Dubbio sui condensatori
Svolgendo alcuni esercizi mi è venuto un dubbio sui condensatori. Prendiamo la situazione in alto
So che caricando il primo condensatore per induzione completa si caricano tutti in serie con +Q e -Q, avendo i condensatori rispettivamente C1 e C2 capacità si stabilisce la relazione
$C_1=Q/(DeltaV_1)$ e $C_2=Q/(DeltaV_2)$.
Mettiamo che nel mezzo tra i due condensatori la distribuzione di cariche nello spazio (cioè sulle armature) dia potenziale (diciamolo) $V_x$
Ora mi sono chiesto: se metto una terra tra i due condensatori cosa succede? In teoria in mezzo ho potenziale nullo (ho un unico conduttore equipotenziale con il globo che è nullo), inoltre la ddp nei due condensatori non cambia e rimarranno rispettivamente $DeltaV_1$ e $DeltaV_2$, così come le cariche su ogni armatura rimanre sempre +Q -Q, +Q -Q (da destra a sinistra su ogni armatura) perché l'induzione è completa.
Il fatto dubbio è questo: ma se la configurazione di cariche rimane immutata perché il potenziale in mezzo è nullo? Non dovrebbe rimanere $V_x$ poiché esso è dato unicamente da come sono disposte le cariche nello spazio e come detto rimangono immutate.
Allora uno potrebbe obietare e dire dove ci sono nella figura i "?" avrò cariche diverse non più in modulo di valore Q (perché alcune cariche si sono spostate sulla superficie terrestre), ma se così fosse non varrebbe più la realzione $C=Q/(DeltaV)$ perché avrei su due piastre due Q diverse e quale Q dovrei prendere nella relazione => quindi deduco che Q non varia anche collegando a terra.
Non so come risolvere il dubbio quindi.
So che caricando il primo condensatore per induzione completa si caricano tutti in serie con +Q e -Q, avendo i condensatori rispettivamente C1 e C2 capacità si stabilisce la relazione
$C_1=Q/(DeltaV_1)$ e $C_2=Q/(DeltaV_2)$.
Mettiamo che nel mezzo tra i due condensatori la distribuzione di cariche nello spazio (cioè sulle armature) dia potenziale (diciamolo) $V_x$
Ora mi sono chiesto: se metto una terra tra i due condensatori cosa succede? In teoria in mezzo ho potenziale nullo (ho un unico conduttore equipotenziale con il globo che è nullo), inoltre la ddp nei due condensatori non cambia e rimarranno rispettivamente $DeltaV_1$ e $DeltaV_2$, così come le cariche su ogni armatura rimanre sempre +Q -Q, +Q -Q (da destra a sinistra su ogni armatura) perché l'induzione è completa.
Il fatto dubbio è questo: ma se la configurazione di cariche rimane immutata perché il potenziale in mezzo è nullo? Non dovrebbe rimanere $V_x$ poiché esso è dato unicamente da come sono disposte le cariche nello spazio e come detto rimangono immutate.
Allora uno potrebbe obietare e dire dove ci sono nella figura i "?" avrò cariche diverse non più in modulo di valore Q (perché alcune cariche si sono spostate sulla superficie terrestre), ma se così fosse non varrebbe più la realzione $C=Q/(DeltaV)$ perché avrei su due piastre due Q diverse e quale Q dovrei prendere nella relazione => quindi deduco che Q non varia anche collegando a terra.
Non so come risolvere il dubbio quindi.
Risposte
"mattiuzzobis":
So che caricando il primo condensatore per induzione completa si caricano tutti in serie con +Q e -Q,
Dipende: se carichi il primo condensatore collegando una pila al capo di sinistra e al tratto centrale, si carica il condensatore di sinistra, ma non quello di destra. Per caricarili tutti i due devi collegare la pila al capo di sinistra e a quello di destra
"mattiuzzobis":
Mettiamo che nel mezzo tra i due condensatori la distribuzione di cariche nello spazio (cioè sulle armature) dia potenziale (diciamolo) $V_x$
Potenziale $V_x$, ma mettendo lo zero dove?
