Dubbio sulla definizione lavoro termodinamico
Ciao ragazzi, mi è venuto un dubbio sulla definizione di lavoro termodinamico mentre svolgevo un esercizio, riporto la traccia e la mia soluzione per far capire meglio il problema.
Un gas monoatomico si trova in un contenitore adiabatico alla pressione [tex]p_{0}[/tex], e viene fatto espandere contro una pressione esterna (costante) [tex]p_{1}[/tex].
A parità di pressione finale [tex]p_{1}[/tex], calcolare il lavoro svolto dal gas durante l'espansione, considerando la trasformazione irreversibile, e poi reversibile.
Con [tex]p_{1}[/tex] = [tex]p_{0}/2[/tex]
Trattando prima il caso irreversibile ho ragionato così: per definizione il lavoro termodinamico svolto dal gas durante l'espansione è (visto che la pressione esterna è costante)
[tex]L\ =\ p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})[/tex] chiamo questa 0)
dal 1° principio della termodinamica so che [tex]\Delta U\ =\ Q\ -\ L[/tex], ma la trasformazione è adiabatica quindi Q=0, perciò [tex]\Delta U\ =\ -\ L[/tex].
Dato che [tex]\Delta U\ =\ n\cdot c_{v} \cdot \Delta t[/tex], segue che [tex]L\ =\ -n\cdot c_{v} \cdot \Delta t[/tex] chiamo 1)
ma devo avere anche che [tex]p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})\ =\ -n\cdot c_{v} \cdot \Delta t[/tex] chiamo 2)
Dato che il gas è monoatomico [tex]c_{v}\ =\ {3 \over 2} \cdot R[/tex], inserisco questa relazione nella 2)
[tex]p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})\ =\ -{3 \over 2} \cdot n\cdot R \cdot \Delta t[/tex] chiamo 3)
ora scrivo l'equazione dei gas perfetti per stato 1 e stato 2:
[tex]p_{0}\cdot V_{0}\ =\ n\cdot R \cdot t_{0}[/tex]
[tex]p_{1}\cdot V_{1}\ =\ n\cdot R \cdot t_{1}[/tex]
le sottrango ed ottengo [tex]p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0}\ =\ n\cdot R\cdot \Delta t[/tex], e la inserisco nella 3)
sostituendo nella 3) ottengo [tex]-{3 \over 2} \cdot (p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0})\ =\ p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})[/tex], dato che [tex]p_{e}=p_{1}=p_{0}/2[/tex] sostituendo nell'ultima relazione trovata ricavo [tex]V_{1} = {8 \over 5}\cdot V_{0}[/tex], mettendo quanto appena trovato nella 0) ricavo che [tex]L\ =\ {3 \over 10}\cdot p_{0}\cdot V_{0}[/tex], questo risultato coincide con il risultato dell'esercizio, passiamo ora al caso reversibile, dove nasce il problema.
Dato che la trasformazione è reversibile, posso utilizzare le varie formule dell'adiabatica e posso scrivere che:
[tex]V_{1}\ =\ V_{0}\cdot \left ({p_{0} \over p_{1}}\right )^{{1 \over \gamma}}[/tex], con [tex]\gamma\ =\ {c_{p}\over c_{v}} = {5\over3}[/tex] (gas monoatomico).
Se inserico [tex]V_{1}[/tex] appena trovato in [tex]-{3 \over 2} \cdot (p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0})\ =\ p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})[/tex] (che sarebbe la 2) a cui ho fatto le varie sostituzioni che ho scritto), l'identità non è più valida, e il risultato corretto è dato sostituendo [tex]V_{1}\ trovato\ prima\ in\ L=-{3 \over 2} \cdot (p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0})[/tex], che sarebbe il membro di sinistra dell'uguaglianza precedente.
Non riesco a capire cosa mi sfugge e quale sia l'errore concettuale.
Un gas monoatomico si trova in un contenitore adiabatico alla pressione [tex]p_{0}[/tex], e viene fatto espandere contro una pressione esterna (costante) [tex]p_{1}[/tex].
A parità di pressione finale [tex]p_{1}[/tex], calcolare il lavoro svolto dal gas durante l'espansione, considerando la trasformazione irreversibile, e poi reversibile.
