Dubbio rendimento macchine termodinamiche
Salve, studiando il rendimento delle macchine termodinamiche mi è venuto un dubbio.
Il teorema di Carnot dice
"Tutte le macchine reversibili che lavorano tra due termostati hanno lo stesso rendimento che è superiore a quello di qualsiasi macchina reale"
In un esercizio mi sono imbattuta nel problema di determinare il rendimento del ciclo rappresentato in figura
costituito da un'isocora, un'isoterma e un'isobara (tutte reversibili) in cui il gas è biatomico. Il risultato è 0,22. Se si calcola il rendimento di una macchina di Carnot che opera tra le stesse temperature (cioè tra la temperature dell'isoterma e quella dello stato A) si ricava che il rendimento è 0.8.
Ma se il ciclo considerato è reversibile come mai il rendimento è diverso?
Ho cercato altre informazioni a riguardo e ho trovato che esiste un teorema "generalizzato" di Carnot secondo cui il rendimento di una macchina reversibile che ha scambi di calore con più di due sorgenti a temperatura diversa è inferiore a quello della macchina di Carnot che opera tra le due temperature estreme e ho pensato quindi che per le trasformazioni AB e CA ci vogliono un'infinità di sorgenti a temperatura infinitesimamente diversa... ma anche in questo caso c'è qualcosa che non funziona... come mai il ciclo di Stirling (che presuppone due isocore e quindi infinite sorgenti di calore) ha lo stesso rendimento di quello di Carnot?
Mi rendo conto di non aver chiaro il discorso ma non riesco a trovare l'inghippo..
Spero di essere stata chiara..
Ringrazio chiunque riesca a farmi un po' di luce su questo argomento.
Il teorema di Carnot dice
"Tutte le macchine reversibili che lavorano tra due termostati hanno lo stesso rendimento che è superiore a quello di qualsiasi macchina reale"
In un esercizio mi sono imbattuta nel problema di determinare il rendimento del ciclo rappresentato in figura
costituito da un'isocora, un'isoterma e un'isobara (tutte reversibili) in cui il gas è biatomico. Il risultato è 0,22. Se si calcola il rendimento di una macchina di Carnot che opera tra le stesse temperature (cioè tra la temperature dell'isoterma e quella dello stato A) si ricava che il rendimento è 0.8.
Ma se il ciclo considerato è reversibile come mai il rendimento è diverso?
Ho cercato altre informazioni a riguardo e ho trovato che esiste un teorema "generalizzato" di Carnot secondo cui il rendimento di una macchina reversibile che ha scambi di calore con più di due sorgenti a temperatura diversa è inferiore a quello della macchina di Carnot che opera tra le due temperature estreme e ho pensato quindi che per le trasformazioni AB e CA ci vogliono un'infinità di sorgenti a temperatura infinitesimamente diversa... ma anche in questo caso c'è qualcosa che non funziona... come mai il ciclo di Stirling (che presuppone due isocore e quindi infinite sorgenti di calore) ha lo stesso rendimento di quello di Carnot?
Mi rendo conto di non aver chiaro il discorso ma non riesco a trovare l'inghippo..
Spero di essere stata chiara..
Ringrazio chiunque riesca a farmi un po' di luce su questo argomento.
Risposte
Bla bla bla....
Edit: qui c'era scritta una cosa che era tutto tranne che intelligente!
Edit: qui c'era scritta una cosa che era tutto tranne che intelligente!
Grazie per la risposta, il mio dubbio è dovuto al fatto che non riesco a capire perchè il teorema di Carnot dice che il rendimento deve essere uguale... ad esempio il ciclo di stirling non è un ciclo di Carnot..però ha lo stesso rendimento..
Rieccomi 
Ho ripreso il libro ed ho appurato che quella che ho detto prima è una emerita c****a, per cui mi scuso e provvedo a cancellare prima di fuorviare qualcun altro.
Adesso ci penso meglio...