"mattiuzzobis":
Ora mi sono chiesto: se metto una terra tra i due condensatori cosa succede? In teoria in mezzo ho potenziale nullo (ho un unico conduttore equipotenziale con il globo che è nullo), inoltre la ddp nei due condensatori non cambia e rimarranno rispettivamente $DeltaV_1$ e $DeltaV_2$, così come le cariche su ogni armatura rimanre sempre +Q -Q, +Q -Q (da destra a sinistra su ogni armatura) perché l'induzione è completa.
Giusto
"mattiuzzobis":
Il fatto dubbio è questo: ma se la configurazione di cariche rimane immutata perché il potenziale in mezzo è nullo? Non dovrebbe rimanere $V_x$ poiché esso è dato unicamente da come sono disposte le cariche nello spazio e come detto rimangono immutate.
Prova a completare il tuo secondo disegno disegnando la pila collegata ai capi estremi.
Facciamo un caso più semplice del tuo, con condensatori uguali, e la pila da 10V.
In quella situazione, abbiamo +5V sul capo di sinistra, -5V su quello di destra, 0V nel centro.
Però potremmo mettere a terra un altro punto, per es. il capo di destra: in questo caso avremo +10V a sinistra, +5V in mezzo e zero a destra.
Se mettiamo a terra il capo di sx, avremo risp. 0, -5V, -10V.
Se poi, invece di mettere un punto a terra, lo colleghiamo (per es il centro) al polo + di una pila di 100V, con l'altro polo a terra, avremo, rispettivamente, da sx a dx: +105V, +100V, +95V.
Insomma, i potenziali assoluti, diciamo così, possono cambiare, cambiando le condizioni al contorno. Le differenze di potenziale nel circuito restano fisse
Grazie per la risposta mgrau!
La mia idea era caricarli prendendo la carica dall'utlimo eportandolo sul primo (quindi pila collegata agli estremi della serie).
Quello che dici mi sembra intuitivamente valido, però non riesco a interpretaro alla luce di come si calcola il potenziale con punto zero a infinito.
So infatti che il potenziale è dato da $V(r)=1/(4piepsilon_0)\int(rho(r)d^3r)/(r)+c$ (**) con c costante arbitraria che posso fissare nulla a infinito.
A conti fatti ogni armatura è una distrubuzione $\intrhodV$ di carica, bene, allora uso la precedente e in mezzo alle due piastre con c=0 a infinito ho un valore $V_x$. (caso non a terra)
Il dubbio è quindi: quando collego la terra nel mezzo dei due condensatori effettivamente il potenziale della terra è 0 quando lo calcolo con: $V(r)=1/(4piepsilon_0)\int(rho(r)d^3r)/(r)$ (ha una carica su un raggio "Infinito" =0! quindi attaccando la terra nel mezzo dei due condensatori porta le due piastre a condizione di potenziale nullo. Tuttavia non perturbo nessuna carica e le condizioni al contorno rimangono immutate, perché quindi il potenziale si annulla tra le due piastre? Se continuo a calcolarlo con la (**) dovrebbe essere uguale a prima il computo.
Il delta quindi vedo rimane invariato nel tuo esempio, ma non capisco perché nel calcolo bruto con l'integrale accada, se mantengo c=0 a infinito e la distribuzione delle cariche è la medesima.
La mia idea era caricarli prendendo la carica dall'utlimo eportandolo sul primo (quindi pila collegata agli estremi della serie).
Quello che dici mi sembra intuitivamente valido, però non riesco a interpretaro alla luce di come si calcola il potenziale con punto zero a infinito.
So infatti che il potenziale è dato da $V(r)=1/(4piepsilon_0)\int(rho(r)d^3r)/(r)+c$ (**) con c costante arbitraria che posso fissare nulla a infinito.
