Dubbio sulla dimostrazione della legge relativistica della composizione delle velocità

[mklplo751]

Salve, stavo ripetendo fisica matematica e per essere precisi l'accenno sulla relatività speciale. Ora, abbiamo visto la legge relativistica di composizione delle velocità, tuttavia nella dimostrazione che fa la prof, a un certo punto fa un rapporto fra differenziali, cosa che non dovrebbe essere possibile, dato che il differenziale di una funzione in un punto è un'applicazione lineare. Dunque ho riprovato a fare il tutto usando altri metodi, ma non capisco perchè escono cose abbastanza strane e dunque volevo chiedervi dove sbagliavo.
I passaggi sono questi:

$ { ( x= \gamma(x'+t'v) ),( y=y' ),( z=z' ),( t=\gamma(t'+v/c^2x') ):} $
$ { ( x'= \gamma(x-tv) ),( y'=y ),( z'=z ),( t'=\gamma(t-v/c^2x) ):} $
Ora, $x$ la posso vedere sia come funzione di $t$ sia come funzione di $(x',t')$ e dunque posso scrivere
$ dx=v_xdt $ e $ dx=(\partialx)/(\partialt')dt'+(\partialx)/(\partialx')dx' $ inoltre $ dx'=(\partialx')/(\partialt)dt+(\partialx')/(\partialx)dx $ e $ dt'=(\partialt')/(\partialt)dt+(\partialt')/(\partialx)dx $
quindi $ dt'=\gamma(1-v v_x/c^2)dt+(-v/c^2\gamma)dx=\gamma(1-v v_x/c^2)dt+\gamma(-v/c^2)(v_xdt)=\gamma(1-2v v_x/c^2)dt $ e $ dx'=\gamma(v_x-v)dt+\gammadx=\gamma(v_x-v)dt+\gamma(v_xdt)=\gamma(2v_x-v)dt $ . Dunque $ dx=(v'_x+v) \gamma dt'+\gammadx'=(v'_x+v)(1-2v_xv/c^2)\gamma^2dt+\gamma^2(2v_x-v)dt=(v'_x-2v_x v'_x v/c^2+v-2v_xv^2/c^2+2v_x-v)\gamma^2 dt $ e quindi $ v_xdt=(v'_x-2v_x v'_x v/c^2+v-2v_xv^2/c^2+2v_x-v)\gamma^2 dt $ allora $ v_x(1-v^2/c^2)=(v'_x-2v_x v'_x v/c^2+v-2v_xv^2/c^2+2v_x-v) $ da cui segue $ 0=(v'_x-2v_x v'_x v/c^2-v_xv^2/c^2+v_x) $ ovvero $ v_x(1-v^2/c^2-2v'_xv/c^2)=-v'_x=>v_x=(-v'_x)/(1-v^2/c^2-2v'_xv/c^2) $ .

Ora considerando che dovrebbe uscire $ v_x=(v'_x+v)/(1+v/c^2v'_x) $ è chiaro che ci siano dei problemi. E non penso che siano solo di conto (anche se ho fatto tre volte i conti e mi sono usciti tre risultati diversi) ma proprio concettuali. Dunque se non vi reca disturbo potreste dirmi dove sbaglio e magari se c'è un modo più breve ma senza fare "strane magie" con i differenziali per dimostrarlo, potreste dirmi qual è?

[Studente Anonimo]

"mklplo":
... se c'è un modo più breve ...

Se sei interessato ad una dimostrazione più formale in linea con quella del docente, dovrebbe essere sufficiente, dopo aver scritto un qualche rapporto incrementale, passare al limite.

"mklplo":
... potreste dirmi dove sbaglio ...

A mio parere chiedi troppo. Insomma, visto che, non essendo riuscito a cogliere il punto, nella migliore delle ipotesi ti sei complicato enormemente la vita, devi anche trovare il modo di uscirne. Troppo comodo altrimenti. Anzi, lascio a te procedere come ti ho suggerito e spiegare i motivi per cui il tuo procedimento sembrerebbe aver fallito.