Ho ripreso il libro ed ho appurato che quella che ho detto prima è una emerita c****a, per cui mi scuso e provvedo a cancellare prima di fuorviare qualcun altro.
Adesso ci penso meglio...
"laura123":
Salve, studiando il rendimento delle macchine termodinamiche mi è venuto un dubbio.
Il teorema di Carnot dice
"Tutte le macchine reversibili che lavorano tra due termostati hanno lo stesso rendimento che è superiore a quello di qualsiasi macchina reale"
Da quanto ne so questa è una delle tante conclusioni a cui si arriva con il teorema di Carnot.
Da che libro studi?
"laura123":
In un esercizio mi sono imbattuta nel problema di determinare il rendimento del ciclo costituito da un'isocora, un'isoterma e un'isobara (tutte reversibili) in cui il gas è biatomico. Il risultato è 0,22. Se si calcola il rendimento di una macchina di Carnot che opera tra le stesse temperature (cioè tra la temperature dell'isoterma e quella dello stato A) si ricava che il rendimento è 0.8.
Ma se il ciclo considerato è reversibile come mai il rendimento è diverso?
La definizione di rendimento di una macchina termica è il rapporto tra lavoro prodotto e calore assorbito.
Forse sto dicendo una stupidaggine, ma chi ti dice che il ciclo che vedi sta lavorando con due sorgenti?
Il fatto che durante il ciclo si passi dalla temperatura [tex]T_0[/tex] a quella [tex]T_1[/tex] e vicerversa, non credo implichi che vi siano due sorgenti a quelle temperature.
Per cui è normale che il rendimento sia diverso!
Ti cito parte del teorema di Carnot:
"Tutte le macchine termiche reversibili che funzionano con due sorgenti hanno lo stesso rendimento."
"laura123":
Ho cercato altre informazioni a riguardo e ho trovato che esiste un teorema "generalizzato" di Carnot secondo cui il rendimento di una macchina reversibile che ha scambi di calore con più di due sorgenti a temperatura diversa è inferiore a quello della macchina di Carnot che opera tra le due temperature estreme e ho pensato quindi che per le trasformazioni AB e CA ci vogliono un'infinità di sorgenti a temperatura infinitesimamente diversa... ma anche in questo caso c'è qualcosa che non funziona... come mai il ciclo di Stirling (che presuppone due isocore e quindi infinite sorgenti di calore) ha lo stesso rendimento di quello di Carnot?
Mi rendo conto di non aver chiaro il discorso ma non riesco a trovare l'inghippo..
Nel ciclo di Stirling succede, per l'appunto ciò che dici tu, le quantità di calore delle due isocore sono opposte per cui è come se dovesse lavorare solo tra le sorgenti delle due isoterme.
Spero di essere stato chiaro e non aver scritto sciocchezze
Ciao
La maggior parte dei testi che ho consultato (Mazzoldi, Halliday, Fermi ecc..) parlano appunto di 2 sorgenti, infatti avevo intuito che nel ciclo considerato ci volevano più sorgenti però c'è un testo abbastanza attendibile che è di Ugo Amaldi (della Zanichelli) che parla del teorema di Carnot in questi termini (cito testualmente)
Forte di questa affermazione l'autore si spinge anche a dimostrare che il rendimento della macchina di Carnot è $eta_C=1-T_1/T_2$ ricavandolo da quello del ciclo di Stirling. Sbaglio oppure enunciando il teorema in questo modo anche il ciclo che ho considerato io, in quanto reversibile e operante tra due temperature, deve avere lo stesso rendimento.. Io sono più propensa a pensare che sul testo citato ci sia una piccola imprecisione...
Per quanto riguarda il fatto che il ciclo di Stirling ha lo stesso rendimento penso che sia come dici tu, cioè che è come se le sorgenti fossero solo 2 (anche se non lo sono).. però ho trovato un sito in cui si fa questa affermazione (dimostrandola)
Come si giustifica dopo questo il fatto che il ciclo di Stirling abbia lo stesso rendimento? Vuol dire quindi che il ciclo di Carnot e quello di Stirling sono equivalenti?
