Dubbio sulle orbite
Buondì a chiunque legga, la situazione è questa: ho un corpo che si muove verso la superficie terrestre secondo i seguenti dati:
$ M=5000 Kg $
$ v0=900 m/s $
$ alpha=15° $ (angolo formato con la congiungente corpo-terra)
$ d= 34,37*10^6 m $ (distanza dal centro della Terra)
Dati aggiuntivi che possono essere utili:
$ L = 4*10^13 Kg*m^2/s $ momento angolare del corpo rispetto al centro della Terra (calcolato)
Le mie perplessità sono due:
1) mi si chiede di determinare il tipo di orbita. Per farlo ho calcolato il momento angolare, e siccome è diverso da zero l'orbita non può essere circolare (o è sbgliato il ragionamento?). Ma che altra condizione devo porre per assicurarmi che sia PROPRIO ellittica e non solo "non circolare"?
2) stabilito che l'orbita è in effetti ellittica, come determino il raggio di allontanamento massimo? Suppongo di dover sfruttare la conservazione del momento angolare, ma siccome sia il raggio che la velocità diventano due incognite, come faccio?
Grazie
$ M=5000 Kg $
$ v0=900 m/s $
$ alpha=15° $ (angolo formato con la congiungente corpo-terra)
$ d= 34,37*10^6 m $ (distanza dal centro della Terra)
Dati aggiuntivi che possono essere utili:
$ L = 4*10^13 Kg*m^2/s $ momento angolare del corpo rispetto al centro della Terra (calcolato)
Le mie perplessità sono due:
1) mi si chiede di determinare il tipo di orbita. Per farlo ho calcolato il momento angolare, e siccome è diverso da zero l'orbita non può essere circolare (o è sbgliato il ragionamento?). Ma che altra condizione devo porre per assicurarmi che sia PROPRIO ellittica e non solo "non circolare"?
2) stabilito che l'orbita è in effetti ellittica, come determino il raggio di allontanamento massimo? Suppongo di dover sfruttare la conservazione del momento angolare, ma siccome sia il raggio che la velocità diventano due incognite, come faccio?
Grazie
Risposte
"Silence":
Le mie perplessità sono due:
1) mi si chiede di determinare il tipo di orbita. Per farlo ho calcolato il momento angolare, e siccome è diverso da zero l'orbita non può essere circolare (o è sbgliato il ragionamento?).
Certo, questo è sbagliato. Perchè poi, in un'orbita circolare il momento angolare sarebbe zero???
"Silence":
Ma che altra condizione devo porre per assicurarmi che sia PROPRIO ellittica e non solo "non circolare"?
Potresti calcolare la velocità di fuga a quella altezza. Se la velocità è minore l'orbita è ellittica, altrimenti iperbolica.
In sostanza, se l'energia totale (l'energia potenziale , contando zero l'energia all'infinito, quindi negativa; più quella cinetica cinetica) è negativa allora è ellittica (legata)
"Silence":
2) stabilito che l'orbita è in effetti ellittica, come determino il raggio di allontanamento massimo? Suppongo di dover sfruttare la conservazione del momento angolare, ma siccome sia il raggio che la velocità diventano due incognite, come faccio?
Qui ci devo pensare un po' di più, magari in seguito...
In effetti, ora che mi rileggo, mi chiedo anche io perchè ho usato il momento angolare per l'orbita circolare. Detto questo, correggimi se sbaglio di nuovo, usando ciò che hai detto:
$ 1/2Mv_(f)^2 - G*(M_(T)*M)/R_(T) = - G*(M_(T)*M)/d $
cioè alla partenza dalla superficie la mia massa $ M $ avrà un'energia cinetica determinata dalla mia velocità di fuga e l'energia potenziale sulla superficie del pianeta, e in cima avrà solo energia potenziale dettata dalla quota. Da questo vien fuori che:
$ v_f= sqrt(2(- G*(M_(T)*M)/d+G*(M_(T)*M)/R_(T))/M) = 9860 m/s $
Se è minore (suppongo intendessi della $ v_f $ della Terra), allora è ellittica? Tornerebbe.
