Dubbio su questo tubo a U
La risoluzione del libro è evidentemente quella di uguagliare la pressione di una colonna di 20 cm di acqua a quella di una colonna di X centimetri di mercurio.
Ma a me sembra che si sbagli, perchè quella quota di 20 cm non è calcolata a partire dalla linea di separazione dei liquidi!
E se tracciamo delle parallele alla linea di separazione, non è più vero che le pressioni sono uguali, se i liquidi sono diversi, perché cambiano le proporzioni!
Per esempio, se ho 12 cm di un liquido, a sinistra, in equilibrio con 3 cm di un altro liquido, a destra, vuol dire che siamo alla linea di separazione. Il rapporto fra le altezze corrisponde all'inverso del rapporto fra le densità.
Se saliamo di 2 cm, avremo 10 cm di un liquido e 1 cm dell'altro. Il rapporto fra le altezze non è più lo stesso, quindi la pressione non è la stessa a sinistra e a destra!
Forse questa mia domanda è sbagliata e banale, ma purtroppo la fluidostatica non è sempre molto intuitiva come la meccanica, e, dato che all'Uni abbiamo da poco iniziato questo argomento, ancora non lo mastico benissimo.
Risposte
La pressione dipende dall'altezza, mica dalla linea di separazione. Ogni livello ha la stessa pressione.
A 20 cm sotto il livello dell'acqua, in qualsiasi punto del tubo, a quell'altezza, c'e' la stessa pressione: 1960Pa
($rho*g*h=1000*9.8*.2=1960)$
L'area del foro e' $0.0013$, la forza NETTA (al netto della pressione atmosferica) e' 2.5N circa.
L'altezza del mercurio e' $1000/13600*0.2=0.015 m=1.5cm$
A 20 cm sotto il livello dell'acqua, in qualsiasi punto del tubo, a quell'altezza, c'e' la stessa pressione: 1960Pa
($rho*g*h=1000*9.8*.2=1960)$
L'area del foro e' $0.0013$, la forza NETTA (al netto della pressione atmosferica) e' 2.5N circa.
L'altezza del mercurio e' $1000/13600*0.2=0.015 m=1.5cm$
L'equazione fondamentale della statica dei fluidi incomprimibili è la seguente :
$z + p/\gamma = "cost" $
dove $z$ è l'altezza geodetica , misurata da un piano orizzontale di riferimento . Perciò , se prendi un qualunque piano orizzontale a quota $z$ , su tutti punti di tale piano anche $p/\gamma = " cost" $ : i piani orizzontali sono isobarici .
Dunque, la pressione che agisce sul centro del tappo è uguale a quella che agisce sulla sezione orizzontale dell'acqua , a distanza 20 cm dalla cima .
$z + p/\gamma = "cost" $
dove $z$ è l'altezza geodetica , misurata da un piano orizzontale di riferimento . Perciò , se prendi un qualunque piano orizzontale a quota $z$ , su tutti punti di tale piano anche $p/\gamma = " cost" $ : i piani orizzontali sono isobarici .
Dunque, la pressione che agisce sul centro del tappo è uguale a quella che agisce sulla sezione orizzontale dell'acqua , a distanza 20 cm dalla cima .
"SalvatCpo":
Ma a me sembra che si sbagli ...
Hai ragione, la figura è sbagliata. Puoi correggerla in due modi:
1. Innalzando la superficie di separazione presente a sinistra alla stessa altezza della linea tratteggiata orizzontale presente a destra.
2. Abbassando la linea tratteggiata orizzontale presente a destra alla stessa altezza della superficie di separazione presente a sinistra.
"professorkappa":
La pressione dipende dall'altezza, mica dalla linea di separazione. Ogni livello ha la stessa pressione.
A 20 cm sotto il livello dell'acqua, in qualsiasi punto del tubo, a quell'altezza, c'e' la stessa pressione
Se per esempio consideriamo il livello 1 cm sotto il pelo libero dell'acqua, nella parte sinistra del tubo c'è una colonnina d'acqua di 1cm mentre nella parte destra del tubo non c'è nulla (il mercurio è molto più basso perchè è più denso).
Quindi a sinistra abbiamo una pressione pari a $ 1000*9.8*0.01 Pa = 98 Pa $
mentre a destra la pressione è nulla (dimentichiamo quella atmosferica, tanto sta sia a sinistra che a destra).
Cioè, nello stesso tubo ad una stessa altezza, nei due rami le pressioni sono differenti!
Cioè LE PRESSIONI SONO UGUALI SOLO SULLA LINEA ORIZZONTALE CHE SEPARA I DUE LIQUIDI E SOTTO DI ESSA.
O almeno così mi sembra.
Forse, come dice @anonymous_0b37e9, la figura è sbagliata e ci sta facendo confondere nella comunicazione.
La mia considerazione è che quei 20 cm di cui parla l'esercizio non costituiscono l'altezza totale della colonna d'acqua; cioè, la colonna d'acqua considerata dall'esercizio non poggia sulla linea di separazione. Quindi non sembra giusto sfruttare l'uguaglianza $ H1 *d1 = H2*d2 $ , dove H è l'altezza e d è la densità.
La figura allegata è sicuramente tratta da uno dei tanti manuali di fisica adottati in seconda superiore. In questi manuali, purtroppo, non è così raro imbattersi in figure concettualmente sbagliate.
