Dubbio su dimostrazione (relatività ristretta)
Salve, vorrei chiedervi di chiarirmi un dubbio, sorto dalla lettura del mio libro, che riporto.
Nel seguito non indicherò i vettori con la freccia sopra perché il mio problema è proprio il fatto che non capisco se siano vettori o quadrivettori.
Nella legge relativistica delle forze si ha:
$F = (dp)/(dt) = d/(dt) (m_0 gamma u) = m_0gamma*a + m_0 (dgamma)/(dt)*u$
se si svolgono i conti si nota che $(dgamma)/(dt) = gamma^3 * (u*a)/c^2$
quindi alla fine dei giochi rimane:
$F = m*a + gamma^2 (u*a)/c^2 *u$
e fin qui son d'accordo. Adesso però il dubbio. Il mio libro definisce l'energia come la funzione E tale che:
$dE/dt = F*u = m*gamma^2 u*a= m_0 c^2 (dgamma)/(dt)$
E qui non capisco cosa succeda. In pratica moltiplicando $F*u$ si ha che $ma*u = 0 $ e $mgamma^2/c^2* (u*a)u^2 = mgamma^2 u*a$
Allora io so che la relazione $a*u = 0 $ è valida per i quadrivettori, così come so che $u^2 = c $ vale per la quadrivelocità. Però fin qui sembra che usi soltanto i vettori, e non i quadrivettori. Però se $a*u = 0$ perché questa relazione non vale anche per $u*a$ ? cioè o $u*a = 0$ oppure no, ma dai calcoli una volta fa 0 e un'altra no... non capisco, qualcuno può aiutarmi? io mi sono spiegato il tutto così:
$a$ e $u$ sono quadrivettori, ma il prodotto scalare che c'è all'interno dell'espressione della forza è fatto tra vettori normali. Però non capisco perché il libro non li indichi con il consueto simbolo dei quadrivettori, cioè $a^mu$ e $u_(mu)$...
Nel seguito non indicherò i vettori con la freccia sopra perché il mio problema è proprio il fatto che non capisco se siano vettori o quadrivettori.
Nella legge relativistica delle forze si ha:
$F = (dp)/(dt) = d/(dt) (m_0 gamma u) = m_0gamma*a + m_0 (dgamma)/(dt)*u$
se si svolgono i conti si nota che $(dgamma)/(dt) = gamma^3 * (u*a)/c^2$
quindi alla fine dei giochi rimane:
$F = m*a + gamma^2 (u*a)/c^2 *u$
e fin qui son d'accordo. Adesso però il dubbio. Il mio libro definisce l'energia come la funzione E tale che:
$dE/dt = F*u = m*gamma^2 u*a= m_0 c^2 (dgamma)/(dt)$
E qui non capisco cosa succeda. In pratica moltiplicando $F*u$ si ha che $ma*u = 0 $ e $mgamma^2/c^2* (u*a)u^2 = mgamma^2 u*a$
Allora io so che la relazione $a*u = 0 $ è valida per i quadrivettori, così come so che $u^2 = c $ vale per la quadrivelocità. Però fin qui sembra che usi soltanto i vettori, e non i quadrivettori. Però se $a*u = 0$ perché questa relazione non vale anche per $u*a$ ? cioè o $u*a = 0$ oppure no, ma dai calcoli una volta fa 0 e un'altra no... non capisco, qualcuno può aiutarmi? io mi sono spiegato il tutto così:
$a$ e $u$ sono quadrivettori, ma il prodotto scalare che c'è all'interno dell'espressione della forza è fatto tra vettori normali. Però non capisco perché il libro non li indichi con il consueto simbolo dei quadrivettori, cioè $a^mu$ e $u_(mu)$...
Risposte
buffo, non l'ho mai vista l'energia definita cos,,,
ma con $u$ inidica il quadrivettore? non è che considera solo la parte spaziale di essi?... essendo che l'espressione $p=m_0\gamma u$ è la parte non temporale della quantità di moto...
è una domanda, poi non so
...
ps $a_{\mu}u^{\mu}=0=u_{\mu}a^{\mu}$!
ma con $u$ inidica il quadrivettore? non è che considera solo la parte spaziale di essi?... essendo che l'espressione $p=m_0\gamma u$ è la parte non temporale della quantità di moto...