... il teorema di Carnot stabilisce che, data una macchina reversibile R il cui rendimento è $ eta_R $ e un'altra macchina qualunque S, con rendimento $eta_S$, che lavora tra le stesse due temperature di R, si ha sempre $eta_R \geq eta_S$. Inoltre il segno di uguale vale se e soltanto se anche la macchina S è reversibile.
Forte di questa affermazione l'autore si spinge anche a dimostrare che il rendimento della macchina di Carnot è $eta_C=1-T_1/T_2$ ricavandolo da quello del ciclo di Stirling. Sbaglio oppure enunciando il teorema in questo modo anche il ciclo che ho considerato io, in quanto reversibile e operante tra due temperature, deve avere lo stesso rendimento.. Io sono più propensa a pensare che sul testo citato ci sia una piccola imprecisione...
Per quanto riguarda il fatto che il ciclo di Stirling ha lo stesso rendimento penso che sia come dici tu, cioè che è come se le sorgenti fossero solo 2 (anche se non lo sono).. però ho trovato un sito in cui si fa questa affermazione (dimostrandola)
il rendimento di una macchina termica che lavori a contatto con infinite sorgenti fra una temperatura massima $T_{+}$ ed una minima $T_{-}$ è sempre minore del rendimento di una macchina di Carnot che lavori nello stesso intervallo di temperatura
fonte: http://www.science.unitn.it/~fisica1/fi ... ot/carnot/
Come si giustifica dopo questo il fatto che il ciclo di Stirling abbia lo stesso rendimento? Vuol dire quindi che il ciclo di Carnot e quello di Stirling sono equivalenti?
"laura123":
Ho cercato altre informazioni a riguardo e ho trovato che esiste un teorema "generalizzato" di Carnot secondo cui il rendimento di una macchina reversibile che ha scambi di calore con più di due sorgenti a temperatura diversa è inferiore a quello della macchina di Carnot che opera tra le due temperature estreme e ho pensato quindi che per le trasformazioni AB e CA ci vogliono un'infinità di sorgenti a temperatura infinitesimamente diversa... ma anche in questo caso c'è qualcosa che non funziona... come mai il ciclo di Stirling (che presuppone due isocore e quindi infinite sorgenti di calore) ha lo stesso rendimento di quello di Carnot?
Direi che ti sei risposta da sola!
Un ciclo generico può essere immaginato come somma di infiniti cicli di Carnot con rendimenti minori del ciclo di Carnot tra le temperature estreme, visto che il rendimento del ciclo di Carnot dipende solo dalla temperatura delle sorgenti.
Il caso di ciclo di Striling è un caso particolare e arriva al limite del rendimento di Carnot, infatti le due isocore assorbono e cedono esattamente la stessa quantità di calore, per cui ai fini del rendimento possiamo dire non danno contributo negativo.
"laura123":
La maggior parte dei testi che ho consultato (Mazzoldi, Halliday, Fermi ecc..) parlano appunto di 2 sorgenti, infatti avevo intuito che nel ciclo considerato ci volevano più sorgenti però c'è un testo abbastanza attendibile che è di Ugo Amaldi (della Zanichelli) che parla del teorema di Carnot in questi termini (cito testualmente)
... il teorema di Carnot stabilisce che, data una macchina reversibile R il cui rendimento è $ eta_R $ e un'altra macchina qualunque S, con rendimento $eta_S$, che lavora tra le stesse due temperature di R, si ha sempre $eta_R \geq eta_S$. Inoltre il segno di uguale vale se e soltanto se anche la macchina S è reversibile.
Forte di questa affermazione l'autore si spinge anche a dimostrare che il rendimento della macchina di Carnot è $eta_C=1-T_1/T_2$ ricavandolo da quello del ciclo di Stirling. Sbaglio oppure enunciando il teorema in questo modo anche il ciclo che ho considerato io, in quanto reversibile e operante tra due temperature, deve avere lo stesso rendimento.. Io sono più propensa a pensare che sul testo citato ci sia una piccola imprecisione...
