Dubbio sulla velocità
Devo determinare in funzione dell'angolo la velocità del punto P dell'asta a contatto con il piolo. È giusto utilizzare la formula del moto rotatorio?
Risposte
No, il punto A ruota, ma P lo devi trovare componendo.
Prova tu, e posta.
Prova tu, e posta.
Ho trovato la velocità di $A= -2 α'l$, utilizzando la formula Va=(π-2alfa)'×l, è corretto?
Mentre per trovare la velocità in P utilizzo la proprietà dei corpi rigidi Vp×(P-A)=Va×(P-A)... Ma quest'ultima non riesco a risolverla...
Mentre per trovare la velocità in P utilizzo la proprietà dei corpi rigidi Vp×(P-A)=Va×(P-A)... Ma quest'ultima non riesco a risolverla...
cioè, il lato AP come lo trovo?
Usa l'editor per favore, c'e' da mettersi 3 paia di occhiali!
L'editor per cosa?
"effez":
L'editor per cosa?
Per scrivere le formule in modo comprensibile, con quasi 80 messaggi al tuo attivo è obbligatorio da regolamento.
Trovi qua le istruzioni.
Scusate, ora riscrivo i miei dubbi in modo più chiaro... Allora, per trovare la velocità di P, è giusto calcolare la derivata del segmento OP? Ovvero, $Vp=(P-O)'= (O-A)'+ (A-P)'= 0 -2lα'senα$
No, direi di no.
Io procederei in questo modo.
Il punto A puo' essere pensato come appartenente all'asta OA e come appartenente all'asta OB.
Allora scriverei la velocita' di A in funzione della velocita' incognita di P. Eguaglierei e risolverei per $vec(v_P)$.
A questo punto metterei tutte le quantita' in funzione dell'angolo $theta$.
Io procederei in questo modo.
Il punto A puo' essere pensato come appartenente all'asta OA e come appartenente all'asta OB.
Allora scriverei la velocita' di A in funzione della velocita' incognita di P. Eguaglierei e risolverei per $vec(v_P)$.
A questo punto metterei tutte le quantita' in funzione dell'angolo $theta$.
Ti risolvo questo a vantaggio del forum per darti l'impostazione.
Tutti questi esercizi sono risolvibili piu' o meno su questa falsa riga.
La prima cosa da fare SEMPRE in questi esercizi e' definire il sistema di riferimento, non mi stanchero' mai di ripeterlo, assegnando gli assi ed eventuali rotazioni.
Il mio sistema di riferimento e' centrato in O, x diretto verso destra e caratterizzato dal versore $vec(i)$ e y verso l'alto, caratterizzato da $vec(j)$ nessuno dei 2 rappresentato in figura.
I versori $vec(n_1)$ e $vec(n_2)$ sono ortogonali a OA e PA. E' buona cosa definirli sempre prima in questi problemi. A volte e' bene definire anche il versore parallelo ad OA e PA, ma non in questo caso.
I versi positivi degli angoli sono in figura e per semplicita', i versori normali puntano nel verso dello spostamento determinato dalla rotazione, sia per $theta$ che per $varphi$.
In questo modo, il punto A pensato come appartenente all'asta OA (lunga L) ha velocita'
$vec(v_A)=dotthetaLvec(n_1)$
Se A appartiene ad AB, la sua velocita' sara'
$vec(v_A)=vec(v_P)+dot(varphi)*bar(AP)*vec(n_2)$
Da cui, per confronto
$dotthetaLvec(n_1)=vec(v_P)+dot(varphi)*bar(AP)*vec(n_2)$
che ti da
$vec(v_P)=dotthetaLvec(n_1)-dot(varphi)*bar(AP)*vec(n_2)$
A questo punto basta riportare tutte le quantita' a secondo membro in funzione di $theta$.
Il modo piu' semplice e' moltiplicare scalarmente per $vec(i)$ e $vec(j)$ ottenendo le componenti di $vec(v_P)$ lungo x e y
$v_(Px)=dotthetaLvec(n_1)*vec(i)-dot(varphi)*bar(AP)*vec(n_2)*vec(i)$
e
$v_(Py)=dotthetaLvec(n_1)*vec(j)-dot(varphi)*bar(AP)*vec(n_2)*vec(j)$
Questa era la parte meccanica, ora viene la parte dove si applica l'ingegno per trovare le relazioni.