è una domanda, poi non so
...ps $a_{\mu}u^{\mu}=0=u_{\mu}a^{\mu}$!
Il problema è che non capisco cosa indichi. Cioè l'unico modo che si ha per avere $F*u= mgamma^2u*a$ è considerare corretta questa espressione:
$F_mu = m* (a_mu + gamma^2* (\vecu*\veca)/ c^2* u_mu)$
infatti poi se si moltiplica per il quadrivettore u si ottiene proprio:
$F_mu U^mu = 0 + m gamma^2* (\vecu*\veca)$ in virtù del fatto appunto che $a_mu *u^mu= 0$ e $u_mu*u^mu = c^2$. Altrimenti non so spiegarmi come si passi dall'espressione di F a quella di $F*u$... insomma un bel casino....
Sul libro scrive F, u, a in grassetto, quindi sarei portato a dire che indica i vettori... inoltre definisce la quantità di moto come $\vecp = m_0 gamma * \vecu$ dove u è la componente spaziale della velocità. Insomma mi pare confonda quadrivettori e vettori!!! A mio avviso ha sbagliato alla grande...
$F_mu = m* (a_mu + gamma^2* (\vecu*\veca)/ c^2* u_mu)$
infatti poi se si moltiplica per il quadrivettore u si ottiene proprio:
$F_mu U^mu = 0 + m gamma^2* (\vecu*\veca)$ in virtù del fatto appunto che $a_mu *u^mu= 0$ e $u_mu*u^mu = c^2$. Altrimenti non so spiegarmi come si passi dall'espressione di F a quella di $F*u$... insomma un bel casino....
Sul libro scrive F, u, a in grassetto, quindi sarei portato a dire che indica i vettori... inoltre definisce la quantità di moto come $\vecp = m_0 gamma * \vecu$ dove u è la componente spaziale della velocità. Insomma mi pare confonda quadrivettori e vettori!!! A mio avviso ha sbagliato alla grande...
se non ti torna la storia e conosci le lagrangiane in relatività potresti trovare l'hamiltoniana e derivarla nel tempo e vedere se ti torna la formula del tuo libro... ...
...
No purtroppo la trattazione lagrangiana alla meccanica relativa non l'ho ancora affrontata, devo studiarla, ma nel libro è trattata dopo... vorrei sapere se ho scritto giusto o se va bene anche come è scritto sul libro.
allora aspetterai domani ... comunque anche a me non torna troppo, il tuo ragionamento di usare i quadrivettori è giusto se no i conti a prima vista non tornano...
anche se il risultato è giusto essendo che alla fine risulta $E=\gamma mc^2$.
... comunque anche a me non torna troppo, il tuo ragionamento di usare i quadrivettori è giusto se no i conti a prima vista non tornano...anche se il risultato è giusto essendo che alla fine risulta $E=\gamma mc^2$.
C'è abbastanza confusione di notazione ed ora purtroppo non ho molto tempo, comunque quando scrivi
hai necessariamente vettori (infatti in $\gamma$ c'è $v^2$, il modulo del vettore velocità), mentre per il resto del ragionamento dovrebbero essere quadrivettori.
"Zkeggia":
se si svolgono i conti si nota che $(dgamma)/(dt) = gamma^3 * (u*a)/c^2$
hai necessariamente vettori (infatti in $\gamma$ c'è $v^2$, il modulo del vettore velocità), mentre per il resto del ragionamento dovrebbero essere quadrivettori.
comunque sempre provando un'altra via mi è venuto in mente che tu conosci il legame tra $F\cdot u$ e $F_0$, ovvero $F\cdot u= cF_0$ e per definizione $F_0=d/(dt)p_0=d/(dt)m\gamma c$, inoltre $F\cdot u$ è la potenza, quindi l'energia è la sua derivata e i conti tornano.
Lo so che non è il calcolo che fa il tuo libro, però se i conti non tornano tanto vale provare un'altra via ...
