Dubbio risoluzione problema di elettrostatica.
Ciao a tutti, sto risolvendo un esercizio di elettrostatica ma sto avendo alcuni problemi. Vi scrivo il testo e la soluzione che ho risolto io:
Un disco conduttore molto sottile di raggio [tex]a=1m[/tex], la densità lineare di carica elettrica superficiale varia con la distanza dal centro,[tex]r[/tex], secondo:
[tex]\sigma (r)=\frac{A}{\sqrt{(a^2-r^2)}}[/tex]
A) Trovare la carica elettrica totale che si strova sul disco.
B) Determinare il potenziale elettrico al centro del disco.
C) Determinare il valore della capacità elettrica del disco.
D) Nel caso in cui il disco sia dimateriale isolante, e la carica elettrica calcolata nel punto A) sia distribuita uniformentente sul disco stesso, quanto vale il potenziale elettrico ad una quota [tex]Z=a[/tex], lungo l'asse del disco? E il campo elettrico nello stesso punto?
Vi riporto una mia soluzione:
1) [tex]Q=\int dq=\int_{0}^{a}\sigma (r)2\pi r dr=\int_{0}^{a}\frac{A}{\sqrt{(a^2-r^2)}}2\pi rdr=..............=2\pi Aa=1*10^{-8}C[/tex]
2) [tex]V(0)=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}a}=9*10^9[/tex]
3) [tex]C=\frac{Q}{V}=1.1*10^{-18}F[/tex]
Finora è giusta la risoluzione? Ho alcuni dubbi sulla seconda domanda, ero indeciso se procedere con la formula o calcolarmi il campo elettrico interno del disco e integrarlo per calcolare il potenziale. Per il punto 4) invece non so dove mettere le mani...
Grazie per l'aiuto!!
Un disco conduttore molto sottile di raggio [tex]a=1m[/tex], la densità lineare di carica elettrica superficiale varia con la distanza dal centro,[tex]r[/tex], secondo:
[tex]\sigma (r)=\frac{A}{\sqrt{(a^2-r^2)}}[/tex]
A) Trovare la carica elettrica totale che si strova sul disco.
B) Determinare il potenziale elettrico al centro del disco.
C) Determinare il valore della capacità elettrica del disco.
D) Nel caso in cui il disco sia dimateriale isolante, e la carica elettrica calcolata nel punto A) sia distribuita uniformentente sul disco stesso, quanto vale il potenziale elettrico ad una quota [tex]Z=a[/tex], lungo l'asse del disco? E il campo elettrico nello stesso punto?
Vi riporto una mia soluzione:
1) [tex]Q=\int dq=\int_{0}^{a}\sigma (r)2\pi r dr=\int_{0}^{a}\frac{A}{\sqrt{(a^2-r^2)}}2\pi rdr=..............=2\pi Aa=1*10^{-8}C[/tex]
2) [tex]V(0)=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}a}=9*10^9[/tex]
3) [tex]C=\frac{Q}{V}=1.1*10^{-18}F[/tex]
Finora è giusta la risoluzione? Ho alcuni dubbi sulla seconda domanda, ero indeciso se procedere con la formula o calcolarmi il campo elettrico interno del disco e integrarlo per calcolare il potenziale. Per il punto 4) invece non so dove mettere le mani...
Grazie per l'aiuto!!
Risposte
Non vedo come quel disco possa essere conduttore. 
Non ho altri dettagli del problema perchè è di un compito d'easame recente dove ancora non è stata inserita la soluzione
Ci ho ripensato e ritiro quanto detto, quella funzione rappresenta proprio la funzione $\sigma(r)$ della densità di carica, nel caso di un disco conduttore sottile; e a questo punto ti chiedo: avete affrontato a lezione quella particolare geometria, o più in generale quella ellissoidale?
Se si, puoi dirmi cosa stai studiando e soprattutto dove e con chi?
Ad ogni modo, ritornando a bomba;
Simbolicamente Ok, numericamente dimostri di conoscere $A=5/\pi \text { nC/m}$, esatto?
Ricavata come? ... ad ogni modo già errata al semplice controllo dimensionale.