Intanto, notare subito che OAP e' isoscele. Quindi gli angoli in P e in A sono uguali; e siccome la somma degli angoli interni e' $pi$
$2varphi+theta=pi$ da cui $varphi=(pi-theta)/2$
Ne consegue che $dotvarphi=-dottheta/2$
Poi, il valore di AP e' determinato facilmente: $bar(AP)=2L*sin(theta/2)$
I prodotti scalari sono facilmente risolvibili, essendo le componenti dei versori n lungo gli assi.
Quindi:
$vec(n_1)*vec(i)=-sintheta$
$vec(n_1)*vec(j)=-costheta$
$vec(n_2)*vec(i)=sinvarphi=sin((pi-theta)/2)=cos(theta/2)$
$vec(n_2)*vec(j)=-cosvarphi=-sin(theta/2)$
Sostituendo si ha
$v_(Px)=-dotthetaLsintheta+dottheta/2*2L*sin(theta/2)*cos(theta/2)$ che, usando le formule di prostaferesi diventa:
$v_(Px)=-dotthetaLsintheta+dottheta/2*L*sintheta=-dotthetaL/2sintheta$
Allo stesso modo si ricava la componente verticale:
$v_(Py)=-dotthetaLcostheta-dottheta/2*2L*sin(theta/2)*sin(theta/2)=-dotthetaLcostheta-dottheta/2*2L*sin^2(theta/2)$ e di nuovo, per prostaferesi:
$v_(Py)=-dotthetaLcostheta+dottheta/2*L*(costheta-1)=-1/2dotthetaLcostheta-dottheta/2L$
A questo punto conviene fare una verifica qualitativa, per vedere se ci sono errori (NON ti da la certezza che sia giusto ma ti offre conforto).
E' ovvio che quando $theta$ tende a 0, la componente orizzontale di $v_P$ deve tendere a 0 (l'asta AB si sta muovendo sempre piu' verticalmente).
Infatti $v_(Px)=-dotthetaLsintheta+dottheta/2*L*sintheta=-dotthetaL/2sintheta$ tende a 0
La componente verticale deve essere positiva (l'asta OA spinge verso l'alto, nel senso delle y positiva)
Infatti per $theta rarr 0$,
$v_(py)=-dotthetaL/2$, che e' positiva, perche la velocita' angolare, per come abbiamo scelto noi i $theta$ positivi, quando $theta$ si avvicina a 0 e' negativa (l'asta OA si muove in opposizione al segno positivo assegnato nel nostro SdR.
Quando $theta=pi/2$ entrambe le componenti devono essere negative (opposte a x e y).
Siccome in questo caso la $dottheta$ e' positiva (ci stiamo muovendo in corcondanza con le $theta$ crescenti)
$v_(Px)=v_(Py)=-dotthetaL/2$, entrambe negative come ci aspettavamo.
Per $theta$ che tende a $pi$ invece, mi aspetto che B stia fermo, cosa che viene verificata facilmente dalle formule.
Ti ripeto, ascanso di equivoci che questo controllo non garantisce l'esattezza, ma se dovesse darti un esito negativo (una velocita' positiva quando dovrebbe essere negativa, per esempio) allora sai con sicurezza che hai sbagliato da qualche parte.
Svolgi gli esercizi su questa falsa riga e dovresti andare liscio.
Un altro punto a conforto e' che la componente orizontale passa da alori negativi a valori positivi mentre quella verticale e' sempre negativa indipendentemente dall'angolo.
Ma se io invece volessi risolverlo così: $Vp=(P-A)'=(2lcosa)'=-2la'sena$ è un ragionamento sbagliato?
"effez":
Ma se io invece volessi risolverlo così: $Vp=(P-A)'=(2lcosa)'=-2la'sena$ è un ragionamento sbagliato?
Direi di si. Il segmento PA cambia in lunghezza e orientamento.
E poi, s fosse stato cosi semplice, pensi davvero avrei perso tutto quel tempo a scrivere tutta quella mappazza di calcoli?
Ci possono essere forse metodi piu' veloci, ma il risultato e' quello che ho scritto (a meno di errori). Ti sembra vagamente simile a quello che scrivi tu?
Mi sembra che tu stia sperando in una scorciatoia che non esiste.
