Dubbio su esercizio di meccanica
Salve a tutti,
ho un dubbio su un esercizio di meccanica che sto facendo. Riporto il testo compresi i dati numerici, così che possiate averne il quadro completo:
"Due corpi di massa $m_1=2*10^(-2) kg$ e $m_2=4*10^(-2) kg$ sono collegati come in questa figura:
Il filo è considerato inestensibile e, come anche la carrucola, privo di massa; il piano è inclinato di $\theta=37°$ ed è liscio, la molla ha costante elastica $k=3,84 N/m$ e lunghezza a riposo $x_0=0,10 m$. All'istante t=0 il corpo $m_1$ dista $d=0,08m$ da 0 ed è in quiete; il corpo $m_2$ è a distanza $h=0,20m$ dal suolo. Determinare le leggi del moto dei due corpi e il valore massimo e minimo della tensione del filo. "
Il mio problema sta nel valore che mi viene fuori della tensione massima e minima, e non capisco dov'è l'errore. Ecco come ho proceduto: dopo aver scritto separatamente le equazioni delle forze che agiscono sul primo e sul secondo corpo, le ho "unite" e visto che il filo è inestensibile e l'accelerazione dei due corpi è la stessa, l'ho ricavata; in questo modo ho ottenuto l'equazione differenziale $ddot x(t)+\omega^2x(t)=c$ (dove con c intendo $(m_2g+kx_0-m_1gsen\theta)/(m_1+m_2)$, non riscrivo tutti i passaggi perchè sono banali) che descrive il moto dei due corpi, che è un moto armonico.
La soluzione più generale di questa equazione è $x(t) = Asen(\omegat+\phi)+c/\omega^2$ A questo punto, tenendo conto delle condizioni iniziali, ho trovato che l'ampiezza A è $A= +- (d-c/\omega^2)$ (il segno dipende al segno di $\phi=+-pi/2$). Adesso sono in grado di trovare l'accelerazione $a=ddot x=-\omega^2Acos(\omegat)$, e per trovare la tensione l'ho sostituita in questa forma a $T=m_2(g-a)$ (ho scelto il corpo $m_2$ solo perchè era meno complicato) ; in particolare, ho pensato che i valori massimo e poi minimo della tensione si potessero ottenere sostituendo prima il valore massimo del coseno e poi il valore minimo(che tra l'altro sarebbe equivalente a sostituire prima l'ampiezza minima e poi l'ampiezza massima). I valori che ottengo però non sono uguali alle soluzioni del libro (ho rifatto i conti più di una volta!); mi chiedevo quindi se mi potete aiutare a capire dove sbaglio nel procedimento, che mi sembrava invece corretto.
Grazie in anticipo come sempre
Valentina
P.S. scusate se mi sono dilungata, ma ho preferito essere più chiara possibile in modo da farvi capire bene il problema tutto in una volta!
ho un dubbio su un esercizio di meccanica che sto facendo. Riporto il testo compresi i dati numerici, così che possiate averne il quadro completo:
"Due corpi di massa $m_1=2*10^(-2) kg$ e $m_2=4*10^(-2) kg$ sono collegati come in questa figura:
Il filo è considerato inestensibile e, come anche la carrucola, privo di massa; il piano è inclinato di $\theta=37°$ ed è liscio, la molla ha costante elastica $k=3,84 N/m$ e lunghezza a riposo $x_0=0,10 m$. All'istante t=0 il corpo $m_1$ dista $d=0,08m$ da 0 ed è in quiete; il corpo $m_2$ è a distanza $h=0,20m$ dal suolo. Determinare le leggi del moto dei due corpi e il valore massimo e minimo della tensione del filo. "
Il mio problema sta nel valore che mi viene fuori della tensione massima e minima, e non capisco dov'è l'errore. Ecco come ho proceduto: dopo aver scritto separatamente le equazioni delle forze che agiscono sul primo e sul secondo corpo, le ho "unite" e visto che il filo è inestensibile e l'accelerazione dei due corpi è la stessa, l'ho ricavata; in questo modo ho ottenuto l'equazione differenziale $ddot x(t)+\omega^2x(t)=c$ (dove con c intendo $(m_2g+kx_0-m_1gsen\theta)/(m_1+m_2)$, non riscrivo tutti i passaggi perchè sono banali) che descrive il moto dei due corpi, che è un moto armonico.
La soluzione più generale di questa equazione è $x(t) = Asen(\omegat+\phi)+c/\omega^2$ A questo punto, tenendo conto delle condizioni iniziali, ho trovato che l'ampiezza A è $A= +- (d-c/\omega^2)$ (il segno dipende al segno di $\phi=+-pi/2$). Adesso sono in grado di trovare l'accelerazione $a=ddot x=-\omega^2Acos(\omegat)$, e per trovare la tensione l'ho sostituita in questa forma a $T=m_2(g-a)$ (ho scelto il corpo $m_2$ solo perchè era meno complicato) ; in particolare, ho pensato che i valori massimo e poi minimo della tensione si potessero ottenere sostituendo prima il valore massimo del coseno e poi il valore minimo(che tra l'altro sarebbe equivalente a sostituire prima l'ampiezza minima e poi l'ampiezza massima). I valori che ottengo però non sono uguali alle soluzioni del libro (ho rifatto i conti più di una volta!); mi chiedevo quindi se mi potete aiutare a capire dove sbaglio nel procedimento, che mi sembrava invece corretto.
Grazie in anticipo come sempre
Valentina
P.S. scusate se mi sono dilungata, ma ho preferito essere più chiara possibile in modo da farvi capire bene il problema tutto in una volta!
Risposte
Ho rifatto i conti:
$\{(m_1ddotx_1=-m_1gsentheta-k(x_1-x_0)+T),(m_2ddotx_2=m_2g-T),(ddotx_1=ddotx_2):} rarr$
$rarr [ddotx_1+omega^2x_1=A] ^^ [omega^2=k/(m_1+m_2)] ^^ [A=(-m_1gsentheta+m_2g+kx_0)/(m_1+m_2)]$
$\{(x_1(0)=d),(dotx_1(0)=0):} rarr [x_1=(d-A/omega^2)cosomegat+A/omega^2] rarr [T=m_2(g+omega^2d-Acosomegat)]$
Qundi:
$[T_(min)=m_2(g+omega^2d-A)] ^^ [T_(max)=m_2(g+omega^2d+A)]$
L'altezza dal suolo di $[m_2]$ è stata assegnata solo per determinare la sua equazione del moto rispetto ad un asse verticale.
$\{(m_1ddotx_1=-m_1gsentheta-k(x_1-x_0)+T),(m_2ddotx_2=m_2g-T),(ddotx_1=ddotx_2):} rarr$
$rarr [ddotx_1+omega^2x_1=A] ^^ [omega^2=k/(m_1+m_2)] ^^ [A=(-m_1gsentheta+m_2g+kx_0)/(m_1+m_2)]$
$\{(x_1(0)=d),(dotx_1(0)=0):} rarr [x_1=(d-A/omega^2)cosomegat+A/omega^2] rarr [T=m_2(g+omega^2d-Acosomegat)]$
Qundi:
$[T_(min)=m_2(g+omega^2d-A)] ^^ [T_(max)=m_2(g+omega^2d+A)]$
L'altezza dal suolo di $[m_2]$ è stata assegnata solo per determinare la sua equazione del moto rispetto ad un asse verticale.
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