Dubbio su testo esercizio

[ritalevimontalcini1]

salve,
un dubbio sul testo di un esercizio:
Un'auto di massa M=1160 kg, viaggia lungo una strada rettilinea. Il motore trasmette alle ruote una potenza W=40kW;
sull'auto agisce una forza resistente dovuta all'aria data da $R=-bv$ con b=33kg/s
Calcolare la vel massima.

Dunque ragazzi:
$F-R=ma$ --> $W/v - bv=mv' $ secondo me...
Invece il prof ci ha detto che la vel è costante, non capisco da quale elemento del testo dell'esercizio deduce che la vel è costante. potete aiutarmi?
vi ringrazio !

[mathbells]

"ritalevimontalcini":non capisco da quale elemento del testo dell'esercizio deduce che la vel è costante.

Te lo suggerisce la domanda stessa: calcolare la velocità massima. Questo significa che la velocità dell'auto aumenta fino a stabilizzarsi su un valore massimo. Ciò lo si capisce considerando la forma della forza di resistenza dell'aria. Essa è proporzionale alla velocità. Ora, immagina l'auto che parte ed inizia ad aumentare la velocità grazie alla forza impressa dal motore. Man mano che aumenta la velocità, aumenta anche la forza resistente e quindi ad un certo punto essa diventa uguale in modulo (e contraria in verso) alla forza impressa dal motore: a quel punto la forza totale agente sull'auto è zero e quindi la sua accelerazione si annulla e quindi la sua velocità rimane costante.

LA tua equazione è giusta: l'unica cosa che devi fare è considerare $v'=0$ al secondo membro, e $v=v_(max)$ al primo, il che significa appunto accelerazione nulla in corrispondenza del raggiungimento della velocità massima. In questo modo dalla tua equazione ricavi:

$W/v_(max)=bv_(max)$ da cui $v_(max)=\sqrt(W/b)$

[_GaS_11]

A quanto gia' esposto da Mathbells aggiungo la dimostrazione del fatto che la velocita' si stabilizza.
Consideriamo l'equazione del moto ( ormai non c'e' bisogno di specificare le lettere ): $ma(t)=F-bv(t)$.
$m(dv)/dt=F-bv(t)$. Riconduciamo tutto all'accelerazione dividendo per '' $m$ '':
$(dv)/dt=a_1-kv(t)$.
$dv=(a_1-kv(t))dt$.
$(dv)/(a_1-kv(t))=dt$. Integrando e ponendo '' $v_0=0;t_0=0$ '':
$int_{0}^{v}(dv)/(a_1-kv(t))=int_{0}^{t}dt$. Cioe':
$-1/k[ln(a_1-kv(t))]_{0}^{v}=t$.
$-1/k[ln(a_1-kv(t))-lna_1]=t$.
$ln((a_1-kv(t))/a_1)=-kt$. Da cui:
$e^(-kt)=(a_1-kv(t))/a_1$.
$kv(t)=a_1-a_1e^(-kt)$. Quindi:
$v(t)=a_1/k(1-e^(-kt))$.
Da notare che per '' $(t)toinfty$ '' abbiamo '' $e^(-kt)to0$ '', da cui:
$v(t)toa_1/k$.
Tuttavia ben presto ci si avvicina alla velocita' critica, tanto da farcela considerare praticamente costante.
Questo puo' spiegare le base ( perche' poi bisogna considerare anche altro ) per la quale i paracadutisti raggiungono dopo un po' di tempo una velocita' praticamente costante; ricordiamo che l'aria risponde con un attrito di questo tipo.