Con [tex]p_{1}[/tex] = [tex]p_{0}/2[/tex]
Trattando prima il caso irreversibile ho ragionato così: per definizione il lavoro termodinamico svolto dal gas durante l'espansione è (visto che la pressione esterna è costante)
[tex]L\ =\ p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})[/tex] chiamo questa 0)
dal 1° principio della termodinamica so che [tex]\Delta U\ =\ Q\ -\ L[/tex], ma la trasformazione è adiabatica quindi Q=0, perciò [tex]\Delta U\ =\ -\ L[/tex].
Dato che [tex]\Delta U\ =\ n\cdot c_{v} \cdot \Delta t[/tex], segue che [tex]L\ =\ -n\cdot c_{v} \cdot \Delta t[/tex] chiamo 1)
ma devo avere anche che [tex]p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})\ =\ -n\cdot c_{v} \cdot \Delta t[/tex] chiamo 2)
Dato che il gas è monoatomico [tex]c_{v}\ =\ {3 \over 2} \cdot R[/tex], inserisco questa relazione nella 2)
[tex]p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})\ =\ -{3 \over 2} \cdot n\cdot R \cdot \Delta t[/tex] chiamo 3)
ora scrivo l'equazione dei gas perfetti per stato 1 e stato 2:
[tex]p_{0}\cdot V_{0}\ =\ n\cdot R \cdot t_{0}[/tex]
[tex]p_{1}\cdot V_{1}\ =\ n\cdot R \cdot t_{1}[/tex]
le sottrango ed ottengo [tex]p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0}\ =\ n\cdot R\cdot \Delta t[/tex], e la inserisco nella 3)
sostituendo nella 3) ottengo [tex]-{3 \over 2} \cdot (p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0})\ =\ p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})[/tex], dato che [tex]p_{e}=p_{1}=p_{0}/2[/tex] sostituendo nell'ultima relazione trovata ricavo [tex]V_{1} = {8 \over 5}\cdot V_{0}[/tex], mettendo quanto appena trovato nella 0) ricavo che [tex]L\ =\ {3 \over 10}\cdot p_{0}\cdot V_{0}[/tex], questo risultato coincide con il risultato dell'esercizio, passiamo ora al caso reversibile, dove nasce il problema.
Dato che la trasformazione è reversibile, posso utilizzare le varie formule dell'adiabatica e posso scrivere che:
[tex]V_{1}\ =\ V_{0}\cdot \left ({p_{0} \over p_{1}}\right )^{{1 \over \gamma}}[/tex], con [tex]\gamma\ =\ {c_{p}\over c_{v}} = {5\over3}[/tex] (gas monoatomico).
Se inserico [tex]V_{1}[/tex] appena trovato in [tex]-{3 \over 2} \cdot (p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0})\ =\ p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0})[/tex] (che sarebbe la 2) a cui ho fatto le varie sostituzioni che ho scritto), l'identità non è più valida, e il risultato corretto è dato sostituendo [tex]V_{1}\ trovato\ prima\ in\ L=-{3 \over 2} \cdot (p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0})[/tex], che sarebbe il membro di sinistra dell'uguaglianza precedente.
Non riesco a capire cosa mi sfugge e quale sia l'errore concettuale.
Risposte
"DGauss":
Se inserico \( V_{1} \) appena trovato in \( -{3 \over 2} \cdot (p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0})\ =\ p_{e}\cdot (V_{1}\ -\ V_{0}) \) (che sarebbe la 2) a cui ho fatto le varie sostituzioni che ho scritto), l'identità non è più valida, e il risultato corretto è dato sostituendo \( V_{1}\ trovato\ prima\ in\ L=-{3 \over 2} \cdot (p_{1}\cdot V_{1}\ -\ p_{0}\cdot V_{0}) \), che sarebbe il membro di sinistra dell'uguaglianza precedente.
Non riesco a capire cosa mi sfugge e quale sia l'errore concettuale.
Non puoi fare quello che c'è scritto qui sopra. E' proprio il concetto "chiave" della differenza tra trasformazioni reversibili e irreversibili.
In questo esercizio nella t.r. ottieni più lavoro e quindi hai una maggiore diminuzione di energia interna, siccome l'unica equazione che vale è $\DeltaU=-L$.
Ottieni più lavoro perchè la pressione viene diminuita molto lentamente è per ogni volume del gas la pressione è superiore nella t.r. che nella t.i.
Nella t.i. la pressione cala subito a $p_1$.
Ma la definizione di lavoro termodinamico non dovrebbe valere in ogni caso? Se no, perchè
La definizione di lavoro (termodinamico) si applica, certamente.
