Dubbio su ascissa curvilinea
Salve,
Su un libro ho trovato la seguente formula:
Sia $P_i$ il vettore che esprime le coordinate di un punto "iniziale" e $P_f$ il vettore del punto "finale". Sia $s(t)$ la legge oraria secondo la quale il punto si muove da $P_i$ a $P_f$, ovvero la cosiddetta "lunghezza d'arco". L'espressione di $P(s)$ allore è:
1) $P(s)=P_i+s\frac{P_f-P_i}{||P_f-P_i||}$
ma ora io mi chiedo....supponiamo che la 1) descriva il percoso di un punto $P$ e che io abbia un altro punto $H$ che si muove sempre da $P_i$ a $P_f$ e sia $\frac{\d H(t)}{\d t}$ la velocità con cui si muove. Se faccio:
$s_H(t)=\int_{t_i}^{t} ||\frac{\d H(t)}{\d t}||\d t$ ottengo il valore corrente di ascissa curvilinea, cioè quanto spazio ha percorso $H$.
Supponiamo che tale valore sia $s=5$. Se sostituisco tale valore nell'espressione 1) e volessi confrontare la posizione dei due punti come dovrei fare?
Spero di essere stato chiaro nell'esporre il quesito
Su un libro ho trovato la seguente formula:
Sia $P_i$ il vettore che esprime le coordinate di un punto "iniziale" e $P_f$ il vettore del punto "finale". Sia $s(t)$ la legge oraria secondo la quale il punto si muove da $P_i$ a $P_f$, ovvero la cosiddetta "lunghezza d'arco". L'espressione di $P(s)$ allore è:
1) $P(s)=P_i+s\frac{P_f-P_i}{||P_f-P_i||}$
ma ora io mi chiedo....supponiamo che la 1) descriva il percoso di un punto $P$ e che io abbia un altro punto $H$ che si muove sempre da $P_i$ a $P_f$ e sia $\frac{\d H(t)}{\d t}$ la velocità con cui si muove. Se faccio:
$s_H(t)=\int_{t_i}^{t} ||\frac{\d H(t)}{\d t}||\d t$ ottengo il valore corrente di ascissa curvilinea, cioè quanto spazio ha percorso $H$.
Supponiamo che tale valore sia $s=5$. Se sostituisco tale valore nell'espressione 1) e volessi confrontare la posizione dei due punti come dovrei fare?
Spero di essere stato chiaro nell'esporre il quesito
Risposte
non mi pare che l'espressione 1) ti dia il punto corretto: vale solo se la curva è rettilinea. per rendertene conto basta che prendi una semicirconferenza, dove i punti iniziale e finale sono gli estremi della stessa: il vettore P(s) - P_i non può avere sempre la stessa direzione, e questo dimostra che stai usando una relazione sbagliata.
se ti serve qualcosa sull'ascissa curvilinea dovresti cercare in un testo di analisi 2 (se hai il bramanti pagani salsa, lì è spiegato molto bene), si chiama anche parametro arco. altrimenti prova a dire qual è il problema di partenza e vediamo di fare qualcosa.
se ti serve qualcosa sull'ascissa curvilinea dovresti cercare in un testo di analisi 2 (se hai il bramanti pagani salsa, lì è spiegato molto bene), si chiama anche parametro arco. altrimenti prova a dire qual è il problema di partenza e vediamo di fare qualcosa.
Ok. Grazie per l'attenzione.
In effetti sospettavo che quella formula fosse troppo "lineare" per essere adattata ad un percorso non per forza rettilineo.
Dunque... il mio problema sostanzialmente è che ho un punto che si muove nel tempo $P(t)$ di cui è nota la legge oraria ma ho bisogno di esprimerlo non in funzione del tempo ma in funzione della quantità di percorso effettuato. Quindi di esprimere la sua posizione non più come $P(t)$ bensì come $P(s)$;
EDIT: mi sono scordato di precisare che la forma del percorso non è nota.
In effetti sospettavo che quella formula fosse troppo "lineare" per essere adattata ad un percorso non per forza rettilineo.
Dunque... il mio problema sostanzialmente è che ho un punto che si muove nel tempo $P(t)$ di cui è nota la legge oraria ma ho bisogno di esprimerlo non in funzione del tempo ma in funzione della quantità di percorso effettuato. Quindi di esprimere la sua posizione non più come $P(t)$ bensì come $P(s)$;
EDIT: mi sono scordato di precisare che la forma del percorso non è nota.
la forma del percorso è nota dalla legge oraria del moto: ammesso che il percorso sia sul piano (dovresti dirmelo perchè non lo so), hai che $gamma(t) = (x(t), y(t))$. esprimerlo con l'ascissa curvilinea non dovrebbe essere difficile, prova a darmi le equazioni così risolviamo.
Più che altro vorrei sapere...
è giusto trovare l'ascissa curvilinea all'istante t integrando il modulo del vettore velocità in generale ?
è giusto trovare l'ascissa curvilinea all'istante t integrando il modulo del vettore velocità in generale ?
bhè, sì, per definizione l'ascissa curvilinea è uno spazio percorso.
Ho letto su un libro che è una funzione crescente, quindi presumo sia invertibile. Allora mi chiedo... se trovassi l'ascissa curvilinea s(t) del moto di un punto e volessi sapere per dato valore di "s" qual'è la posizione del punto sarebbe lecito trovare il corrispondente istante t e andarlo a sostituire nella legge oraria del punto, no?
esattamente, l'istante t è univocamente determinato, proprio per il fatto che s(t) è crescente (a patto che la velocità non resti nulla per un certo intervallo di tempo), o detto in altri termini più precisi è un diffeomorfismo (più avanti studierai cosa significa). quindi se conosci lo spazio ti trovi facilmente t
"enr87":
(a patto che la velocità non resti nulla per un certo intervallo di tempo)
Dove posso trovare maggiori informazioni per questo caso ?
te l'ho detto per il semplice fatto che altrimenti non hai più una funzione biunivoca e quindi invertibile, il che implica che per due istanti di tempo differenti potresti trovare lo stesso spazio percorso.
addirittura (ma ora non me lo ricordo bene) mi sembra che la velocità non debba mai annullarsi (si parla di curva regolare).
mi sembra di capire dai tuoi post che dovresti avere un libro di testo di analisi 2: lì trovi tutte queste cose sotto i capitoli dedicati alle funzioni vettoriali, forse sotto il nome di integrali di prima specie
addirittura (ma ora non me lo ricordo bene) mi sembra che la velocità non debba mai annullarsi (si parla di curva regolare).
mi sembra di capire dai tuoi post che dovresti avere un libro di testo di analisi 2: lì trovi tutte queste cose sotto i capitoli dedicati alle funzioni vettoriali, forse sotto il nome di integrali di prima specie
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