa $M$, è connessa alla prima con un perno ideale posto in $B$.
L'estremo $C$ della seconda asta è vincolato a scorrere sulla guida verticale.
Si definisce $vartheta$ l'angolo che l'asta $AB$ forma con la verticale.
Si veda la figura:
Per comodità, fissiamo un sistema di riferimento in $A$ con asse $x$ orizzontale crescente verso destra, asse $y$ verticale crescente verso il basso, ed asse $z$ entrante.
Ho tre dubbi, che chiamerò $a$, $b$ e $c$.
$a)$ Nel caso in cui ci fosse attrito statico tra l'estremo $C$ e la parete, e dovessi studiare un caso di statica, scriverei le forze in questo modo:
Come mai la reazione vincolare della parete in $C$, ovvero $N$, non è diretta verso destra?
La parete si oppone alla "pressione" dell'asta e, per non essere deformata, applica una forza perpendicolare alla parete e diretta dunque verso destra. No?
Inoltre...
Nel caso in cui studiassi le due aste singolarmente, potrei scrivere per l'asta $AB$ la seconda equazione cardinale applicata in $A$, in cui avrei la forza peso $Mg$ ed una forza $T$ applicata in $B$ dall'altra asta.
La forza $T$ sarebbe perpendicolare all'asta $AB$, giusto?
Quale sarebbe il suo verso? Dal momento che la forza $T$ corrisponde alla forza applicata dall'altra asta per non essere deformata, presuppongo che la sua componente $y$ dovrà essere positiva (ovvero verso il basso).
Tuttavia questo contraddice la seconda equazione cardinale applicata in $A$ in cui avrei:
$I_Addot(vartheta)= 0 = L/2cos(vartheta)Mg + Lcos(vartheta)T$
Dalla quale ottengo che $T$ ha verso opposto a $Mg$.
Come mai?
$b)$ Nel caso in cui non ci fosse attrito e volessi scrivere l'energia meccanica del sistema, scriverei:
$E=2MgLsin(vartheta) + 1/2 I_Adot(vartheta)^2 + 1/2Mv_(G1)^2+ 1/2I_(G1)dot(vartheta)^2$
Perché mai la velocità del centro di massa dell'asta $BC$ è uguale al seguente valore $v_(G1) = dot(vartheta)^2 L^2/4 (1+8cos^2(vartheta))$ ? Buio totale.
$c)$ L'energia cinetica complessiva delle due aste, nella soluzione viene scritta come:
$T=1/2( 5/12 + 17/8) ML^2 dot(vartheta)^2$
Non capisco da dove venga fuori quel $ 5/12 + 17/8$ .
//Dubbio C non ancora risolto
Posto questo quesito che mi ha dato non pochi problemi.
Un'asta $AB$ di sezione trascurabile, lunghezza $L$ e massa $M$ è imperniata in $A$ ad una guida verticale.
Una seconda asta $BC$, sempre di lunghezza $L$ e massa $M$, è connessa alla prima con un perno ideale posto in $B$.
L'estremo $C$ della seconda asta è vincolato a scorrere sulla guida verticale.
Si definisce $vartheta$ l'angolo che l'asta $AB$ forma con la verticale.
Si veda la figura:
Per comodità, fissiamo un sistema di riferimento in $A$ con asse $x$ orizzontale crescente verso destra, asse $y$ verticale crescente verso il basso, ed asse $z$ entrante.
Ho tre dubbi, che chiamerò $a$, $b$ e $c$.
$a)$ Nel caso in cui ci fosse attrito statico tra l'estremo $C$ e la parete, e dovessi studiare un caso di statica, scriverei le forze in questo modo:
Come mai la reazione vincolare della parete in $C$, ovvero $N$, non è diretta verso destra?
La parete si oppone alla "pressione" dell'asta e, per non essere deformata, applica una forza perpendicolare alla parete e diretta dunque verso destra. No?
Inoltre...
