Dubbio pendolo composto

[CptKeg]

Buongiorno, mi sono imbattuto su questo esercizio sul pendolo che mi sta dando problemi.
Non riesco ben a capire quale condizione impostare per avere nuovamente il contatto. Io mi sono calcolato il periodo di entrambi ed in base a quello ho capito(teoricamente) dopo quanto si rincontrassero, però non so se ragionando cosi sia esatto

[Faussone]

@ CptKeg

Be' una volta che hai calcolato la legge oraria per i due casi, cioè l'angolo rispetto alla verticale in funzione del tempo ad esempio, basta trovare il tempo per cui i due angoli sono uguali (dopo la partenza).

[CptKeg]

Saresti in grado di illustrarmelo analiticamente? Anche un mio collega mi ha detto una cosa simile, ma non riesco proprio a capirla come cosa.
Io avevo reimpostato il problema dalla sommatoria dei momenti esterni = I*alfa, per poi arrivare al calcolo di omega, soltanto che poi mi si crea il problema di non avere le masse..
Te ne sarei grato(per lo svolgimento)

[CptKeg]

Ho l'esame il 6 settembre ed ho due di questi esercizi specifici ancora da risolvere, ma non so proprio come concluderli. Dopo pranzo provo ad impostarlo come dici ed eventualmente mando dove e sei mi blocco.
Grazie mille comunque!

[CptKeg]

[Faussone]

Detto più esplicitamente, ti trovi per i due pendoli la legge oraria per l'angolo:
(1) $theta_1(t) = A_1 *sin(omega_1*t + phi_1)$
(2) $theta_2(t) = A_2 *sin(omega_2*t + phi_2)$

poni $theta_1(t) =theta_2(t) $ e ti trovi il tempo ($A_1$, $A_2$ , $phi_1$ e $phi_2$ sono noti dalle condizioni al contorno iniziali su posizione e velocità, e ovviamente conosci pure $omega_1$ e $omega_2$).

[CptKeg]

Quindi stavo proseguendo correttamente(credo). Arrivato dove sono ora come posso ricavarmi il tempo? Non conosco bene le regole trigonometriche, quindi non so quale applicare e come applicarla...

[Faussone]

Una soluzione analitica in forma chiusa in generale può non essere immediata in effetti, ma una volta determinati tutti i coefficienti noti ($A_1$, $A_2$, $phi_1$, $phi_2$, $omega_1$ e $omega_2$ si può probabilmente arrivare ad una soluzione approssimata, eventualmente anche in forma iterativa (certo a meno che i coefficienti siano tali da dar luogo ad una soluzione banale, io non ho fatto alcun conto).

[ingres]

@CptKeg
Di seguito ho inserito la soluzione analitica del problema trigonometrico, anche se sarebbe bene che comunque provassi a risolverlo autonomamente. Ma capisco che a pochi giorni dall'esame ...

Per trovare la soluzione analitica conviene intanto riscrivere la soluzione tenendo conto che le due aste
1) partono dallo stesso angolo $theta_0$
2) partono da ferme
3) in base ai calcoli $omega_2 = 2*omega_1$

Quindi le soluzioni possono essere scritte come segue

$theta_1(t) = theta_0 cos(omega_1*t)$
$theta_2(t) = theta_0 cos(2*omega_1*t)$

Gli andamenti (normalizzati in termini di $omega_1*t$ nelle ascisse e $theta_0$ nelle ordinate) sono del tipo:



Si vede che il primo angolo in cui si incontrano non è quello per cui la seconda asta ha fatto lo stesso angolo della prima $+ 2 pi$ ma quello per cui

$omega * t = 2pi - 2*omega*t$

Questo perchè vale una proprietà del coseno per cui $cos(alpha) = cos(2 pi-alpha)$

Dalla relazione di cui sopra si ricava:
$omega_1*t=2/3 pi approx 2.1$

coerente con il grafico e quindi

$bar t = 2/3 pi/omega_1$

[CptKeg]

Anche a pochi giorni dall'esame alla fine l'ho fatto usando però il seno al posto del coseno nella formula del moto armonico. Domani condivido la mia soluzione cosi da potergli dare un occhiata

[CptKeg]

Comunque leggendo la tua soluzione non ho ben capito come hai impostato la condizione subito dopo il grafico

[CptKeg]