Lo so che non è il calcolo che fa il tuo libro, però se i conti non tornano tanto vale provare un'altra via
...
no ce l'ho fatta a dimostrarlo:
$ \vec F*\vecu = m(\veca*\vecu + gamma^2 * (\vecu*\veca)/c^2 *\vecu*\vecu) =m(\veca*\vecu + gamma^2 * u^2/c^2 *\veca*\vecu) = m (\veca*\vecu + gamma^2*( 1-1/ gamma^2 ) *\veca*\vecu) = mgamma^2 *\veca*\vecu$
Certo era dura immaginarlo...
Ora sono alle prese con un'altra dimostrazione che non torna per niente, ovvero che il prodotto di due quadrimpulsi $P_1mu * P_2^v = m_1*m_2 gamma (v_r)$ ove $v_r$ è la velocità relativa tra i due corpi... non riesco a dimostrarlo. Pensavo di considerare un qualche riferimento di quiete e sfruttare il fatto che il prodotto tra quadrivettori è invariante di lorentz, ma non escono i conti... qualche suggerimento?
$ \vec F*\vecu = m(\veca*\vecu + gamma^2 * (\vecu*\veca)/c^2 *\vecu*\vecu) =m(\veca*\vecu + gamma^2 * u^2/c^2 *\veca*\vecu) = m (\veca*\vecu + gamma^2*( 1-1/ gamma^2 ) *\veca*\vecu) = mgamma^2 *\veca*\vecu$
Certo era dura immaginarlo...
Ora sono alle prese con un'altra dimostrazione che non torna per niente, ovvero che il prodotto di due quadrimpulsi $P_1mu * P_2^v = m_1*m_2 gamma (v_r)$ ove $v_r$ è la velocità relativa tra i due corpi... non riesco a dimostrarlo. Pensavo di considerare un qualche riferimento di quiete e sfruttare il fatto che il prodotto tra quadrivettori è invariante di lorentz, ma non escono i conti... qualche suggerimento?
non manca anche la velocità nel prodotto di due quadrimpulsi?...
dimensionalmente quello che hai scritto non ha le dimensioni di un impulso al quadrato... è solo $kg^2$, manca una velocità al quadrato... o sbaglio?... (essendo $p_{\mu}=m\gamma u_{\mu}$...)
dimensionalmente quello che hai scritto non ha le dimensioni di un impulso al quadrato... è solo $kg^2$, manca una velocità al quadrato... o sbaglio?... (essendo $p_{\mu}=m\gamma u_{\mu}$...)
no sul libro è scritta così, ponendo $c=1$ adimensionale.
a ok, ponendo $c=1$ non son abbituato a usare questo,
quindi avrai il prodotto uguale a $m_1m_2\gamma(v_r)c^2$, beh allora se un riferimento è solidale vede la particella ferma e l'altra si muoverà di conseguenza con velocità $v_r$ come ti dice il problema (essendo che quella è la velocità con cui si muovono i due corpi l'uno rispetto all'altro), giusto? Dunque sai perfettamente se parametrizzi con il tempo proprio (cosa lecita) come sono le sue componenti.
a questo punto penso ti basti ricordare che nel riferimento in quiete vedi solo la prima componente non nulla... o no?...
L'idea che hai avuto è giusta.
Ps dirò una scemenza, ma se vuoi ottenere uno scalare la scrittura di moltiplicazione non dovrebbe essere $P_{1,\mu}P_2^{\mu}$, i.e. con indici ripetuti? da cui si vede bene che questo è uno scalare invariante...
non son abbituato a usare questo, quindi avrai il prodotto uguale a $m_1m_2\gamma(v_r)c^2$, beh allora se un riferimento è solidale vede la particella ferma e l'altra si muoverà di conseguenza con velocità $v_r$ come ti dice il problema (essendo che quella è la velocità con cui si muovono i due corpi l'uno rispetto all'altro), giusto? Dunque sai perfettamente se parametrizzi con il tempo proprio (cosa lecita) come sono le sue componenti.
a questo punto penso ti basti ricordare che nel riferimento in quiete vedi solo la prima componente non nulla... o no?...
L'idea che hai avuto è giusta.
