Dubbio su campo elettrico generato da disco
Salve a tutti!
L'espressione per trovare il modulo del campo elettrico generato da un disco sottile uniformemente carico di raggio $R$ su un punto del suo asse è dato da
$E=\sigma/(2\epsilon)(1-z/(\sqrt(z^2+R^2)))$, con $z$ la posizione del punto rispetto al centro del disco.
Se il punto si trova sul disco, $z$ è nullo e dall'equazione risulta $E=\sigma/(2\epsilon)$, che è diverso da zero.
Tuttavia, considerando tale campo come la somma vettoriale dei campi generati dagli anelli di spessore infinitesimo e raggio $r|0<=r<=R$, esso dovrebbe essere nullo (per ogni anello considerato, il campo netto sul punto esercitato da ciascuna coppia di cariche infinitesime diametralmente opposte è nullo). Qual è l'errore che commetto?
L'espressione per trovare il modulo del campo elettrico generato da un disco sottile uniformemente carico di raggio $R$ su un punto del suo asse è dato da
$E=\sigma/(2\epsilon)(1-z/(\sqrt(z^2+R^2)))$, con $z$ la posizione del punto rispetto al centro del disco.
Se il punto si trova sul disco, $z$ è nullo e dall'equazione risulta $E=\sigma/(2\epsilon)$, che è diverso da zero.
Tuttavia, considerando tale campo come la somma vettoriale dei campi generati dagli anelli di spessore infinitesimo e raggio $r|0<=r<=R$, esso dovrebbe essere nullo (per ogni anello considerato, il campo netto sul punto esercitato da ciascuna coppia di cariche infinitesime diametralmente opposte è nullo). Qual è l'errore che commetto?
Risposte
Quella relazione è valida solo per $z>0$, non per $z=0$.
Ah...un colpo al cuore, due "infinitesimi" nello stesso messaggio, bastava dire che per simmetria il campo è nullo.
Comunque è nullo in z=0 e diverso da zero immediatamente fuori perché il disco, possedendo una carica distribuita superficialmente, induce una discontinuità nel campo, come dice un noto teorema.
Comunque è nullo in z=0 e diverso da zero immediatamente fuori perché il disco, possedendo una carica distribuita superficialmente, induce una discontinuità nel campo, come dice un noto teorema.
"Vulplasir":
Comunque è nullo in z=0 e diverso da zero immediatamente fuori perché il disco, possedendo una carica distribuita superficialmente, induce una discontinuità nel campo, come dice un noto teorema.
Non ne sapevo nulla, giacché seguendo il libro il capitolo sul campo elettrico viene immediatamente dopo la legge di Coulomb, che è il primo argomento affrontato di elettricità.
Dunque, se il problema richiede di trovare l'intensità del campo nel centro del disco, o la soluzione riportata dal libro (campo non nullo) è sbagliata oppure dovrei impostare $z\rightarrow0$ e potere quindi usare l'espressione per il campo, giusto?
"Vulplasir":
Ah...un colpo al cuore, due "infinitesimi" nello stesso messaggio
Non è corretto usarne più di uno?
Pardon, mi baso su conoscenze di quarto anno in un istituto tecnico più qualche nozione basilare sufficienti a capire la differenza tra il simbolo di integrale e quello di derivata..
Dunque, se il problema richiede di trovare l'intensità del campo nel centro del disco, o la soluzione riportata dal libro (campo non nullo) è sbagliata oppure dovrei impostare z→0 e potere quindi usare l'espressione per il campo, giusto?