Nel caso in cui studiassi le due aste singolarmente, potrei scrivere per l'asta $AB$ la seconda equazione cardinale applicata in $A$, in cui avrei la forza peso $Mg$ ed una forza $T$ applicata in $B$ dall'altra asta.
La forza $T$ sarebbe perpendicolare all'asta $AB$, giusto?
Quale sarebbe il suo verso? Dal momento che la forza $T$ corrisponde alla forza applicata dall'altra asta per non essere deformata, presuppongo che la sua componente $y$ dovrà essere positiva (ovvero verso il basso).
Tuttavia questo contraddice la seconda equazione cardinale applicata in $A$ in cui avrei:
$I_Addot(vartheta)= 0 = L/2cos(vartheta)Mg + Lcos(vartheta)T$
Dalla quale ottengo che $T$ ha verso opposto a $Mg$.
Come mai?
$b)$ Nel caso in cui non ci fosse attrito e volessi scrivere l'energia meccanica del sistema, scriverei:
$E=2MgLsin(vartheta) + 1/2 I_Adot(vartheta)^2 + 1/2Mv_(G1)^2+ 1/2I_(G1)dot(vartheta)^2$
Perché mai la velocità del centro di massa dell'asta $BC$ è uguale al seguente valore $v_(G1) = dot(vartheta)^2 L^2/4 (1+8cos^2(vartheta))$ ? Buio totale.
$c)$ L'energia cinetica complessiva delle due aste, nella soluzione viene scritta come:
$T=1/2( 5/12 + 17/8) ML^2 dot(vartheta)^2$
Non capisco da dove venga fuori quel $ 5/12 + 17/8$ .
Risposte
Per quanto riguarda il punto b), probabilmente intendevi la velocità al quadrato. Ad ogni modo, se $\theta$ è l'angolo che l'asta AB forma con la verticale:
Insomma, sicuramente un refuso. Inoltre, per quanto riguarda il punto a):
Nel caso in cui l'asta BC tenda a staccarsi dalla parete, è diretta verso sinistra.
Non necessariamente.
$vec(OG_1)=1/2Lsin\thetaveci-3/2Lcos\thetavecj rarr$
$rarr vec(v_(G_1))=1/2Ldot\thetacos\thetaveci+3/2Ldot\thetasin\thetavecj rarr$
$rarr v_(G_1)^2=1/4L^2dot\theta^2cos^2\theta+9/4L^2dot\theta^2sin^2\theta rarr$
$rarr v_(G_1)^2=1/4L^2dot\theta^2(cos^2\theta+9sin^2\theta) rarr$
$rarr v_(G_1)^2=1/4L^2dot\theta^2(1+8sin^2\theta)$
Insomma, sicuramente un refuso. Inoltre, per quanto riguarda il punto a):
"anonymous_be0efb":
Come mai la reazione vincolare della parete in $C$, ovvero $N$, non è diretta verso destra?
Nel caso in cui l'asta BC tenda a staccarsi dalla parete, è diretta verso sinistra.
"anonymous_be0efb":
La forza $T$ sarebbe perpendicolare all'asta $AB$, giusto?
Non necessariamente.
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda il punto b), probabilmente intendevi la velocità al quadrato. Ad ogni modo, se $\theta$ è l'angolo che l'asta AB forma con la verticale:
$vec(OG_1)=1/2Lsin\thetaveci-3/2Lcos\thetavecj rarr$
Come mai $-3/2Lcos\thetavecj$ ?
Inoltre non ho capito il passaggio da questa equazione:
$rarr v_(G_1)^2=1/4L^2dot\theta^2(cos^2\theta+9sin^2\theta) rarr$
a questa:
$rarr v_(G_1)^2=1/4L^2dot\theta^2(1+8sin^2\theta)$
"anonymous_0b37e9":
[quote="anonymous_be0efb"]
Come mai la reazione vincolare della parete in $C$, ovvero $N$, non è diretta verso destra?
Nel caso in cui l'asta BC tenda a staccarsi dalla parete, è diretta verso sinistra.
