Dubbio testo del problema
Il testo del seguente problema non mi convince:
Visto che non è specificato, immagino che il cilindro si debba suppore infinito anche perché altrimenti c'è ambiguità sul calcolo del campo nei punti ad una certa distanza dall'asse, visto che non avrebbe simmetria cilindrica. Ma la condizione $\lim_{r \to +\infty} V(r)=0$ non si può porre soltanto se la distribuzione di carica è finita? Infatti il campo, usando la legge di Gauss, mi risulta
$E(r)={ ( \frac{r^2}{3 \epsilon _0}\quad \text{per } rR):}$
e quando calcolo il potenziale prendendo come riferimento quello proposto dal problema (cioè infinito) si ha:
$V(R)=-\int_{+\infty}^R \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\frac{2R^3}{3\epsilon _0} \int_{+\infty}^R \frac{1}{r}\ dr= -\frac{2R^3}{3\epsilon _0} [\log r]_{+\infty } ^R$
che non ha senso in quanto risulta infinito. Sto sbagliando io o l'autore?
Un cilindro isolante di raggio $R = 10 \ \text{cm}$ possiede una densità spaziale di carica che cresce linearmente con la distanza dall'asse: $\rho (r)= \frac{2r}{3} \frac{\mu C}{m^3}$. Determinare il modulo del vettore $\vec{E}$ alle distanze $R_1=4 \ \text{cm}$ e $R_2=20 \ \text{cm}$. Qual è il valore del potenziale alla superficie, se all'infinito esso si annulla?
Visto che non è specificato, immagino che il cilindro si debba suppore infinito anche perché altrimenti c'è ambiguità sul calcolo del campo nei punti ad una certa distanza dall'asse, visto che non avrebbe simmetria cilindrica. Ma la condizione $\lim_{r \to +\infty} V(r)=0$ non si può porre soltanto se la distribuzione di carica è finita? Infatti il campo, usando la legge di Gauss, mi risulta
$E(r)={ ( \frac{r^2}{3 \epsilon _0}\quad \text{per } r
e quando calcolo il potenziale prendendo come riferimento quello proposto dal problema (cioè infinito) si ha:
$V(R)=-\int_{+\infty}^R \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\frac{2R^3}{3\epsilon _0} \int_{+\infty}^R \frac{1}{r}\ dr= -\frac{2R^3}{3\epsilon _0} [\log r]_{+\infty } ^R$
che non ha senso in quanto risulta infinito. Sto sbagliando io o l'autore?
Risposte
Direi che hai ragione tu, se non sbaglio anche io: un campo che decresce come 1/r non consente di imporre un potenziale limitato al limite \(\displaystyle r\to\infty \).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo