Dubbio su derivata.

[Antonio_80]

Nel seguente esempio:

si nota che la restrizione del moto del punto $P$ è data dalla seguente equazione:

$ xdot(y) = 0$

dove $x$ ed $y$ rappresentano le coordinate cartesiane.

Non riesco a capire quando dice che esplicita la derivata! Come fa questa esplicitazione?
Il testo scrive che deve essere:

$(df)/(dt) = (deltaf)/(deltax)dot(x) + (deltaf)/(deltay)dot(y) = xdot(y)$

Io mi chiedo cosa combina qui?
$(df)/(dt) = (deltaf)/(deltax)dot(x) + (deltaf)/(deltay)dot(y)$
Non mi sto trovando con i calcoli che faccio io, in quanto se devo fare la derivata di un prodotto, io farei in questo modo:

$(df)/(dx)(xy) = 1*y + x*0= y$
$(df)/(dy)(xy) = x*1 + 0*y= x$

Ma cosa fa invece il testo quando dice di esplicitare?

E poi ovviamente non capisco quando scrive il seguente sistema:

$ { ( (deltaf)/(deltax) = 0 ),( (deltaf)/(deltay) = x ):} $

Ma cosa sta dicendo il testo?

[Spremiagrumi1]

Per far si che questa equazione sia vera

$ (df)/(dt) = (deltaf)/(deltax)dot(x) + (deltaf)/(deltay)dot(y) = xdot(y) $

devi avere che

$(deltaf)/(deltax)=0$ poiché il coefficiente di $dot(x)$ è proprio $0$.

inoltre devi avere che
$ (deltaf)/(deltay)=x$ perché il coefficiente di $dot(y)$ è $x$.

Non c'è altro modo per far si che quella uguaglianza sia valida. Tuttavia se prendi la tua funzione $f$ e fai prima la derivata in $x$ e poi quella in $y$ ottieni $0$, se fai il contrario ottieni $1$.

Queste formule sono sbagliate
$ (df)/(dx)(xy) = 1*y + x*0= y $
$ (df)/(dy)(xy) = x*1 + 0*y= x $

Sono vere solo se la funzione è $f=xy$ e qui nessuno ti dice che la funzione $f(x,t)$ sia proprio $xy$ anzi, non lo è sicuramente perché non vale il teorema di Schwarz o come si chiama

[professorkappa]

"Antonio_80":

Io mi chiedo cosa combina qui?
$(df)/(dt) = (deltaf)/(deltax)dot(x) + (deltaf)/(deltay)dot(y)$

Una funzione di due variabili $f(x,y)$, in cui x e y dipendono dal tempo, quando derivata rispetto al tempo, puo essere scritta, come

$(df)/(dt) = (deltaf)/(deltax)*{dx}/{dt} + (deltaf)/(deltay){dy}/{dt}$ (1)

Lui dice: se il vincolo fosse olonomo dovrebbe risultare che $(df)/(dt)=x\doty$ (2)

L'unico modo per cui (1) = (2) e' che risulti

$(deltaf)/(deltax)=0$ (3a)
$(deltaf)/(deltay)=x$ (3b)

per il teorema di Scwharz, se il differenziale e' esatto, si possono scrivere le derivate seconde miste di 3(a) e 3(b) (sono quelle alla diseguaglianza successiva).
E le derivate seconde miste devono essere uguali. Siccome non lo sono, l'assunto decade,

[Antonio_80]

"professorkappa":

L'unico modo per cui (1) = (2) e' che risulti

$(deltaf)/(deltax)=0$ (3a)
$(deltaf)/(deltay)=x$ (3b)

Cioè?
Puoi per favore spiegarmi questo fatto?

"professorkappa":

Una funzione di due variabili $f(x,y)$, in cui x e y dipendono dal tempo, quando derivata rispetto al tempo, puo essere scritta, come

$(df)/(dt) = (deltaf)/(deltax)*{dx}/{dt} + (deltaf)/(deltay){dy}/{dt}$ (1)

A livello di sintassi ho compreso, il mio problema è che non sto capendo cosa c'è dietro a questa formula?
Non sto capendo il senso in questo caso di esempio! Non è un problema il calcolo se avessi numeri, ma il problema è che in questo caso non sto capendo il senso!
Puoi per favore aiutarmi a capire?

[professorkappa]

La prima domanda te l'ha spiegata spremiagrumi, lascio a lui la risposta.

La seconda domanda, non sono sicuro di capirla. Puoi elaborarla?

[Antonio_80]

Ok professorkappa , adesso chiedo a Spremiagrumi il mio dubbio:

"Spremiagrumi": Tuttavia se prendi la tua funzione $f$ e fai prima la derivata in $x$ e poi quella in $y$ ottieni $0$, se fai il contrario ottieni $1$.

Siccome non sto capendo, puoi per favore farmi vedere come fai in termini di calcolo della derivata partendo dalla seguente?

$xdot(y) = 0$

[Spremiagrumi1]

Come ti ha detto PK possiamo sempre scrivere una funzione $f(x(t),y(t))$ in questo modo
$ (df)/(dt) = (deltaf)/(deltax){dx}/{dt} + (deltaf)/(deltay){dy}/{dt} $

Ma, se il vincolo è olonomo, deve risultare anche

$ (df)/(dt)=x\doty $

Quindi abbiamo

$(deltaf)/(deltax){dx}/{dt} + (deltaf)/(deltay){dy}/{dt} = x\doty $

ovvero

$(deltaf)/(deltax)\dot x + (deltaf)/(deltay)\dot y= x\doty $

Ma nel secondo membro non compare nessuna $\dot x$, quindi il coefficiente di $\dot x$ al primo membro non può essere che nullo, quindi
$(deltaf)/(deltax)=0$

Ancora nel secondo membro compare $\dot y$ e il suo coefficiente è $x$ quindi
$(deltaf)/(deltay)=x$.

Adesso se facciamo la derivata mista.
$(delta)/(deltax)((deltaf)/(deltay))=1$
mentre se facciamo prima la derivata in $x$
$(delta)/(deltay)((deltaf)/(deltax))=0$

Spero sia tutto chiaro, non credo di riuscire a spiegarlo meglio.

[Antonio_80]

"Spremiagrumi":

Spero sia tutto chiaro, non credo di riuscire a spiegarlo meglio.

Sei stato molto chiaro e ti faccio i miei complimenti per questo!
Ti ringrazio, adesso ho compreso ciò che volevi dire!