[/quote]
Quindi la reazione vincolare è diretta verso destra perché in effetti non è la reazione vincolare della parete, ma della guida. Giusto?
"anonymous_0b37e9":
[quote="anonymous_be0efb"]
La forza $T$ sarebbe perpendicolare all'asta $AB$, giusto?
Non necessariamente.
[/quote]
Perché non necessariamente? Ho un corpo appoggiato ad un altro che cerca di deformarlo in un punto, la reazione vincolare non dovrebbe essere perpendicolare per questa ragione?
$[y_2=-1/2Lcos\theta] ^^ [y_1=3y_2] rarr [y_1=-3/2Lcos\theta]$
$[v_(G_1)^2=1/4L^2dot\theta^2(cos^2\theta+9sin^2\theta)] ^^ [cos^2\theta+sin^2\theta=1] rarr [v_(G_1)^2=1/4L^2dot\theta^2(1+8sin^2\theta)]$
"anonymous_be0efb":
Quindi la reazione vincolare è diretta verso destra perché in effetti non è la reazione vincolare della parete, ma della guida.
Premesso che per parete intendevo guida, se l'asta BC tende a premere contro la guida, la reazione vincolare esercitata dalla guida sull'asta è diretta verso destra. Viceversa, se l'asta BC tende a staccarsi dalla guida, la reazione vincolare esercitata dalla guida sull'asta è diretta verso sinistra.
"anonymous_be0efb":
Ho un corpo appoggiato ad un altro che cerca di deformarlo in un punto, la reazione vincolare non dovrebbe essere perpendicolare per questa ragione?
Non trattandosi di un appoggio, le due aste sono vincolate da una cerniera interna al sistema costituito dalle aste medesime, non è dato sapere la direzione e il verso della reazione vincolare interna.
Una domanda: tra il manicotto scorrevole C e la guida c’è attrito o no? Il testo non lo dice.
La componente normale della reazione della guida sull’asta superiore in C è diretta verso Sn comunque, l’asta superiore è tesa, quella inferiore è compressa. Le componenti orizzontali della due reazioni della guida devono dare un momento antiorario, per contrastare il momento orario del peso. (Non è il caso di tirare in ballo forze apparenti).
Il vincolo B tra le due aste è una cerniera ideale, che non trasmette momento, ma trasmette forza normale e forza di taglio.
La componente normale della reazione della guida sull’asta superiore in C è diretta verso Sn comunque, l’asta superiore è tesa, quella inferiore è compressa. Le componenti orizzontali della due reazioni della guida devono dare un momento antiorario, per contrastare il momento orario del peso. (Non è il caso di tirare in ballo forze apparenti).
Il vincolo B tra le due aste è una cerniera ideale, che non trasmette momento, ma trasmette forza normale e forza di taglio.
Perfetto, grazie mille Sergeant Elias, capito tutto.
Come hai fatto a capire sin da subito che $y_1=3y_2$ ?
Mi riferisco a:
Come hai fatto a capire sin da subito che $y_1=3y_2$ ?
Mi riferisco a:
"anonymous_0b37e9":$[y_2=-1/2Lcos\theta] ^^ [y_1=3y_2] rarr [y_1=-3/2Lcos\theta]$
"Shackle":
Una domanda: tra il manicotto scorrevole C e la guida c’è attrito o no? Il testo non lo dice.
C'è attrito per il dubbio $a)$, non viene considerato invece per i dubbi $b) & c)$ .
"Shackle":
La componente normale della reazione della guida sull’asta superiore in C è diretta verso Sn comunque, l’asta superiore è tesa, quella inferiore è compressa. Le componenti orizzontali della due reazioni della guida devono dare un momento antiorario, per contrastare il momento orario del peso. (Non è il caso di tirare in ballo forze apparenti).
Il vincolo B tra le due aste è una cerniera ideale, che non trasmette momento, ma trasmette forza normale e forza di taglio.
Perfetto grazie Shackle.
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