Alternativamente appunto in quel momento ho:
$ E_M=1/2Mv^2-G(M_T*M)/d = -5,594*10^10 < 0 -> $ orbita ellittica, dico bene?
Grazie
$ 1/2Mv_(f)^2 - G*(M_(T)*M)/R_(T) = - G*(M_(T)*M)/d $
cioè alla partenza dalla superficie la mia massa $ M $ avrà un'energia cinetica determinata dalla mia velocità di fuga e l'energia potenziale sulla superficie del pianeta, e in cima avrà solo energia potenziale dettata dalla quota. Da questo vien fuori che:
$ v_f= sqrt(2(- G*(M_(T)*M)/d+G*(M_(T)*M)/R_(T))/M) = 9860 m/s $
Se è minore (suppongo intendessi della $ v_f $ della Terra), allora è ellittica? Tornerebbe.
Alternativamente appunto in quel momento ho:
$ E_M=1/2Mv^2-G(M_T*M)/d = -5,594*10^10 < 0 -> $ orbita ellittica, dico bene?
Grazie
"Silence":[/quote]
In effetti, ora che mi rileggo, mi chiedo anche io perchè ho usato il momento angolare per l'orbita circolare. Detto questo, correggimi se sbaglio di nuovo, usando ciò che hai detto:
$ 1/2Mv_(f)^2 - G*(M_(T)*M)/R_(T) = - G*(M_(T)*M)/d $
cioè alla partenza dalla superficie la mia massa $ M $ avrà un'energia cinetica determinata dalla mia velocità di fuga e l'energia potenziale sulla superficie del pianeta, e in cima avrà solo energia potenziale dettata dalla quota. Da questo vien fuori che:
$ v_f= sqrt(2(- G*(M_(T)*M)/d+G*(M_(T)*M)/R_(T))/M) = 9860 m/s $
Se è minore (suppongo intendessi della $ v_f $ della Terra), allora è ellittica? Tornerebbe.
[quote="Silence"]
Alternativamente appunto in quel momento ho:
$ E_M=1/2Mv^2-G(M_T*M)/d = -5,594*10^10 < 0 -> $ orbita ellittica, dico bene?
Questo è giusto. I conti di prima non li ho capiti. In particolare non capisco perchè tiri in ballo una partenza dalla terra. Comunque parlando della velocità di fuga intendevo quella corrispondente alla quota indicata, che è certamente minore di quella alla superficie. E intendevo, se la velocità del corpo è minore di quella così calcolata, allora l'orbita è ellitica.
Perfetto, grazie mille. Riguardo l'ultimo punto il dubbio rimane, forse conservazione dell'energia e/o momento angolare, ma non so che condizioni imporre per ad esempio $ v_min $ o $ r_max $, considerato che nella situazione iniziale non so a che punto dell'ellissi mi trovo..
Si tratta di un caso del problema di Keplero in meccanica classica, precisamente quando il sistema è legato , quindi l'energia totale è negativa e l'orbita è chiusa, perciò ellittica ( l'orbita circolare è un caso particolare di orbita ellittica).
In questa dispensa c'è tutto ciò che ti serve :
http://www.giorgio.busoni.it/dispense/P ... eplero.pdf
In questa dispensa c'è tutto ciò che ti serve :
http://www.giorgio.busoni.it/dispense/P ... eplero.pdf
Grazie infinite!
Ti consiglio di dare un'occhiata anche a questa dispensa di Carati, che spiega molto bene ( per me) la teoria che sta dietro alle formule :
http://www.mat.unimi.it/users/carati/di ... entari.pdf
ma qualunque buon testo di Meccanica spiega in maniera adeguata il problema di Keplero .
http://www.mat.unimi.it/users/carati/di ... entari.pdf
ma qualunque buon testo di Meccanica spiega in maniera adeguata il problema di Keplero .
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