Dubbio stupido - moto rettilineo
M'è sorto un dubbio stupido, che mi ha messo in crisi. Me ne vergogno, queste cose non dovrebbero essere oggetto di ruggine... 
1. Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme con velocità $v_0$ ignota. Ad un certo punto, su di esso inizia ad agire una certa forza che lo fa decelerare con accelerazione $a$ costante nota, fermandolo in uno spazio $d$ noto. Calcolare il tempo di frenata.
Il testo suggerisce di usare $t=sqrt(2d/a)$, ma a me torna piuttosto poco... Questa formula deriva da $d=1/2 a t^2$, ma nel mio caso non è applicabile perché $v_0 \ne 0$! Sbaglio io o il libro? E perché?
1. Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme con velocità $v_0$ ignota. Ad un certo punto, su di esso inizia ad agire una certa forza che lo fa decelerare con accelerazione $a$ costante nota, fermandolo in uno spazio $d$ noto. Calcolare il tempo di frenata.
Il testo suggerisce di usare $t=sqrt(2d/a)$, ma a me torna piuttosto poco... Questa formula deriva da $d=1/2 a t^2$, ma nel mio caso non è applicabile perché $v_0 \ne 0$! Sbaglio io o il libro? E perché?
Risposte
in effetti quella formula si usa per gli oggetti in caduta libera con v0=0 ... 
$\vecv = \vecv_0 + vecat $
$vecs = vecv_0t + 1/2vecat^2$
Dalla prima , proiettando sulla retta del moto : $v = v_0 -at$ , il che porta a dire che il mobile si arresta quando $v=0$ , cioè all'istante : $t_f = v_0/a$
Proiettando la seconda sulla retta del moto ( lo spazio è contato dal momento in cui si applica la forza ) :
$s = v_0 -1/2at^2 $ , e sostituendo $t_f = v_0/a$ , si trova : $s = v_0^2/a - 1/2 v_0^2/a = 1/2 v_0^2/a$
ha quindi 2 equazioni :
$t_f = v_0/a$
$s = 1/2 v_0^2/a$
da cui puoi ricavare le quantità incognite partendo da quelle note.
$vecs = vecv_0t + 1/2vecat^2$
Dalla prima , proiettando sulla retta del moto : $v = v_0 -at$ , il che porta a dire che il mobile si arresta quando $v=0$ , cioè all'istante : $t_f = v_0/a$
Proiettando la seconda sulla retta del moto ( lo spazio è contato dal momento in cui si applica la forza ) :
$s = v_0 -1/2at^2 $ , e sostituendo $t_f = v_0/a$ , si trova : $s = v_0^2/a - 1/2 v_0^2/a = 1/2 v_0^2/a$
ha quindi 2 equazioni :
$t_f = v_0/a$
$s = 1/2 v_0^2/a$
da cui puoi ricavare le quantità incognite partendo da quelle note.
Questo non risponde alla domanda... Il libro risolve il problema facendo ricorso alla formula che ho indicato lasciando ignota la velocità.
"giuliofis":
Questo non risponde alla domanda... Il libro risolve il problema facendo ricorso alla formula che ho indicato lasciando ignota la velocità.
curiosità... che libro è?
Risponde, perchè $s$ è noto ed $a$ è nota . dalla seconda ricavi $v_0$ , e dalla prima ricavi $t_f$ .
"vicio90pa":
[quote="giuliofis"]Questo non risponde alla domanda... Il libro risolve il problema facendo ricorso alla formula che ho indicato lasciando ignota la velocità.
curiosità... che libro è?[/quote]
Boh, un frammento di libro di un liceo pre-riforma.
Shakle, non ho chiesto come risolvere l'esercizio, ma perché il libro dà un procedimento che a me sembra sbagliato: ho chiesto lumi sulla soluzione, non su cercarne una alternativa (a cui sarei arrivato anche da solo).
Non posso darti lumi sulla soluzione del libro, che tu pensi essere sbagliata. Ti ho solo detto come va fatto secondo me, e scusa se ti senti urtato dal fatto che ho scritto una soluzione a cui saresti arrivato da solo.
In questo forum c'è troppa gente suscettibile.
In questo forum c'è troppa gente suscettibile.
Ahaha dai, non vi siete capiti!
Comunque sembra assurdo che un libro liceale sbagli su cose del genere!
Shackle se sei abile anche in elettrostatica c'è un bel problemino sulle lastre conduttrici
Comunque sembra assurdo che un libro liceale sbagli su cose del genere!