La soluzione proposta dal professore era questa, per questo motivo ho pensato ad un ragionamento sbrigativo
Premesso che:
1 - io ho calcolato la velocita' in funzione dell'angolo in O (perche non avevo sottmano la figura e mi ricordavo che la domanda fosse quella)
2 - Premesso che la soluzione proposta sembra corretta, anche se non e' immediatamente intuitivo (almeno per la mia forma mentis che e' organizzata in vettori e cerca la soluzione generale) che la velocita' di P e' parallela ad AP (facile da vedere dopo che te lo fanno notare)
3 - Premesso che a scanso dell'errore, la risoluzione come te l ho proposta, ti da il modus operandi generale
Premesso tutto quanto sopra, quello che non capisco e': perche', se hai gia' la soluzione, perche non postarla e chiedere lumi su quella invece di farci perdere tanto tempo a risolvere l'esercizio?
A me sembra una scorrettezza e una mancanza di rispetto far lavorare cosi tanto chi vuole fornire una risposta.
Comunque cosi come la risolve ovviamente va bene. Impone che la velocita di P sia parallela all'asta stessa (se non lo fosse, l'asta si staccherebbe dal piolo). E' il colpo d'occhio che ti salva la vagonata di calcoli e che in questo caso mi e' sfuggito per impostare il sistema in maniera generale.
Anche se qualcosa mi ronza nel cervello....
1 - io ho calcolato la velocita' in funzione dell'angolo in O (perche non avevo sottmano la figura e mi ricordavo che la domanda fosse quella)
2 - Premesso che la soluzione proposta sembra corretta, anche se non e' immediatamente intuitivo (almeno per la mia forma mentis che e' organizzata in vettori e cerca la soluzione generale) che la velocita' di P e' parallela ad AP (facile da vedere dopo che te lo fanno notare)
3 - Premesso che a scanso dell'errore, la risoluzione come te l ho proposta, ti da il modus operandi generale
Premesso tutto quanto sopra, quello che non capisco e': perche', se hai gia' la soluzione, perche non postarla e chiedere lumi su quella invece di farci perdere tanto tempo a risolvere l'esercizio?
A me sembra una scorrettezza e una mancanza di rispetto far lavorare cosi tanto chi vuole fornire una risposta.
Comunque cosi come la risolve ovviamente va bene. Impone che la velocita di P sia parallela all'asta stessa (se non lo fosse, l'asta si staccherebbe dal piolo). E' il colpo d'occhio che ti salva la vagonata di calcoli e che in questo caso mi e' sfuggito per impostare il sistema in maniera generale.
Anche se qualcosa mi ronza nel cervello....
Perché la soluzione dell'esercizio mi è stata inviata in seguito.
Quello che non ho capito di quest'ultima risoluzione è come calcolo Vp. All'inizio della conversazione avevo ipotizzato e scritto anche io la condizione di corpo rigido $V_p(P-A)=V_a(P-A)$ ma in che modo arrivo da questa uguaglianza a dire che $V_p=V_a sena$ ?
Quello che non ho capito di quest'ultima risoluzione è come calcolo Vp. All'inizio della conversazione avevo ipotizzato e scritto anche io la condizione di corpo rigido $V_p(P-A)=V_a(P-A)$ ma in che modo arrivo da questa uguaglianza a dire che $V_p=V_a sena$ ?
La proiezione di $v_a$ su AP ti da $v_a*sinalpha$.
Dove non ti trovi?
Dove non ti trovi?
Ah, giusto
E come faccio a dire che la velocità in P è parallela all'asta AB mentre quella in A è perpendicolare ad AO?
E come faccio a dire che la velocità in P è parallela all'asta AB mentre quella in A è perpendicolare ad AO?
Lo so già a prescindere o mediante dei calcoli?
Che e' parallela ad AB lo devi notare (e' quel colpo di occhio, che e' non ho avuto io e che mi avrebbe risparmiato una vagonata di calcoli). Lo stabilisci perche non puo avere componenti ortogonali ad AB: ne' contro il piolo (perche appunto c'e' il piolo), ne' opposta ad esso (se no si distaccherebbe dal piolo).
Che la velocita' in A sia ortogonale ad OA non ci vuol colpo d'occhio per asserirlo. A e' vincolato ad una sbarra che ruota intorno ad O, tutti i punti della sbarra OA hanno vel. ortogonale alla sbarra stessa
Che la velocita' in A sia ortogonale ad OA non ci vuol colpo d'occhio per asserirlo. A e' vincolato ad una sbarra che ruota intorno ad O, tutti i punti della sbarra OA hanno vel. ortogonale alla sbarra stessa
Ok, grazie mille 
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