In verità al centro dell'anello il campo elettrico non è neanche definito. Se calcoli il potenziale elettrico generato dal disco, esso risulta una funzione pari rispetto all'asse z e presenta una cuspide in z=0, pertanto il campo elettrico sarà una funzione dispari e in z=0, punto di non derivabilità, il campo elettrico non è definito. in z=0 il campo elettrico presenta un "salto" dovuto al motivo che ti ho detto prima, se fai la differenza tra il campo subito prima del disco e quello subito dopo, ottieni che nell'attraversare il disco il campo subisce una discontinuità di salto pari a $sigma/epsilon_0$. La risposta del libro è chiaramente errata. Facendo il limite per z=0 non ottieni il valore del campo per z=0, perché facendo il limite sopra e sotto il disco otterresti da un lato che in z=0 il campo vale $sigma/(2epsilon_0)$, dall'altro vale $-sigma/(2epsilon_0)$.
"Asclepiade":
... Non è corretto usarne più di uno?
Già uno sarebbe troppo per Vulplasir
ma vai tranquillo, usane quanti vuoi.... mi baso su conoscenze di quarto anno in un istituto tecnico ...
Giusto per curiosità, puoi dirmi dove studi e in quale indirizzo?
Praticamente in qualsiasi libro questo esempio è sbagliato per quanto riguarda questo fatto, o sbagliano scrivendo z>=0 oppure scrivono $z!=0$ non mettendo in luce il fatto che per z>0 e z<0 l'espressione del campo non può essere la stessa perché appunto il campo è dispari rispetto all'asse z.
Poi, non volendo "vincere facile" si potrebbe andare a chiedersi se il disco è conduttore o isolante e inoltre quanto sia sottile, ma questi sviluppi li lascio a Vulplasir. 
"Vulplasir":
[In verità al centro dell'anello il campo elettrico non è neanche definito. Se calcoli il potenziale elettrico generato dal disco, esso risulta una funzione pari rispetto all'asse z e presenta una cuspide in z=0, pertanto il campo elettrico sarà una funzione dispari e in z=0, punto di non derivabilità, il campo elettrico non è definito. in z=0 il campo elettrico presenta un "salto" dovuto al motivo che ti ho detto prima, se fai la differenza tra il campo subito prima del disco e quello subito dopo, ottieni che nell'attraversare il disco il campo subisce una discontinuità di salto pari a $ sigma/epsilon_0 $. La risposta del libro è chiaramente errata. Facendo il limite per z=0 non ottieni il valore del campo per z=0, perché facendo il limite sopra e sotto il disco otterresti da un lato che in z=0 il campo vale $ sigma/(2epsilon_0) $, dall'altro vale $ -sigma/(2epsilon_0) $.
Spiegazione ineccepibile, grazie! Effettuare lo studio di funzione mi risulta sempre chiarificatorio.
"RenzoDF":
[quote="Asclepiade"]... Non è corretto usarne più di uno?
Già uno sarebbe troppo per Vulpasis
ma vai tranquillo, usane quanti vuoi.Giusto per curiosità, puoi dirmi dove studi e in quale indirizzo?[/quote]
Un buon ITIS a Ravenna, indirizzo Energia, ex Meccanica, anche se cambia il nome tanto quanto la sostanza.
Non vorrei dire una cavolata, ma per capire che in z=0 non è definito si può osservare come per simmetria al centro si annullino i contributi al campo dovuto agli altri punti del disco diverso del centro, ma rimane ancora il contributo al campo dovuto alla carica elementare presente nel centro, tale contributo va come $1/d^2$, ma d=0 e quindi perde di significato.
"Asclepiade":
... Un buon ITIS a Ravenna...
Complimenti, credo che nessun altro Istituto Tecnico si sia mai spinto a un tale approfondimento in elettrostatica.
"Vulplasir":
Non vorrei dire una cavolata, ma per capire che in z=0 non è definito si può osservare come per simmetria al centro si annullino i contributi al campo dovuto agli altri punti del disco diverso del centro, ma rimane ancora il contributo al campo dovuto alla carica elementare presente nel centro, tale contributo va come $ 1/d^2 $, ma d=0 e quindi perde di significato.
Penso che tu abbia ragione, non ci avevo fatto caso. Come hai detto, per $d=0 , E=(kq)/(d^2)$ non è definito. Può essere interessante notare che nel caso il disco fosse forato, potremmo avere E=0 al centro
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