Shackle se sei abile anche in elettrostatica c'è un bel problemino sulle lastre conduttrici
Ah che belli i libri del liceo che risolvono i problemi con le formule magiche.
p.s. dalla soluzione di Shackle si vede subito che la "formula" usatra dal libro è esatta, e quindi risponde alla domanda del post.
p.s. dalla soluzione di Shackle si vede subito che la "formula" usatra dal libro è esatta, e quindi risponde alla domanda del post.
"Vulplasir":
Ah che belli i libri del liceo che risolvono i problemi con le formule magiche.
p.s. dalla soluzione di Shackle si vede subito che la "formula" usatra dal libro è esatta, e quindi risponde alla domanda del post.
E infatti, basta ricavare $v_0$ dalla seconda e quindi sostituire nella prima , per cui : $ t_f = sqrt(2s/a) $ .
"giuliofis":
Questa formula deriva da $d=1/2 a t^2$, ma nel mio caso non è applicabile perché $v_0 \ne 0$! Sbaglio io o il libro? E perché?
Ripercorri la medesima distanza $d$ all'indietro, partendo da fermo, con la stessa accelerazione $a$ in modulo ma con segno cambiato, finché la velocità finale sarà $v_0$. Il tempo è lo stesso.
"veciorik":
[quote="giuliofis"]Questa formula deriva da $d=1/2 a t^2$, ma nel mio caso non è applicabile perché $v_0 \ne 0$! Sbaglio io o il libro? E perché?
Ripercorri la medesima distanza $d$ all'indietro, partendo da fermo, con la stessa accelerazione $a$ in modulo ma con segno cambiato, finché la velocità finale sarà $v_0$. Il tempo è lo stesso.[/quote]
Non ci pensavo, giusto.
Come dice Vulplaisir la soluzione di Shackle corrisponde a quella del libro. Basta risolvere il sistema.
Normalmente i libri danno, oltre alle equazioni fornite da Shackle, anche quella direttamente ottenuta dalla risoluzione del sistema.
$v_f^2-v_i^2=2ad $ da cui la formuletta risolutiva della esercizio del tuo libro.
Normalmente i libri danno, oltre alle equazioni fornite da Shackle, anche quella direttamente ottenuta dalla risoluzione del sistema.
$v_f^2-v_i^2=2ad $ da cui la formuletta risolutiva della esercizio del tuo libro.
@ professorkappa
la formuletta che hai messo contiene la velocità iniziale , che è incognita . Per arrivare a $ t_f = sqrt(2s/a) $ devi risolvere il sistemino , come ho già detto qui :
E infatti, basta ricavare $ v_0 $ dalla seconda e quindi sostituire nella prima , per cui : $ t_f = sqrt(2s/a) $ .[/quote]
Come chiarisce Veciorik , se lanci una pietra verticalmente verso l'alto con una velocita iniziale, essa si ferma e ricade , riassumendo in ogni punto della discesa lo stesso valore della velocità che aveva ,in quel punto, in salita.
La stessa cosa succede se fai descrivere alla pietra una parabola ($vecg$ = costante) , in punti posti alla stessa altezza sul ramo in salita e sul ramo in discesa . Naturalmente si parla di modulo , non di vettore .
la formuletta che hai messo contiene la velocità iniziale , che è incognita . Per arrivare a $ t_f = sqrt(2s/a) $ devi risolvere il sistemino , come ho già detto qui :
"Shackle":
[quote="Vulplasir"]Ah che belli i libri del liceo che risolvono i problemi con le formule magiche.
p.s. dalla soluzione di Shackle si vede subito che la "formula" usata dal libro è esatta, e quindi risponde alla domanda del post.
E infatti, basta ricavare $ v_0 $ dalla seconda e quindi sostituire nella prima , per cui : $ t_f = sqrt(2s/a) $ .[/quote]
Come chiarisce Veciorik , se lanci una pietra verticalmente verso l'alto con una velocita iniziale, essa si ferma e ricade , riassumendo in ogni punto della discesa lo stesso valore della velocità che aveva ,in quel punto, in salita.
La stessa cosa succede se fai descrivere alla pietra una parabola ($vecg$ = costante) , in punti posti alla stessa altezza sul ramo in salita e sul ramo in discesa . Naturalmente si parla di modulo , non di vettore .
