Dubbio su spin e momento angolare
Salve a tutti, ho due dubbi che riguardano lo spin e il momento angolare.
1) Innanzitutto, mi interessava sapere che cosa mi permette di fare la seguente associazione: supponiamo di avere spin s = 1/2, lo spazio vettoriale in cui vivono gli spinori sarà in questo caso bidimensionale, e una base è data da $ {| uarr >, | darr>} $ , autovalori di Sz. Quello che faccio di solito è fare le seguenti associazioni:
$ | uarr> = ( (1), (0) ) $ e $ | darr> = ( (), (1) ) $ . Come potrei giustificarlo? Avevo pensato che il tutto si inquadra nel fatto che io uso le matrici di Pauli(a meno di una costante dimensionale) per ottenere una rappresentazione irriducibile dell'algebra degli spin, dunque, volendo considerare come base del sottospazio vettoriale quella composta dai vettori che diagonalizzano $ sigma_z $ , ottengo proprio $ {( (1), (0) ) ,( (0), (1) ) } $
2) Non mi è chiaro il principio con cui affermiamo s = intero o semi-intero; cioè, io so che il numero "l" del momento angolare orbitale può matematicamente essere un intero o un semi-intero, però la fisica mi dice che posso sceglierlo solo intero; allora come faccio a dire che s può ammettere valori semi-interi?
1) Innanzitutto, mi interessava sapere che cosa mi permette di fare la seguente associazione: supponiamo di avere spin s = 1/2, lo spazio vettoriale in cui vivono gli spinori sarà in questo caso bidimensionale, e una base è data da $ {| uarr >, | darr>} $ , autovalori di Sz. Quello che faccio di solito è fare le seguenti associazioni:
$ | uarr> = ( (1), (0) ) $ e $ | darr> = ( (), (1) ) $ . Come potrei giustificarlo? Avevo pensato che il tutto si inquadra nel fatto che io uso le matrici di Pauli(a meno di una costante dimensionale) per ottenere una rappresentazione irriducibile dell'algebra degli spin, dunque, volendo considerare come base del sottospazio vettoriale quella composta dai vettori che diagonalizzano $ sigma_z $ , ottengo proprio $ {( (1), (0) ) ,( (0), (1) ) } $
2) Non mi è chiaro il principio con cui affermiamo s = intero o semi-intero; cioè, io so che il numero "l" del momento angolare orbitale può matematicamente essere un intero o un semi-intero, però la fisica mi dice che posso sceglierlo solo intero; allora come faccio a dire che s può ammettere valori semi-interi?
Risposte
Sai hai una base ${v_1\cdots v_n}$ di uno spazio vettoriale quali sono le coordinati di $v_i$ rispetto a questa base?
Ottengo che la rappresentazione del vettore $ v_i $ rispetto alla base è proprio $ (0,0,...,i,...,0) $ ; quindi a questo punto se ho capito bene, senza pensare a come diagonalizzare $ sigma_z $, posso associare allo spin up il vettore $ ( (1), (0) ) $ perché voglio che $ | uarr> $ sia proprio un elemento della base di questo spazio bidimensionale(perché $ s = 1/2 $), e da qui poi la rappresentazione di tutto lo spazio vettoriale e dell'algebra dello spin. Ma in teoria non avrei potuto fare il percorso inverso(quello che avevo scritto all'inizio)?
"m2d":
Non mi è chiaro il principio ...
Volendo approfondire, dovresti studiare la teoria delle rappresentazioni dei gruppi. In particolare, nell'ambito della meccanica quantistica non relativistica, il gruppo delle rotazioni tridimensionali. Viceversa, volendo accontentarsi, per escludere i valori seminteri del momento angolare orbitale si è soliti evocare la proprietà di monodromia della funzione d'onda spaziale.
Ok. grazie mille del consiglio
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