Se non erro dovrebbe essere
$V(0)=\frac{Q}{8 \varepsilon _{0}a}\approx 141 \text(V)$
Allora avevo ragione, conoscevi direttamente la formula che lega la carica del disco al potenziale V(0)?
Questo mi stupisce visto che hai risposto alla domanda numero 2).
Se si, puoi dirmi cosa stai studiando e soprattutto dove e con chi?
Ad ogni modo, ritornando a bomba;
"davide12":
... Vi riporto una mia soluzione:
1) [tex]Q=\int dq=\int_{0}^{a}\sigma (r)2\pi r dr=\int_{0}^{a}\frac{A}{\sqrt{(a^2-r^2)}}2\pi rdr=..............=2\pi Aa=1*10^{-8}C[/tex]
Simbolicamente Ok, numericamente dimostri di conoscere $A=5/\pi \text { nC/m}$, esatto?
"davide12":
...2) [tex]V(0)=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}a}=9*10^9[/tex] ...
Ricavata come? ... ad ogni modo già errata al semplice controllo dimensionale.
Se non erro dovrebbe essere
$V(0)=\frac{Q}{8 \varepsilon _{0}a}\approx 141 \text(V)$
"davide12":
... Ho alcuni dubbi sulla seconda domanda, ero indeciso se procedere con la formula o calcolarmi il campo elettrico interno del disco e integrarlo per calcolare il potenziale.
Allora avevo ragione, conoscevi direttamente la formula che lega la carica del disco al potenziale V(0)?
"davide12":
Per il punto 4) invece non so dove mettere le mani...
Questo mi stupisce visto che hai risposto alla domanda numero 2).
Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando. Sono uno studente di ingegneria industriale e sto affrontando gli argomenti di elettrostatica fono al condensatore per il corso di fisica generale 2.
Chiedo scusa perchè nel testo ho omesso il valore dato di [tex]A=1.6 nC[/tex] quindi la 1) domanda dovrebbe essere corretta.
La numero 2) l'ho risolta sfruttando una formula data in classe dal professore. Tu come sei arrivato a quella formula, integrando il campo elettrico del punto 1) ?La formula che lega la carica del disco al potenziale mi sembra che l'abbiamo usata durante un esercizio ma non ne sono sicuro.
Il punto 4) mi è difficile capire cosa richiede , forse devo reintegrare il campo elettrico cambiando gli estremi di integrazione e trovando il campo tramite la formula generale [tex]E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^2}[/tex] ?
Chiedo scusa perchè nel testo ho omesso il valore dato di [tex]A=1.6 nC[/tex] quindi la 1) domanda dovrebbe essere corretta.
La numero 2) l'ho risolta sfruttando una formula data in classe dal professore. Tu come sei arrivato a quella formula, integrando il campo elettrico del punto 1) ?La formula che lega la carica del disco al potenziale mi sembra che l'abbiamo usata durante un esercizio ma non ne sono sicuro.
Il punto 4) mi è difficile capire cosa richiede
, forse devo reintegrare il campo elettrico cambiando gli estremi di integrazione e trovando il campo tramite la formula generale [tex]E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^2}[/tex] ?
"davide12":
... quindi la 1) domanda dovrebbe essere corretta.
Si, la prima risposta è corretta.
"davide12":
... La numero 2) l'ho risolta sfruttando una formula data in classe dal professore.
Quindi vuoi dirmi che quella configurazione a disco sottile l'avevate vista a lezione, ma il tuo prof. in che modo aveva affrontato la soluzione? Non vorrai dirmi che ha dato quella formula da ricordare a memoria.
"davide12":
... Tu come sei arrivato a quella formula, integrando il campo elettrico del punto 1) ?
No, no, appena ho visto quella "strana" funzione densità mi sembrava impossibile fosse relativa ad un disco conduttore, ma poi ricordando che su uno dei vecchi testi che spesso consulto c'era un capitolo sull'elettrostatica dei conduttori ellissoidali sono andato a sfogliare lo Smythe, "Static and Dynamic Electricity" [nota]https://archive.org/stream/StaticAndDynamicElectricity/Smythe-StaticAndDynamicElectricity#page/n131/mode/2up
In particolare anche http://physics.ucsd.edu/students/courses/fall2008/managed/physics100a/documents/Smythe.ellipsoid.cond.pdf[/nota] ... e mi sono dovuto ricredere.