A conti fatti ogni armatura è una distrubuzione $\intrhodV$ di carica, bene, allora uso la precedente e in mezzo alle due piastre con c=0 a infinito ho un valore $V_x$. (caso non a terra)
Il dubbio è quindi: quando collego la terra nel mezzo dei due condensatori effettivamente il potenziale della terra è 0 quando lo calcolo con: $V(r)=1/(4piepsilon_0)\int(rho(r)d^3r)/(r)$ (ha una carica su un raggio "Infinito" =0! quindi attaccando la terra nel mezzo dei due condensatori porta le due piastre a condizione di potenziale nullo. Tuttavia non perturbo nessuna carica e le condizioni al contorno rimangono immutate, perché quindi il potenziale si annulla tra le due piastre? Se continuo a calcolarlo con la (**) dovrebbe essere uguale a prima il computo.
Il delta quindi vedo rimane invariato nel tuo esempio, ma non capisco perché nel calcolo bruto con l'integrale accada, se mantengo c=0 a infinito e la distribuzione delle cariche è la medesima.
Non vorrei dire stupidaggini, ma:
credo che considerare 0 il potenziale della terra sia convenzionale, e non consistente con il mettere lo zero all'infinito.
Infatti, quando calcoli il potenziale della terra con $V(r)=1/(4piepsilon_0)\int(rho(r)d^3r)/(r)$, (a parte che non capisco perchè lo tratti come una carica di volume, quando si tratta di una carica di superficie) il raggio non è affatto infinito, e la carica non è affatto zero (da quanto leggo, si tratta circa di $-0.5*10^6C$); il campo elettrico alla superficie è dell'ordine di $100N/C$. Ora, Se $E = 1/(4piepsilon_0) q/r^2$ e $V = 1/(4piepsilon_0)q/r = Er$ si ricaverebbe $V$ circa $6*10^8V$ (che in effetti mi sembra un po' strano...), ma insomma è tutt'altro che zero. Quindi, direi, che confrontare valori calcolati con zero a terra e zero all'infinito non va bene.
credo che considerare 0 il potenziale della terra sia convenzionale, e non consistente con il mettere lo zero all'infinito.
Infatti, quando calcoli il potenziale della terra con $V(r)=1/(4piepsilon_0)\int(rho(r)d^3r)/(r)$, (a parte che non capisco perchè lo tratti come una carica di volume, quando si tratta di una carica di superficie) il raggio non è affatto infinito, e la carica non è affatto zero (da quanto leggo, si tratta circa di $-0.5*10^6C$); il campo elettrico alla superficie è dell'ordine di $100N/C$. Ora, Se $E = 1/(4piepsilon_0) q/r^2$ e $V = 1/(4piepsilon_0)q/r = Er$ si ricaverebbe $V$ circa $6*10^8V$ (che in effetti mi sembra un po' strano...), ma insomma è tutt'altro che zero. Quindi, direi, che confrontare valori calcolati con zero a terra e zero all'infinito non va bene.
allora...per quanto riguarda l'integrale di superficie, sì, certo, è come dici. Ho solo scritto quella formula generale ma si dovrebbe integrare estendendo alla sup e non al volume. Ma questo mi è chiaro non era un errore.
credo che considerare 0 il potenziale della terra sia convenzionale, e non consistente con il mettere lo zero all'infinito.
Questo invece erasì un errore! Io qualitativamente mi dicevo raggio infinito.. sì, ma a conti fatti non è così e mi hai pienamente convinto con il calcolo esplicito.
Con questa conoscenza acquisita posso tornare almio dubbio; ma qualcosa, comunque, continua a non tornarmi:
Prendendo la situazione della figura 1 e avendo portato Q dal secondo estremo del sistema di due conduttori al primo arrivo a una distribuzione di cariche che nel punto a metà tra i due condensatori mi dà potenziale:
$V_x=1/(4piepsilon_0)\int(sigma(r)dSigma)/(r)+c$ lasciamo pure l'arbitrarietà di c
Ora, quando collego a terra $V_x$ deve portarsi a (chiamiamola zero o chiamiamola per non confonderci con un più generico:) $V_T$ della terra. Tuttavia nessuna carica si è mossa perché permaniamo nella situazione di induzione completa.