Il fatto è che nella macchina di Stirling c'è un recupero dell'energia. Le sorgenti di calore con cui si trova a scambiare il fluido di lavoro, che nel caso della macchina di Carnot è per definizione un gas perfetto, nelle trasformazioni isocore, non viene ricevuto e ceduto a sorgenti esterne distinte, ma ceduto e ripreso da uno stesso scambiatore di recupero, reversibilmente.
"laura123":il rendimento di una macchina termica che lavori a contatto con infinite sorgenti fra una temperatura massima $T_{+}$ ed una minima $T_{-}$ è sempre minore del rendimento di una macchina di Carnot che lavori nello stesso intervallo di temperatura
fonte: http://www.science.unitn.it/~fisica1/fi ... ot/carnot/
Come si giustifica dopo questo il fatto che il ciclo di Stirling abbia lo stesso rendimento? Vuol dire quindi che il ciclo di Carnot e quello di Stirling sono equivalenti?
No vuole dire che anche il ciclo di Stirling, essendo reversibile (il che implica che il ciclo possa essere reversibile), risulta avere lo stesso rendimento del ciclo di Carnot, essendo la macchina nel suo complesso, cnsiderando anche lo scambiatore di recupero, un sistema che scambia calore, netto, con sole due sorgenti di calore a diverse temperature. Il risultato si ottiene mettendo a confronto le due macchine (ciclo diretto per quella reversibile e ciclo inverso per quella di Carnot) e applicando il secondo principio della termodinamica.
Credo di aver capito.. è grazie al rigeneratore interno che il ciclo Stirling riesce ad avere lo stesso rendimento del ciclo di Carnot? Se questo non ci fosse gli scambi di calore nelle due fasi isocore avverrebbero all'esterno del sistema e quindi il rendimento si abbasserebbe?
"laura123":
Credo di aver capito.. è grazie al rigeneratore interno che il ciclo Stirling riesce ad avere lo stesso rendimento del ciclo di Carnot? Se questo non ci fosse gli scambi di calore nelle due fasi isocore avverrebbero all'esterno del sistema e quindi il rendimento si abbasserebbe?
Stai facendo un po' di confusione fra tecnologia che realizza il ciclo Strirling e ciclo termodinamico Stirling ideale, oggetto del tuo dubbio.
Ricorda che il rendimento è pari al rapporto tra il lavoro netto fatto dal ciclo e il calore assorbito.
Se costruisci un ciclo di Strirling che evolve tra le stesse isoterme del Carnot vedi che, comunque scegli le isocore, il contributo dato alle isocore al calore assorbito non cambia rispetto al ciclo di Carnot. Puoi vederlo facilmente scrivendo qualche formula o osservando quello che accade nel piano S-T.
Per quanto riguarda il contributo al lavoro varrà la stessa cosa, tra l'altro le adiabatiche del ciclo di Carnot compiono un lavoro netto nullo: il lavoro assorbito dall'adiabatica in compressione e uguale ed opposto a quello compiuto dall'adiabatica in espansione. Per cui quando si passa al ciclo Stirling e si sostituiscono le adiabatiche con le isocore in termini di lavoro nulla cambia.
Pertanto i due cicli sono esattamente equivalenti come rendimento. Questo non è in contrasto con quanto detto visto che il ciclo di Carnot è il ciclo ideale che è in grado di avere il massimo rendimento lavorando tra due sorgenti a temperature date. Il ciclo di Stirling (ideale) è un caso particolare che eguaglia il rendimento del Carnot.
Peccato che questi due cicli ideali non sono tecnologicamente realizzabili....
Giuste osservazioni riguardo al calore netto scambiato nelle isocore e lavoro netto scambiato nelle adiabatiche. Da notare anche che per un gas perfetto energia interna ed entalpia sono solo funzioni della temperatura.
Ok, provo allora a postare il calcolo che ho fatto.