Non è mica detto che il piano orizzontale passante per il tappo debba coincidere col piano orizzontale passante per la superficie di separazione dei due liquidi. Se aggiungiamo altra acqua a Sn , la superficie di separazione si abbassa ancora, e la pressione sul tappo aumenta; anche il mercurio sale. Ma la pressione sul tappo si trova sempre alla stessa maniera: $p=\gammah’$ , dove h’ è la nuova altezza dell’acqua sullo stesso piano isobaro di prima, passante per il tappo.
"Shackle":
Non è mica detto che il piano orizzontale passante per il tappo debba coincidere col piano orizzontale passante per la superficie di separazione dei due liquidi.
Se si accetta la soluzione riportata dall'autore, non può essere altrimenti. Dopo aver tirato una linea orizzontale all'altezza della superficie di separazione dei due liquidi, l'uguaglianza delle pressioni può essere imposta solo all'altezza corrispondente alla linea medesima. Uguagliare le pressioni a un'altezza maggiore di quella di cui sopra, al di sotto della quale i liquidi sarebbero necessariamente diversi, è concettualmente sbagliato e determina proprio l'assurdo alla base delle argomentazioni presenti nel messaggio di apertura di SalvatCpo.
Vero. Svarione, con scuse da parte mia per la superficialita'.
Ripensandoci bene, l'esercizio poteva anche essere interessante per uno studente alle prime armi, ma la figura è ingannevole e la soluzione sbagliata, senza contare che manca il dato sulla distanza della superficie di separazione acqua-mercurio dal pelo libero dell'acqua .
Mi sono posto il quesito in maniera analoga, senza buco né tappo a Ds , come rappresentato nel mio disegno sotto riportato. Il piano AB passa per la superficie di separazione dei due liquidi , e si ha : $P_A = P_B$ . Considero un piano $\pi$ , sopraelevato di $d$ rispetto al piano AB . Naturalmente, il piano $pi$ deve intersecare entrambi i tratti dei tubi dove c'è liquido , a ds e sn.
Quanto valgono $P_1$ e $P_2$ ? Si ha :
$P_1 = P_A -\gamma_ad = \gamma_a (h_A-d) $
$P_2 = P_B-\gamma_md=\gamma_m(h_B-d) $
quindi la differenza è : $P_1 - P_2 = (gamma_m-gamma_a)d $
Questa è il mio disegno :
Perciò le mie precedenti risposte sono sbagliate.
Detto ciò, aggiungo che , cercando nel web, ho anche trovato l'originale (o una sua elaborazione) dell'esercizio , in un noto testo online per la scuola , e mi duole dire che l'autore del testo ivi citato è un famoso fisico , di cui non faccio il nome per ovvi motivi. Ma probabilmente l'autore originale del libro non ha mai saputo nulla dei rimaneggiamenti e delle aggiunte fatte da altri, errori inclusi, che non ha certamente inserito lui. Ecco il testo che ho trovato :
Vorrei però ancora aggiungere questo , per @Salvat : il fatto che un piano orizzontale, tracciato al di sopra del pelo libero del mercurio , intersechi soltanto la colonna d'acqua nel tubo di Sn, mentre a Ds trova aria e non mercurio , è un fatto del tutto normale; non è questo il motivo per cui l'esercizio è sbagliato . La pressione relativa sulla sezione detta, nel tubo a Sn, sarà uguale a $\gamma_ah' $ , dove $h'$ è l'affondamento della sezione sotto il pelo libero dell'acqua. Non c'è nulla di strano in questo.
Saluti.
Mi sono posto il quesito in maniera analoga, senza buco né tappo a Ds , come rappresentato nel mio disegno sotto riportato. Il piano AB passa per la superficie di separazione dei due liquidi , e si ha : $P_A = P_B$ . Considero un piano $\pi$ , sopraelevato di $d$ rispetto al piano AB . Naturalmente, il piano $pi$ deve intersecare entrambi i tratti dei tubi dove c'è liquido , a ds e sn.
Quanto valgono $P_1$ e $P_2$ ? Si ha :
$P_1 = P_A -\gamma_ad = \gamma_a (h_A-d) $
$P_2 = P_B-\gamma_md=\gamma_m(h_B-d) $
quindi la differenza è : $P_1 - P_2 = (gamma_m-gamma_a)d $
Questa è il mio disegno :
Perciò le mie precedenti risposte sono sbagliate.
Detto ciò, aggiungo che , cercando nel web, ho anche trovato l'originale (o una sua elaborazione) dell'esercizio , in un noto testo online per la scuola , e mi duole dire che l'autore del testo ivi citato è un famoso fisico , di cui non faccio il nome per ovvi motivi. Ma probabilmente l'autore originale del libro non ha mai saputo nulla dei rimaneggiamenti e delle aggiunte fatte da altri, errori inclusi, che non ha certamente inserito lui. Ecco il testo che ho trovato :
Vorrei però ancora aggiungere questo , per @Salvat : il fatto che un piano orizzontale, tracciato al di sopra del pelo libero del mercurio , intersechi soltanto la colonna d'acqua nel tubo di Sn, mentre a Ds trova aria e non mercurio , è un fatto del tutto normale; non è questo il motivo per cui l'esercizio è sbagliato . La pressione relativa sulla sezione detta, nel tubo a Sn, sarà uguale a $\gamma_ah' $ , dove $h'$ è l'affondamento della sezione sotto il pelo libero dell'acqua. Non c'è nulla di strano in questo.
Saluti.
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