Il lavoro è sempre e comunque $L=F*s$, però nei due casi la pressione non ha lo stesso andamento.
Nella t.r. cala gradualmente e con continuità.
Nella t.i. $p_0$ cala improvvisamente a $p_1$ e questo rende la trasformazione irreversibile, oltre a compiere una quantità di lavoro diversa. Immagina il solito cilindro con pistone mobile, che è appesantito da un peso. Improvvisamente il peso viene tolto dal pistone, determinando un calo improvviso di pressione...
Il lavoro è sempre e comunque $L=F*s$, però nei due casi la pressione non ha lo stesso andamento.
Nella t.r. cala gradualmente e con continuità.
Nella t.i. $p_0$ cala improvvisamente a $p_1$ e questo rende la trasformazione irreversibile, oltre a compiere una quantità di lavoro diversa. Immagina il solito cilindro con pistone mobile, che è appesantito da un peso. Improvvisamente il peso viene tolto dal pistone, determinando un calo improvviso di pressione...
Ma il fatto che la pressione interna del gas cala bruscamente cosa ha a che fare con la pressione esterna?
Non è vero che nel caso irreversibile la pressione del gas cala bruscamente, quello che accade è che la pressione del gas non sarebbe uniforme nel corso della trasformazione, pertanto per calcolare il lavoro che il gas compie sull'esterno non si può utilizzare la pressione interna del gas (che non ha valore univoco).
Sono cose su cui si è discusso diverse volte vedi questa discussione e questo messaggio (seconda parte) per esempio, o anche quest'altra discussione.
Sono cose su cui si è discusso diverse volte vedi questa discussione e questo messaggio (seconda parte) per esempio, o anche quest'altra discussione.
"DGauss":
Ma il fatto che la pressione interna del gas cala bruscamente cosa ha a che fare con la pressione esterna?
Non ho detto che la pressione interna del gas cala improvvisamente, ma che la pressione esterna cala improvvisamente.
Se ho un pistone appesantito da due masse da 1 kg, e improvvisamente (istantaneamente) ne tolgo una, il lavoro fatto verso l'esterno non può che essere $p\Delta V$. Cos'altro può essere ?
Ok ragazzi ma il problema non è questo, ma perché nel caso della trasformazione reversibile il lavoro posso solo calcolarlo da
[tex]L=-\Delta U[/tex] e non sempre con [tex]L=p_{e}*(V_{1}-V_{0})[/tex], calcolandomi V1 con le formule dell'adiabatica come scritto nel primo post.
[tex]L=-\Delta U[/tex] e non sempre con [tex]L=p_{e}*(V_{1}-V_{0})[/tex], calcolandomi V1 con le formule dell'adiabatica come scritto nel primo post.
Ma scusami Quinzio te l'ha detto già e se hai letto le altre discussioni dovresti averlo capito.
Riproviamo a risponderti.
Non puoi perché nel caso reversibile la pressione esterna non può essere costante, altrimenti la trasformazione non sarebbe reversibile! Per avere una trasformazione reversibile di espansione la pressione esterna deve diminuire lentamente pian piano ed essere sempre uguale alla pressione interna che c'è in quel momento nel cilindro.
Riproviamo a risponderti.
Non puoi perché nel caso reversibile la pressione esterna non può essere costante, altrimenti la trasformazione non sarebbe reversibile! Per avere una trasformazione reversibile di espansione la pressione esterna deve diminuire lentamente pian piano ed essere sempre uguale alla pressione interna che c'è in quel momento nel cilindro.
Ciao DGauss
Prova a dare una occhiata alla pag. 504 di Mencuccini Sivestrini fisica 1,
trovi dettagliate spiegazioni in merito al lavoro di un sistema macroscopico.
Scusa se ti indico il riferimento ...
ma non saprei aggiungere altro a quello già detto.
Ciao e buono studio
Mino
Prova a dare una occhiata alla pag. 504 di Mencuccini Sivestrini fisica 1,
trovi dettagliate spiegazioni in merito al lavoro di un sistema macroscopico.
Scusa se ti indico il riferimento ...
ma non saprei aggiungere altro a quello già detto.
Ciao e buono studio
Mino
Scusate se vi rispondo in ritardo ma ho avuto problemi con internet, comunque ora ho capito, avevo inteso male le risposte, grazie a tutti.
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