Quindi anche ora potrei calcolare $V_x=1/(4piepsilon_0)\int(sigma(r)dSigma)/(r)+c$ e fissando lo stesso c di prima dovrebbe darmi lo stesso $V_x$ (ripeto nulla al contorno è cambiato).
Però allo stesso modo quel tratto deve essere equipotenziale alla terra $V_T$ dunque $V_x=V_T$ qualunque fosse la distribuzione scelta, necessariamente, perché siamo in condizione statica. Ma questo non è vero, perché non è vero che ogni distribuzione arbitraria di cariche mi dà lo stesso valore di $V_x$ svolgendo quell'integrale. Ciò implica che qualcosa deve essere cambiato nel collegamento a terra, altrimenti non si spiega l'equipotenzialità terra-tratto di circuito.
Quindi come possiamo uscire da questo probelma?
Non ti nascondo che mi stai mettendo in difficoltà...
Vediamo. Intanto, non mi convince il tuo modo di calcolare il potenziale del centro. A quale volume pensi di estendere quell'integrale? Solo alle armature dei condensatori? Non credo che tu possa limitarti a quello.
Se tu attacchi una pila ai capi estremi, si trovano facilmente le differenze di potenziale fra i vari punti. Ma i potenziali assoluti? Sia pure riferiti all'infinito?
In fondo possiamo anche prendere un condensatore solo e una pila. Conosciamo la ddp fra le armature. Ma sappiamo anche il potenziale? A me pare di no. Prova a pensare di mettere a terra una armatura: questa prende il potenziale della terra. C'è stato spostamento di cariche? Non mi sembra, o almeno non sulle armature. Ora metti a terra l'altra (e stacchi la prima). I potenziali cambiano; di nuovo non mi pare ci sia spostamento di cariche.
Ti faccio un altro esempio, che magari è più chiaro.
Prendi un condensatore sferico, con una carica +Q nella sfera interna, e il guscio sferico esterno scarico. Si forma una carica -Q sulla superficie interna, e una +Q su quella esterna.
Se è solo al mondo, è facile trovare il potenziale in ogni punto (con lo zero all'infinito).
Se mettiamo a terra il guscio esterno, la carica esterna +Q sparisce, e il potenziale del guscio diventa quello della terra. Anche il potenziale della sfera interna cambia, diminuisce dello stesso $DeltaV$ di cui è diminuito il guscio. Però non ci sono spostamenti di cariche interne, nè cambia la differenza di potenziale fra i due conduttori.
Di nuovo, spero di non aver detto sciocchezze, e di non averti confuso le idee...
Vediamo. Intanto, non mi convince il tuo modo di calcolare il potenziale del centro. A quale volume pensi di estendere quell'integrale? Solo alle armature dei condensatori? Non credo che tu possa limitarti a quello.
Se tu attacchi una pila ai capi estremi, si trovano facilmente le differenze di potenziale fra i vari punti. Ma i potenziali assoluti? Sia pure riferiti all'infinito?
In fondo possiamo anche prendere un condensatore solo e una pila. Conosciamo la ddp fra le armature. Ma sappiamo anche il potenziale? A me pare di no. Prova a pensare di mettere a terra una armatura: questa prende il potenziale della terra. C'è stato spostamento di cariche? Non mi sembra, o almeno non sulle armature. Ora metti a terra l'altra (e stacchi la prima). I potenziali cambiano; di nuovo non mi pare ci sia spostamento di cariche.
Ti faccio un altro esempio, che magari è più chiaro.
Prendi un condensatore sferico, con una carica +Q nella sfera interna, e il guscio sferico esterno scarico. Si forma una carica -Q sulla superficie interna, e una +Q su quella esterna.
Se è solo al mondo, è facile trovare il potenziale in ogni punto (con lo zero all'infinito).