[Shackle]

Ciao. @anonymous_0b37e9 ti sta dicendo in sostanza : perché complicarti la vita in quel modo ? Prendi la dimostrazione che ha fatto la tua prof. , le cui formule probabilmente sono uguali a queste :

e al posto dei differenziali $dx,dt, dx’ , dt’$ metti degli incrementi finiti $Deltax,....$ . A questo punto non avrai certamente difficoltà a dividere per $Delta t $ oppure $Deltat’$ , trattandosi di quantità finite. Tieni presente che le TL sono lineari, e valgono pari pari per gli incrementi delle coordinate.

MA io ho trovato in giro almeno altri due metodi per determinare la somma relativistica delle velocità ( ce ne sono pure degli altri) , che non fanno uso di tanta matematica. Quando ho tempo li posto. NB : non sono miei, sono stati scritti da fisici importanti , li ho solo trovati e mi fa piacere scriverli.

[Studente Anonimo]

Ciao Shackle. Anche perché non è dato sapere quale sarebbe la differenza concettuale nel ricavare, formalmente, la legge di composizione classica.

[mklplo751]

"anonymous_0b37e9":
Se sei interessato ad una dimostrazione più formale in linea con quella del docente, dovrebbe essere sufficiente, dopo aver scritto un qualche rapporto incrementale, passare al limite.

Ovvero usando la definizione di derivata?

Alla fine ho riprovato a fare in maniera simile a prima, anche se ho cambiato qualcosina per far uscire meno conti, tuttavia i conti tornano solo se considero $x'$ non dipendente da $t'$ quando calcolo le derivate parziali e ciò non mi sembra corretto, a meno che non sia reso corretto dal fatto di scrivere $dx'=v'_x dt'$ e di agire come quando si fa la derivata della funzione composta in una variabile,...Per spiegarmi meglio posto i passaggi

$dx=v_x dt$ $dx'=v'_x dt'$ allora $dx= (\partialx)/(\partialt')dt'+(\partialx)/(\partial x')dx'=(\partialx)/(\partial t')dt'+(\partialx)/(\partialx')v'_xdt'=\gamma(v'_x+v)dt'$ (nell'ultimo passaggio già ho fatto quella cosa che dicevo sulle derivate parziali se avessi fatto come prima sarebbe uscito $\gamma (2v'_x+v) dt')$. Continuo $dt'= (\partial t')/(\partialt)dt+ (\partial t')/(\partial x)v_x dt=\gamma (1-v v_x/c^2)dt$ (anche qui a fare come prima sarebbe comparso un 2).Mettendo tutto insieme si ricava che $v_x= \gamma^2(v'_x+v)(1-v v_x/c^2)=>v_x-v_xv^2/c^2=v'_x-v'_xv (v_x)/c^2+v-v^2/c^2(v_x)^2=>v_x(1+v (v'_x)/c^2)=v'_x+v=>v_x=((v'_x)+v)/(1+v (v'_x)/c^2)$

Spero che tutti i passaggi siano chiari. Se non vi reca disturbo, potreste controllare e togliermi quel dubbio.

[Studente Anonimo]

"mklplo":
... usando la definizione di derivata?

Hai letto il messaggio di Shackle?

[mklplo751]

"Shackle":Ciao. @anonymous_0b37e9 ti sta dicendo in sostanza : perché complicarti la vita in quel modo ? Prendi la dimostrazione che ha fatto la tua prof. , le cui formule probabilmente sono uguali a queste :

e al posto dei differenziali $dx,dt, dx’ , dt’$ metti degli incrementi finiti $Deltax,....$ . A questo punto non avrai certamente difficoltà a dividere per $Delta t $ oppure $Deltat’$ , trattandosi di quantità finite. Tieni presente che le TL sono lineari, e valgono pari pari per gli incrementi delle coordinate.

