Dubbio su autofunzione
Ciao, volevo chiedere una informazione.
Mi è abbastanza chiaro il formalismo $ = psi(x)$ passando nella base delle posizioni.
1) Ma non comprendo però come rendere una psi dipendente dal tempo con il formalismo di dirac:
es: $psi(x,t)=$?
Dovrei rispondere: $$ o forse $$ o entrambe bra e ket dipendono da t?
Non ho ben capito coem funziona e trovo sempre esempi di utilizzo slegati dal tempo.
2) D'altra parte |x> è autostato dell'operatore posizione $X|x> =x|x>$, quindi forse $|x(t)>$ si ha quando l'operatore stesso dipende dal tempo: $X(t)$?
Insomma, vorrei chiarire questi due dubbi e vi ringrazio.
Mi è abbastanza chiaro il formalismo $
1) Ma non comprendo però come rendere una psi dipendente dal tempo con il formalismo di dirac:
es: $psi(x,t)=$?
Dovrei rispondere: $
Non ho ben capito coem funziona e trovo sempre esempi di utilizzo slegati dal tempo.
2) D'altra parte |x> è autostato dell'operatore posizione $X|x> =x|x>$, quindi forse $|x(t)>$ si ha quando l'operatore stesso dipende dal tempo: $X(t)$?
Insomma, vorrei chiarire questi due dubbi e vi ringrazio.
Risposte
Innanzitutto ti faccio notare che in meccanica quantistica non relativistica il tempo è semplicemente un parametro, ovvero non hai nessuna osservabile associata (come invece avviene con la posizione dove hai $\hat{x}$).
Quando scrivi la funzione d'onda nella notazione di dirac, $|\psi>$ in principio è $|\psi(t)>$, dove t lo vedi come un parametro.
Quindi poi $\psi(x,t)=<\psi(t)|x>$.
La dipendenza dal tempo è nella $|psi(t)>$ e non negli autostati di $\hat{x}$.
Quando scrivi la funzione d'onda nella notazione di dirac, $|\psi>$ in principio è $|\psi(t)>$, dove t lo vedi come un parametro.
Quindi poi $\psi(x,t)=<\psi(t)|x>$.
La dipendenza dal tempo è nella $|psi(t)>$ e non negli autostati di $\hat{x}$.
Grazie per la risposta!
Ragionandoci mi sono convinta di quanto mi hai spiegato.
Volevo inoltre chiederti un chiarimento sul punto 2) sopra. Perché in un certo senso se X(t) (dipende da t, come operatore/osservabile) non dovrei avere anche una dipendenza dal parametro t dell'autostato $|x(t)>$?
Ragionandoci mi sono convinta di quanto mi hai spiegato.
Volevo inoltre chiederti un chiarimento sul punto 2) sopra. Perché in un certo senso se X(t) (dipende da t, come operatore/osservabile) non dovrei avere anche una dipendenza dal parametro t dell'autostato $|x(t)>$?
Gli operatori, salvo in casi eccezionali, non dipendono dal tempo.
Nè l'operatore posizione, nè l'operatore momento dipendono dal tempo.
Quindi gli autostati di $\hat{x} $, ovvero gli $|x>$ non dipendono dal tempo.
Ciò che dipende dal tempo in MQ è la funzione d'onda $|\psi(t) $, che descrive l'evoluzione del sistema fisico e quindi deve evolvere nel tempo.
Tutto questo ha senso nella "Shroedringer picture", che è la formulazione della MQ che si usa all'inizio.
In alcuni casi è più comoda la "Heisenberg picture" dove, invece, la funzione d'onda non dipende dal tempo (non evolve), ma gli operatori invece tendenzialmente dipendono dal tempo (è il contrario diciamo).
Comunque tu lavori nella picture di Shroedringer, quindi mettiti in testa che gli operatori non dipendono dal tempo (salvo rari casi), che gli autostati di un operatore non dipendono dal tempo (che non significa che se il sistema fisico si trova in un autostato di un operatore allora il sistema non evolve nel tempo) e che è la funzione d'onda a dipendere dal tempo, in quanto strumento col quale descrivi l'evoluzione del sistema fisico.
Nè l'operatore posizione, nè l'operatore momento dipendono dal tempo.
Quindi gli autostati di $\hat{x} $, ovvero gli $|x>$ non dipendono dal tempo.
Ciò che dipende dal tempo in MQ è la funzione d'onda $|\psi(t) $, che descrive l'evoluzione del sistema fisico e quindi deve evolvere nel tempo.
Tutto questo ha senso nella "Shroedringer picture", che è la formulazione della MQ che si usa all'inizio.
In alcuni casi è più comoda la "Heisenberg picture" dove, invece, la funzione d'onda non dipende dal tempo (non evolve), ma gli operatori invece tendenzialmente dipendono dal tempo (è il contrario diciamo).
Comunque tu lavori nella picture di Shroedringer, quindi mettiti in testa che gli operatori non dipendono dal tempo (salvo rari casi), che gli autostati di un operatore non dipendono dal tempo (che non significa che se il sistema fisico si trova in un autostato di un operatore allora il sistema non evolve nel tempo) e che è la funzione d'onda a dipendere dal tempo, in quanto strumento col quale descrivi l'evoluzione del sistema fisico.
Perfetto direi che mi è chiaro!
In effetti il dubbio mi era proprio venuto quando il professore ha iniziato a trattare qualche base della Heisemberg picture e quindi vedendoli dipendere dal tempo valutandone il trasformato $Q_H(t)=U(t)^+Q_SU(t)$ mi ero messa a riguardare criticamente gli argomenti precedenti e mi erano sorti dubbi sulle dipendenze temporali nel formalismo di Dirac.
Molto gentile
ti ringrazio.
In effetti il dubbio mi era proprio venuto quando il professore ha iniziato a trattare qualche base della Heisemberg picture e quindi vedendoli dipendere dal tempo valutandone il trasformato $Q_H(t)=U(t)^+Q_SU(t)$ mi ero messa a riguardare criticamente gli argomenti precedenti e mi erano sorti dubbi sulle dipendenze temporali nel formalismo di Dirac.
Molto gentile
ti ringrazio.
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