Dubbio sulla prima equazione di Maxwell
Ciao a tutti!!
Mettiamo di avere un campo elettrico dato in coordinate cilindriche la cui unica componente sia lungo $\rho$ e valga $E_\rho = k \rho^2$ con $k$ costante data. Mi si chiede la carica contenuta in un cilindro di raggio $r$ e altezza $h$.
Io avevo pensato di fare la divergenza del campo che vale $2k\rho$ e che per la prima equazione di Maxwell vale $\frac{d}{\epsilon_0}$ dove $d$ è la densità di carica. Da qui ottengo che la densità vale $2\rho k \epsilon_0$ e facendo un integrale di volume quindi in $\rho d\rho d\phi dz$ ottengo $Q=\frac{4}{3}k \pi \epsilon_0 h r^3$.
Se invece ragiono in termini di flusso ho (essendo il flusso sulla superficie laterale costante e sulle basi nullo) $2r^3 \pi h k = \frac{Q}{\epsilon_0}$ da cui $Q=2k \pi \epsilon_0 h r^3$.
Ho pensato che invece di integrare la densità ottenuta dalla divergenza avrei dovuto semplicente moltiplicare per il volume (così i due risultati sarebbero venuti uguali) però mi era sembrato di capire che la prima equazione mi Maxwell in forma differenziale dà una proprietà locale, che quindi va sommata punto per punto (e quindi integrata). Dov'è che ho sbagliato??
Grazie!
Mettiamo di avere un campo elettrico dato in coordinate cilindriche la cui unica componente sia lungo $\rho$ e valga $E_\rho = k \rho^2$ con $k$ costante data. Mi si chiede la carica contenuta in un cilindro di raggio $r$ e altezza $h$.
Io avevo pensato di fare la divergenza del campo che vale $2k\rho$ e che per la prima equazione di Maxwell vale $\frac{d}{\epsilon_0}$ dove $d$ è la densità di carica. Da qui ottengo che la densità vale $2\rho k \epsilon_0$ e facendo un integrale di volume quindi in $\rho d\rho d\phi dz$ ottengo $Q=\frac{4}{3}k \pi \epsilon_0 h r^3$.
Se invece ragiono in termini di flusso ho (essendo il flusso sulla superficie laterale costante e sulle basi nullo) $2r^3 \pi h k = \frac{Q}{\epsilon_0}$ da cui $Q=2k \pi \epsilon_0 h r^3$.
Ho pensato che invece di integrare la densità ottenuta dalla divergenza avrei dovuto semplicente moltiplicare per il volume (così i due risultati sarebbero venuti uguali) però mi era sembrato di capire che la prima equazione mi Maxwell in forma differenziale dà una proprietà locale, che quindi va sommata punto per punto (e quindi integrata). Dov'è che ho sbagliato??
Grazie!
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