Ah ok, quindi non intendeva di lavorare con incrementi finiti usando anche la linearità delle trasformazioni di Lorentz, infine passare al limite...benissimo avevo totalmente frainteso.
Comunque, sì, praticamente quello che ha fatto la prof è quello che hai pubblicato, tuttavia mi disturba veder usare i differenziali come quantità infinitesime (se stessimo nel contesto dell'analisi non standard sarebbe un conto, ma...).
Per quanto riguarda le altre dimostrazioni sono curioso.

[mklplo751]

"anonymous_0b37e9":[quote="mklplo"]
... usando la definizione di derivata?

Hai letto il messaggio di Shackle?[/quote]
Probabilmente abbiamo scritto in contemporanea, l'ho letto dopo.

[mklplo751]

Ok, rivedendo anche la dimostrazione della derivata della funzione composta per funzioni in più variabili, penso che l'errore fosse proprio quello che avevo detto.

[Shackle]

Eccomi qua. Posto il primo metodo trovato, che passa attraverso il diagramma di Minkowski. Bisogna guardare la figura. Ci sono due RI $ (ct,x)$ e $(ct’,x’)$ , il secondo in moto relativo al primo, con $v = tg^-1 \theta$ .
C’è un punto materiale P che ha velocitá $v_1$ rispetto al rif con apice . Si vuole trovare la velocità rispetto al rif senza apice. L’autore preferisce lavorare con i $\beta = v/c$ , e lo seguiamo.

Sul disegno :

la semiretta dall’origine passante per P è la linea di universo di P , che nel rif con apice ha coordinate $(ct’,x’)_(P)$.

Supponiamo che sul disegno $(ct’)_(P)$ abbia lunghezza $a$ : è la lunghezza di OA sull’asse CR’ . Allora si ha :

$x’(P) = \beta_1(ct’)_(P) = \beta_1*a$ , che rappresenta la distanza da A a P sulla carta.

Si possono ora determinare le coordinate di P nel rif senza apice, in funzione di $a$, per via geometrica, con delle somme; per il punto A :

$(x,ct)_A = (asen\theta, a cos\theta) $

inoltre considerando il segmento (P-A) , si ha :

$(x,ct)_(P-A) = (beta_1acos\theta, beta_1asentheta) $

Sommando : $(x,ct)_(P) = (asentheta +beta_1acostheta, acostheta + beta_1asentheta) $

LA velocitá di P nel rif senza apice è data come $beta_u $ :

$beta_u = x/(ct) = .....= (beta_1+beta_2) /( 1 + beta_1beta_2) $ (seguite i passagg intermedi sul disegno) .

dove : $beta_2 = tg\theta = v_2/c$ è la vélocitá del rif S’ rispetto al rif S.

Spero di non aver fatto confusione.

Il second metodo è più fisico; è esposto qui :

https://galileoandeinstein.phys.virgini ... _vels.html

questo paragrafo fa parte di un bel set di note sulla RR , scritto da Michael Fowler all’Università della Virginia, poco matematico , eccolo :

https://galileoandeinstein.phys.virgini ... c_rel.html

vale la pena di salvare il corso nel proprio archivio. Perdonate se non spiego il metodo di Fowler, è un po’ lungo. Richiede anche delle pregresse conoscenze, e forse c’è qualche punto che può non essere comprensibile a prima vista.
Se qualcuno vuole qualche chiarimento, chieda pure.

[mklplo751]

Grazie per le risposte e scusa se ti rispondo solo ora, ma stavo ripetendo Analisi 2. Comunque, per quanto riguarda la dimostrazione, sebbene quelle in cui si usino i disegni non rientrano proprio nel mio genere, dato che mi confondo abbastanza facilmente, comunque è interessante conoscere qualche metodo che fa uso di argomenti matematici più semplici. Grazie per esserti preso il disturbo di esporre questa dimostrazione in maniera così dettagliata.