Ho rappresentato sul piano PV il ciclo di Stirling
Per determinare il rendimento calcolo prima il lavoro:
Lungo le isocore il lavoro è nullo, lungo le isoterme il lavoro è $L=nRT_1 ln (V_B/V_A)+nRT_2 ln( V_D/V_C)$ poi tenedo presente che $V_A=V_D$ e $V_B=V_C$ segue
$L=nR(T_1-T_2) ln(V_B/V_A)$.
Il sistema riceve calore dall'esterno nei tratti $DA$ e $AB$ quindi il calore ricevuto è $Q=n C_V (T_1-T_2)+nRT_1 ln(V_B/V_A)$.
Per determinare il rendimento faccio il seguente calcolo:
$eta_S= L/Q=(nR(T_1-T_2) ln(V_B/V_A))/(n C_V (T_1-T_2)+nRT_1 ln(V_B/V_A))$.
Il rendimento della macchina di Carnot che opera tra le due temperature è $eta_C=(T_1-T_2)/T_1$](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
se $n C_V (T_1-T_2)$ fosse $0$ allora i due rendimenti sarebbero uguali ma questo termine non può essere nullo... dai miei calcoli i due rendimenti risultano diversi....Ho sbagliato qualche passaggio?
Ho rappresentato sul piano PV il ciclo di Stirling
Per determinare il rendimento calcolo prima il lavoro:
Lungo le isocore il lavoro è nullo, lungo le isoterme il lavoro è $L=nRT_1 ln (V_B/V_A)+nRT_2 ln( V_D/V_C)$ poi tenedo presente che $V_A=V_D$ e $V_B=V_C$ segue
$L=nR(T_1-T_2) ln(V_B/V_A)$.
Il sistema riceve calore dall'esterno nei tratti $DA$ e $AB$ quindi il calore ricevuto è $Q=n C_V (T_1-T_2)+nRT_1 ln(V_B/V_A)$.
Per determinare il rendimento faccio il seguente calcolo:
$eta_S= L/Q=(nR(T_1-T_2) ln(V_B/V_A))/(n C_V (T_1-T_2)+nRT_1 ln(V_B/V_A))$.
Il rendimento della macchina di Carnot che opera tra le due temperature è $eta_C=(T_1-T_2)/T_1$
se $n C_V (T_1-T_2)$ fosse $0$ allora i due rendimenti sarebbero uguali ma questo termine non può essere nullo... dai miei calcoli i due rendimenti risultano diversi....Ho sbagliato qualche passaggio?
Puoi notare a questo punto che $nC_v(T_1-T_2)$ è proprio uguale alla quantità di calore ceduta nella trasformazione BC, tra le stesse temperature e con la stessa variazione di energia infinitesima per variazioni infinitesime di temperatura per ogni coppia di punti delle due trasformazioni in cui è presente la stessa temperatura, essendo l'energia interna funzione solo della temperatura. Quindi è possibile realizzare una trasformazione reversibile che permetta di utilizzare questa energia termica fornendola come energia in ingresso $nC_v(T_1-T_2)$ e senza richiedere lavoro per questo passaggio. Basta accumulare questa energia e renderla successivamente, quando il fluido si trova lungo la trasformazione AD.
Quindi considerando nell'insieme la macchina termica, comprendendo anche l'accumulo, questa è ciclica reversibile, scambia calore con soli due termostati e riceve energia solo dal termostato a temperatura maggiore T1. Viene da se che abbia rendimento uguale alla macchina di Carnot corrispondente.
PS: anche la macchina di Stirling opera con un gas perfetto.
Quindi considerando nell'insieme la macchina termica, comprendendo anche l'accumulo, questa è ciclica reversibile, scambia calore con soli due termostati e riceve energia solo dal termostato a temperatura maggiore T1. Viene da se che abbia rendimento uguale alla macchina di Carnot corrispondente.
PS: anche la macchina di Stirling opera con un gas perfetto.
Ok, credo di aver capito. Grazie per aver risposto alle mie domande 
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