"davide12":
...La formula che lega la carica del disco al potenziale mi sembra che l'abbiamo usata durante un esercizio ma non ne sono sicuro.
Incredibile, vi dà prove d'esame con formule viste solo in particolari esercizi?
"davide12":
... Il punto 4) mi è difficile capire cosa richiede
Per il punto 4), essendo la densità di carica costante, le cose si semplificano in quanto l'integrale per un particolare valore di z viene ad essere molto più semplice; si tratta di integrare il campo infinitesimo relativo alla corona circolare di generico raggio r e di spessore dr per r che va da 0 ad a, tenendo conto della sola sua proiezione sull'asse z.
Pultroppo solo in un tipo di esercizio abbiamo usato quella formula, il professore ce l'ha data e dimostrata ma sinceramente non ci avevo copito nulla come ci è arrivavato 
Ricapitolando alla domanda 2) e 3) come ci sei arrivato a quelle formule? Non ti chiedo una dimostrazione formale ma un'idea generale
La domanda 4) invece mi sembra più chiara, approfondirò in seguito.
Ricapitolando alla domanda 2) e 3) come ci sei arrivato a quelle formule? Non ti chiedo una dimostrazione formale ma un'idea generale
La domanda 4) invece mi sembra più chiara, approfondirò in seguito.
"davide12":
... solo in un tipo di esercizio abbiamo usato quella formula
A quale formula ti stai riferendo? ... a quella che hai usato tu nel post iniziale per V(0)?
"davide12":
... il professore ce l'ha data e dimostrata ma sinceramente non ci avevo copito nulla come ci è arrivavato
Beh, di sicuro ci sono diversi modi per arrivare alla relazione della densità di carica per un disco sottile ma tutti complessi e quindi, come ti dicevo, mi sembra strano che il tuo prof sia andato anche a dimostrarla.
"davide12":
... come ci sei arrivato a quelle formule?
Ci sono arrivato andando a leggermi lo Smythe in quanto non ero capace di ricavarmela, lo Smythe la ricava come caso limite di un conduttore ellissoidale facendo tendere un asse a zero ed uguagliando i rimanenti due, io avrei scommesso che la carica sarebbe andata a concentrarsi sul bordo esterno del disco, ma non consideravo il fatto che il disco è "molto sottile".
Da quella relazione per la densità (vedi 5.03 del secondo riferimento) si ha anche la relazione fra la carica Q e la tensione V(0) e il loro legame con la costante A del tuo problema.
--------------------
PS Vedi anche questi due nuovi riferimenti :
1) http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/thindisc.pdf
2) http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/ellipsoid.pdf
Grazie mille per le tue esaustive spiegazioni, mi hai fatto capire un paio di cosucce
Poco fa la mia professoressa ha inserito la soluzione all'esercizio, ora ho capito come va risolto (se può essere utile posso inserire la soluzione).
Poco fa la mia professoressa ha inserito la soluzione all'esercizio, ora ho capito come va risolto (se può essere utile posso inserire la soluzione).
"davide12":
... se può essere utile posso inserire la soluzione
Può essere più che utile
... ma puoi rispondere alla mia ultima domanda? Grazie.
A dire il vero però oggi ripensandoci, l'integrale
$V(z)=k \int_{0}^{a}\frac{\sigma(r) 2\pi r}{\sqrt(r^2+z^2)} dr= \frac{A}{2 \epsilon_0} \int_{0}^{a}\frac{ r dr}{\sqrt(a^2-r^2) \sqrt(r^2+z^2)}$
non è poi così complesso (come pensavo) se ricordiamo l'arcotangente. ... Mi sa che la tua prof. l'ha risolto così, sbaglio?
$V(z)=k \int_{0}^{a}\frac{\sigma(r) 2\pi r}{\sqrt(r^2+z^2)} dr= \frac{A}{2 \epsilon_0} \int_{0}^{a}\frac{ r dr}{\sqrt(a^2-r^2) \sqrt(r^2+z^2)}$
non è poi così complesso (come pensavo) se ricordiamo l'arcotangente.
... Mi sa che la tua prof. l'ha risolto così, sbaglio?
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