Dubbio su indici di miller e piani reticolari

[zerolucat]

cerco di spiegare il mio problema, che mi sta incasinando un pò troppo la testa... allora, se viene dato un reticolo di bravais, con vettori primitivi ${a_i}_i$ , e un piano $Π$ che intercetta gli assi in $α·a_1$ , $β·a_2$ , $γ·a_3$ , con $α$, $β$, $γ$ numeri interi , allora da $α$, $β$, $γ$ si possono calcolare gli indici di miller $(hkl)$ del piano, per esempio in questo modo: si calcolano i reciproci di $α$, $β$, $γ$ e li si moltiplica per il più piccolo intero $N$, in modo che $N/α$, $N/β$, $N/γ$ siano interi; quindi si avrà $h=N/α$, $k=N/β$, $l=N/γ$ . giungo ora al mio problema: se $Π'$ è un piano adiacente a $Π$, non riesco a mostrare in maniera formale, come mai $(α+1/h)·a_1$ , $(β+1/k)·a_2$ , $(γ+1/l)·a_3$ sono le intercette del piano $Π'$ con gli assi. resco a visualizzarlo solo studiando casi particolari, ed osservando che i piani con indici $(hkl)$ tagliano $a_1$ in $h$ punti, e così via, però non riesco a dare una dimostrazione generale. c'è qualcuno che sia disposto a darmi una mano?

[chiaraotta1]

Per favore puoi indicarmi dove hai trovato che le intercette di $Pi'$ con gli assi siano
$(α+1/h)·a_1$, $(β+1/k)·a_2$, $(γ+1/l)·a_3$?

[zerolucat]

non so se si trova su qualche libro, comunque sul kittel "quantum theory of solids", primo capitolo, pagina 2, c'è un'affermazione equivalente, che, tradotta nella notazione che ho adottato, recita:
" se $n$ è il versore normale ai piani , allora la distanza interplanare tra $Π$ e $Π'$ è data da $a_1⋅ n / h $ ."
in realtà quello che veramente mi interessa è capire quest'affermazione.

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dimenticavo il punto $⋅$ in questo caso sta per prodotto scalare tra $a_1$ ed $ n $ .