Ps dirò una scemenza, ma se vuoi ottenere uno scalare la scrittura di moltiplicazione non dovrebbe essere $P_{1,\mu}P_2^{\mu}$, i.e. con indici ripetuti?
da cui si vede bene che questo è uno scalare invariante...
non capisco il "Quindi avrai il prodotto uguale a..." cioè non mi riesce dimostrarlo che quello è il prodotto tra due quadrimpulsi...
se il rpodotto tra due quadrimpulsi è uno scalare allora il prodotto è il prodotto scalare secondo la tua norma... e a questo punto devi solo scrivere i due vettori e farne il prodotto, come ho scritto essendo il primo avente le tre componenti spaziali nulle, il prodotto si riduce a moltiplicare tra loro le prime due componenti dei rispetivi quadrimpulsi, che sai scriverle...
concordi?...
concordi?...
Allora nel sistema di riferimento in cui il primo corpo è in quiete si ha che le componenti del primo quadrimpulso sono:
$(m_(01)c,0)$ mentre le componenti del secondo quadrimpulso sono $(gamma(v)m_(02), gamma(v)p$
Se faccio il prodotto mi rimane $gamma(v)*m_1m_2$.
Ma queste sono le masse a riposo, la formula mi pare che sprima le masse non a riposo... almeno credo, non capisco come ottenere le mase $m_1$, $m_2$...
$(m_(01)c,0)$ mentre le componenti del secondo quadrimpulso sono $(gamma(v)m_(02), gamma(v)p$
Se faccio il prodotto mi rimane $gamma(v)*m_1m_2$.
Ma queste sono le masse a riposo, la formula mi pare che sprima le masse non a riposo... almeno credo, non capisco come ottenere le mase $m_1$, $m_2$...
Forse sarebbe più corretto cambiare il titolo del topic in "Dubbi su dimostrazioni", perché proprio ora me ne è venuto un altro!!!
Supponiamo di avere 4 quadrimpulsi legati dalla relazione $P = p_1 + p_2+p_3$
e definiamo un quadrivettore $L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^bp_3^c$
il mio libro a questo punto dice
"Poiché vale $P=p_1 + p_2 + p_3$ si può in generale riscrivere
$L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^bP^c$
Non mi torna, caso mai si dovrebbe scrivere
$L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^b(P-p_1-p_2)^c$
Non so se è un problema di relatività ristretta o uno di algebra di tensori... in ogni caso qui brancollo proprio nel buio e non ho la più pallida idea di come sia possibile quella relazione... Vi ringrazio comunque della disponibilità che mi state dando!
Supponiamo di avere 4 quadrimpulsi legati dalla relazione $P = p_1 + p_2+p_3$
e definiamo un quadrivettore $L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^bp_3^c$
il mio libro a questo punto dice
"Poiché vale $P=p_1 + p_2 + p_3$ si può in generale riscrivere
$L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^bP^c$
Non mi torna, caso mai si dovrebbe scrivere
$L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^b(P-p_1-p_2)^c$
Non so se è un problema di relatività ristretta o uno di algebra di tensori... in ogni caso qui brancollo proprio nel buio e non ho la più pallida idea di come sia possibile quella relazione... Vi ringrazio comunque della disponibilità che mi state dando!
"Zkeggia":
Ma queste sono le masse a riposo, la formula mi pare che sprima le masse non a riposo... almeno credo, non capisco come ottenere le mase $m_1$, $m_2$...
ora scatenerò un putiferio...
però le masse non esistono a riposo o non a riposo. Il corso di relatività di quest'anno fatto bene mi ha illuminato
le masse sono coefficienti $m>=0$ associati alle particelle (se leggi per esempio il Landau questa differenza non viene mai detta...).
Che la massa non a riposo non ha senso te ne accorgi dal fatto che se tu guardi $p^{\mu}=m\gamma u^{\mu}$ se il coefficiente $\gamma$ lo appiccichi alla massa creando la massa non a riposo allora potresti definire $p^{\mu}=m u^{\mu}$ ma a questo punto questo non trasforma come un quadrivettore.
quindi - anche per i calcoli è più comodo - la massa non varia mai, i coefficienti sono "attaccati" alle velocità che sono parametrizzate attraverso il tempo proprio, altrimenti gli impulsi non sarebbero quadrivettori.
Per questo il risultato ottenuto così per me è perfettamente giuto
"Zkeggia":
Forse sarebbe più corretto cambiare il titolo del topic in "Dubbi su dimostrazioni", perché proprio ora me ne è venuto un altro!!!