Se mettiamo a terra il guscio esterno, la carica esterna +Q sparisce, e il potenziale del guscio diventa quello della terra. Anche il potenziale della sfera interna cambia, diminuisce dello stesso $DeltaV$ di cui è diminuito il guscio. Però non ci sono spostamenti di cariche interne, nè cambia la differenza di potenziale fra i due conduttori.
Di nuovo, spero di non aver detto sciocchezze, e di non averti confuso le idee...
A quale volume pensi di estendere quell'integrale? Solo alle armature dei condensatori?
Vero, però quella formula è soluzione dell'equzione di poisson o meglio laplace in questo caso. E dovrebbe, per quanto difficile, stando al libro, esistere sempre ed essere unica. Quindi forse non sapremmo calcolarla per difficolta, ma dobbiamo ammettere ci sia (risultato matematico).
Come dicevo, inoltre, più che calcolarla a un volume si fa a una superficie (il libro fa un calcolo analogo riducendo la formula del volume a un integrale di superficie, proprio considerando un sistema di corpi conduttori carichi, che sappiamo avere carica solo sulla sup. appunto, quindi si può fare direi.
Poi c'è un altro punto che andrei a distinguere, così su due piedi: quando lascio un generatore/pila attaccata al circuito (qualunque circuito sia) in realtà oltre al campo elettrostatico, che ha persoluzione dell'equazione di poisson quell'integrale succitato, si aggiunge un campo elettromotore ed è quello che cambia i bilanci di potenziale. Insomma, una pila attaccata porta un potenizale diverso rispetto al caso di sole cariche statiche per cui abbiamo soluzione (l'integrale) conoscendone il termine noto di $rho/epsilon_0$ della $\nabla^2V=-rho/epsilon_0$. QUindi ci sta che lasciando il generatore il potenziale delcircuito non sia imputabile alle sole cariche, è giusto.
Detto questo, nel mio esempio ,però anche nei tuoi siamo nel caso elettrostatico perché possiamo immaginare di caricare il condensatore e poi staccare la pila e quindi in quel caso le cariche rimangono e torniamo ad avere soluzione $V(r)=1/(4piepsilon_0)\int(sigma(r)dSigma)/(r)+c$ data dalla sola distribuzione statica di cariche nello spazio.
Prova a pensare di mettere a terra una armatura: questa prende il potenziale della terra. C'è stato spostamento di cariche? Non mi sembra, o almeno non sulle armature. Ora metti a terra l'altra (e stacchi la prima). I potenziali cambiano; di nuovo non mi pare ci sia spostamento di cariche.
Esatto, è un esempio simile al mio dubbio ed è proprio quello che vorrei cercare di capre... perché se la distribuzione di cariche rimane identica dentro e fuori ho un potenziale diverso dall'inizio nel corpo interno?
Hai centrato il punto con questo controesempio.Ti faccio un altro esempio, che magari è più chiaro.
Prendi un condensatore sferico, con una carica +Q nella sfera interna, e il guscio sferico esterno scarico. Si forma una carica -Q sulla superficie interna, e una +Q su quella esterna.
Se è solo al mondo, è facile trovare il potenziale in ogni punto (con lo zero all'infinito).
Se mettiamo a terra il guscio esterno, la carica esterna +Q sparisce, e il potenziale del guscio diventa quello della terra. Anche il potenziale della sfera interna cambia, diminuisce dello stesso ΔV di cui è diminuito il guscio. Però non ci sono spostamenti di cariche interne, nè cambia la differenza di potenziale fra i due conduttori.
Ecco, qui però mi sembra invece ci sia uno spostamento di cariche: le cariche esterne sfuggono dalla superficie e finiscono sulla terra e questo rimaneggiamento di cariche cambia la distribuzione spaziale. Per principio di sovrapposizione, infine, anche se al centro non cambiano le cariche cambia la sovrapposizione del potenziale in quel determinato punto perché risente dellamancanza di +Q estenra (finita sulla terra). Però si mantiene fissa la ddp tra le armature. Qui funziona.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo