Dubbio su esercizio dinamica del CR.

[Antonio_80]

Il sistema rappresentato in figura è posto in un piano verticale e si compone di un’asta omogenea di massa $m$ e lunghezza $l$ , e di due punti materiali $A$ e $B$ di massa $m$ posti agli estremi dell’asta.
Il punto di mezzo $C$ dell’asta si muove lungo la direzione verticale ed è collegato ad un punto fisso $O$ mediante una molla di costante elastica $k$.
(1.) Determinare il legame cinematico fra le coordinate $s$, $y_B$ e $theta$ indicate in figura e scrivere le velocità dei punti $A$ e $B$.
(2.) Calcolare il momento d’inerzia $I_Cz$ di tutto il sistema.
(3.) Determinare il moto del sistema sapendo che all’istante iniziale la molla ha elongazione nulla, l’asta è orizzontale, la velocità di $C$ è nulla e la velocità angolare dell’asta è $omega = −omega_O k$.



Risoluzione:

Io non sto proprio capendo il seguente punto:

Punto 3)
Su questo sto facendo fatica a capire il ragionamento che si deve fare
Insomma, comprendo come arriva a dire che $ddot(s) + (ks)/(2m) = g$, bene, ma non sto capendo quello che dice in questo punto:

La $ddot(s) + (ks)/(2m) = g$ può essere integrata e fornisce il moto del baricentro. Notiamo che il moto del baricentro è in questo caso disaccoppiato dal moto della variabile $theta$. Questa circostanza, di variabili disaccoppiate, non ha validità generale. Le condizioni iniziali indicate nel teso sono: $s(0) = 0$ e $dot(s)(0)=0$. La $ddot(s) + (ks)/(2m) = g$ è l’equazione di un oscillatore armonico con forzante costante. L’integrale generale è:
$s(t) = A cos sqrt((k)/(2m)) t + Bsin sqrt((k)/(2m))t + (2mg)/(k)$

Potete spiegarmi per favore quello che viene detto in questa ultima parte
E poi come arriva a quest'ultima formula che ho scritto
So che esiste un ragionamento che si fa che è dell'integrare le derivate per arrivare a quella formula, solo che in questo caso non sto riuscendo a ricostruire il ragionamento che si deve fare
Come devo operare per integrare e arrivare alla $s(t) = A cos sqrt((k)/(2m)) t + Bsin sqrt((k)/(2m))t + (2mg)/(k)$

Help!

[gordnbrn]

"Antonio_80":
Potete spiegarmi per favore quello che viene detto in questa ultima parte?

Il sistema ha due gradi di libertà. Tuttavia, le equazioni differenziali che ne governano il moto sono disaccoppiate. Sarebbe come avere due sistemi indipendenti con un solo grado di libertà ciascuno. Nella maggior parte dei casi, nello studio di un sistema con due gradi di libertà, le due equazioni differenziali contengono entrambe le variabili e non è possibile disaccoppiarle.

"Antonio_80":
E poi come arriva a quest'ultima formula che ho scritto?

Si tratta della soluzione dell'oscillatore armonico attaccato ad una molla verticale. Devi tener conto del peso ovviamente. Per la soluzione basta sommare all'integrale generale dell'omogenea un integrale particolare della non omogenea, 2mg/k per l'appunto.

"Antonio_80":
Come devo operare per integrare e arrivare alla $s(t) = A cos sqrt((k)/(2m)) t + Bsin sqrt((k)/(2m))t + (2mg)/(k)$?

Devi ripassare le equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, un argomento piuttosto semplice di matematica.