Supponiamo di avere 4 quadrimpulsi legati dalla relazione $P = p_1 + p_2+p_3$
e definiamo un quadrivettore $L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^bp_3^c$
il mio libro a questo punto dice
"Poiché vale $P=p_1 + p_2 + p_3$ si può in generale riscrivere
$L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^bP^c$
Non mi torna, caso mai si dovrebbe scrivere
$L_mu = epsilon_(muabcd)p_1^ap_2^b(P-p_1-p_2)^c$
Non so se è un problema di relatività ristretta o uno di algebra di tensori... in ogni caso qui brancollo proprio nel buio e non ho la più pallida idea di come sia possibile quella relazione... Vi ringrazio comunque della disponibilità che mi state dando!
Sulle masse è corretto quello che dice fu^2.
Per quanto riguarda questo conto invece quello che dici tu si riduce facilmente a quello che riporta il libro, in virtù dell'antisimmetria di $\epsilon$ (nota che hai messo un indice di troppo).
Mostrarlo è molto semplice. Per prima cosa scriviamo $\epsilon_{abcd} p_1^a p_2^b p_1^c = \epsilon_{cbad} p_1^c p_2^b p_1^a$, ovvero $a \to c$ e $c \to a$ (cosa che puoi sempre fare poichè sono indici su cui stai sommando). A questo punto utilizza $\epsilon_{cbad} = -\epsilon_{abcd}$ (il tensore è totalmente antisimmetrico), da cui rinominando hai $\epsilon_{abcd} p_1^a p_2^b p_1^c = - \epsilon_{abcd} p_1^a p_2^b p_1^c = 0$. Quindi $\epsilon_{abcd} p_1^a p_2^b (P - p_1 - p_2)^c = \epsilon_{abcd} p_1^a p_2^b P^c$.
Non capisco una cosa. Dalla dimostrazione mi pare che si deduca che quel tensore faccia sempre 0, allora che senso ha scriverlo in quell'altro modo, voglio dire, hai dimostrato che
$\epsilon_(abcd)p_1^ap_2^bp_3^c= 0$
o Sbaglio?
P.S Grazie Fox per il discorso sulle masse a riposo. Molto interessante! NOn è che il professore che tiene il tuo corso di relatività ha messo a disposizione in rete qualche dispensa o simili? mi interesserebbe molto approfondire la materia, io non seguo il corso e sto studiando sul libro che ho ma è molto povero di dimostrazioni "complete" (nel senso che salta molti passaggi algebrici, a volte fondamentali) e difficile da seguire...
$\epsilon_(abcd)p_1^ap_2^bp_3^c= 0$
o Sbaglio?
P.S Grazie Fox per il discorso sulle masse a riposo. Molto interessante! NOn è che il professore che tiene il tuo corso di relatività ha messo a disposizione in rete qualche dispensa o simili? mi interesserebbe molto approfondire la materia, io non seguo il corso e sto studiando sul libro che ho ma è molto povero di dimostrazioni "complete" (nel senso che salta molti passaggi algebrici, a volte fondamentali) e difficile da seguire...
"Zkeggia":
Non capisco una cosa. Dalla dimostrazione mi pare che si deduca che quel tensore faccia sempre 0, allora che senso ha scriverlo in quell'altro modo, voglio dire, hai dimostrato che
$\epsilon_(abcd)p_1^ap_2^bp_3^c= 0$
o Sbaglio?
Sbagli, funziona solo se lo contrai con due vettori uguali.
Semplifichiamo la faccenda considerando il caso in cui hai due soli indici.
Allora $\epsilon_{ab}x^a x^b = 0$ ma $\epsilon_{ab}x^a y^b != 0$. Infatti usando la stessa strategia del precedente post hai $\epsilon_{ab}x^a x^b = - \epsilon_{ab}x^a x^b = 0$, mentre nel secondo caso hai $\epsilon_{ab}x^a y^b = - \epsilon_{ab}y^a x^b != 0$.
Aaaah non mi ero accorto che usavi due indici uguali. Ok ora mi torna! grazie mille a tutti. Se ho qualche altro dubbio continuo a scriverli qui o è meglio se apro un altro topic?
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