Dubbio sulla somma di spin
Se ho due particelle, una con spin $1$ l'altra con spin $3/2$ vorrei ottenere tutti i vari autostati.
Parto da $|5/2 5/2> =|3/2 3/2>|1 1>$
Applico l'operatore di abbassamento $S_(-)=sqrt(s(s+1)-(m-1))$ al primo membro e ottengo $C|5/2 3/2>$.
Poi lo applico al secondo e ottengo $A|3/2 1/2>|1 1> + B|3/2 3/2>|1 0>$ Divido il secondo membro per $C$ e ottengo l'autostato come combinazione degli altri.
$C,A,B$ sono le costanti date da $=sqrt(s(s+1)-(m-1))$.
Vado avanti così (anche se è un lavoraccio) e trovo tutti gli stati con spin totale $S_T=5/2$ ($m=5/2,3/2,1/2,-1/2...)$
Quando devo passare a spin totale $S_T=3/2$ iniziano i problemi e lo stesso per $S_T=1/2$, non mi è ben chiaro da dove dovrei partire per poi iniziare a scalare. O meglio dovrei partire da $|3/2 3/2>$, ma anche questa è una combinazione lineare degli altri autostati e non capisco come si trovi. Non posso usare $S_(-)$ qui. So per certo che ci sarà qualche coefficiente negativo. Non mi interessa guardare i coefficienti di Clebsch-Gordan.
Quando lo si fa per singoletto e tripletto per gli spin $1/2$ si sfrutta il fatto che gli stati con diversi $S_T$ devono essere ortogonali, ma è un caso molto semplice. Questo è l'unico modo o mi sto perdendo qualcosa?
Grazie dell'aiuto, ora continuerò a ragionarci
Parto da $|5/2 5/2> =|3/2 3/2>|1 1>$
Applico l'operatore di abbassamento $S_(-)=sqrt(s(s+1)-(m-1))$ al primo membro e ottengo $C|5/2 3/2>$.
Poi lo applico al secondo e ottengo $A|3/2 1/2>|1 1> + B|3/2 3/2>|1 0>$ Divido il secondo membro per $C$ e ottengo l'autostato come combinazione degli altri.
$C,A,B$ sono le costanti date da $=sqrt(s(s+1)-(m-1))$.
Vado avanti così (anche se è un lavoraccio) e trovo tutti gli stati con spin totale $S_T=5/2$ ($m=5/2,3/2,1/2,-1/2...)$
Quando devo passare a spin totale $S_T=3/2$ iniziano i problemi e lo stesso per $S_T=1/2$, non mi è ben chiaro da dove dovrei partire per poi iniziare a scalare. O meglio dovrei partire da $|3/2 3/2>$, ma anche questa è una combinazione lineare degli altri autostati e non capisco come si trovi. Non posso usare $S_(-)$ qui. So per certo che ci sarà qualche coefficiente negativo. Non mi interessa guardare i coefficienti di Clebsch-Gordan.
Quando lo si fa per singoletto e tripletto per gli spin $1/2$ si sfrutta il fatto che gli stati con diversi $S_T$ devono essere ortogonali, ma è un caso molto semplice. Questo è l'unico modo o mi sto perdendo qualcosa?
Grazie dell'aiuto, ora continuerò a ragionarci
Risposte
Ok ho risolto, non stavo tenendo conto che la somma degli $m$ deve dare comunque $m$ cercato. A quel punto sfrutto si l'ortogonalità, ma è molto più semplice. Almeno per il caso $S_T=3/2$
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