Ah, si, e' stata una svista: nel leggere da cell, credevo che chiedesse la velocita' finale, non il tempo.
Ok. Naturalmente si può prendere la formuletta che hai scritto e sostituire $v=at$ , essendo v e t proporzionali in questo caso. Il tempo iniziale si pone $t_i = 0 $ .
Comunque pensandoci bene il dubbio di Giuliofis è legittimo , e l'esercizio dato è un po' fuorviante . il dubbio dovrebbe riguardare , secondo me, la relazione che c'è tra velocità di inizio arresto e spazio di arresto.
Supponiamo di avere due automobili identiche $1$ e $2$ , dotate di velocità iniziali costanti $v_(01) = 50 (km)/h$ e $v_(02)= 100 (km)/h $ , cioè la seconda doppia della prima . Le due auto hanno quindi quantità di moto $p_2 = 2p_1$ , e energie cinetiche iniziali $E_2 = 4 E_1 $ , poiché la velocità entra al quadrato .
Quindi , a parità di forza frenante e perciò di decelerazione $a = F/m $ , le velocità durante la fase di frenata saranno :
$v_1 =v_(01) - at_1 $
$v_2 =v_(02) - at_2 $
è chiaro perciò che il tempo di arresto della macchina 2 sarà doppio del tempo di arresto della macchina 1 :
$t_(2f) = 2t_(1f)$ , come si vede ponendo uguali a zero le velocità finali di entrambe.
E lo spazio percorso $d_2$ dalla macchina2 sarà 4 volte quello $d_1$ percorso dalla macchina 1, in quanto si deve smaltire, con lavoro resistente , una energia cinetica 4 volte piu grande, supponiamo a parità di forza frenante.
Perciò , siccome vale la formuletta che lega tempo e spazio di arresto , più volte riportata : $t_f = sqrt(2d/a)$ , e siccome : $2 = sqrt4 $ , torna esattamente ( sia pure con molte semplificazioni ...) che la seconda macchina percorre in frenata uno spazio 4 volte maggiore della prima, in un tempo doppio della prima, se la velocità iniziale della 2º macchina è il doppio della velocità iniziale della prima .
In altri termini : data una velocità iniziale $v_0$ e una decelerazione $a$ , lo spazio di frenata e il tempo di arresto sono dati ( grosso modo!) da :
$d = v_0^2/(2a) $
$t_f = sqrt(2d/a)$
Comunque pensandoci bene il dubbio di Giuliofis è legittimo , e l'esercizio dato è un po' fuorviante . il dubbio dovrebbe riguardare , secondo me, la relazione che c'è tra velocità di inizio arresto e spazio di arresto.
Supponiamo di avere due automobili identiche $1$ e $2$ , dotate di velocità iniziali costanti $v_(01) = 50 (km)/h$ e $v_(02)= 100 (km)/h $ , cioè la seconda doppia della prima . Le due auto hanno quindi quantità di moto $p_2 = 2p_1$ , e energie cinetiche iniziali $E_2 = 4 E_1 $ , poiché la velocità entra al quadrato .
Quindi , a parità di forza frenante e perciò di decelerazione $a = F/m $ , le velocità durante la fase di frenata saranno :
$v_1 =v_(01) - at_1 $
$v_2 =v_(02) - at_2 $
è chiaro perciò che il tempo di arresto della macchina 2 sarà doppio del tempo di arresto della macchina 1 :
$t_(2f) = 2t_(1f)$ , come si vede ponendo uguali a zero le velocità finali di entrambe.
E lo spazio percorso $d_2$ dalla macchina2 sarà 4 volte quello $d_1$ percorso dalla macchina 1, in quanto si deve smaltire, con lavoro resistente , una energia cinetica 4 volte piu grande, supponiamo a parità di forza frenante.
Perciò , siccome vale la formuletta che lega tempo e spazio di arresto , più volte riportata : $t_f = sqrt(2d/a)$ , e siccome : $2 = sqrt4 $ , torna esattamente ( sia pure con molte semplificazioni ...) che la seconda macchina percorre in frenata uno spazio 4 volte maggiore della prima, in un tempo doppio della prima, se la velocità iniziale della 2º macchina è il doppio della velocità iniziale della prima .
In altri termini : data una velocità iniziale $v_0$ e una decelerazione $a$ , lo spazio di frenata e il tempo di arresto sono dati ( grosso modo!) da :
$d = v_0^2/(2a) $
$t_f = sqrt(2d/a)$
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