Dubbio Momento angolare di manubrio
Ciao a tutti
ho un esercizio da risolvere ma ho alcuni dubbi su come procedere
Ho un manubrio formato da due masse $m$ uguali tra loro collegate da un'asta di massa trascurabile di lunghezza $l$. Questo manubrio può ruotare intorno al suo asse verticale
un proiettile di massa $m_P$ colpisce una delle due masse del manubrio (ovviamente mettendolo in rotazione) con una velocità $V_p$
l'esercizio mi chiede di trovare la velocità iniziale del manubrio subito dopo il colpo del proiettile
per prima cosa ho pensato di considerare l'urto del proiettile con una delle masse del manubrio con un urto anelastico
Quando ho un urto anelastico di solito uso il principio di conservazione della quantità di moto
in questo caso però, prima dell'urto ho la quantità di moto del proiettile, ma dopo l'urto ho solo il momento angolare del manubrio giusto?
E' pertanto corretto pensare la quantità di moto del proiettile si trasformi tutta in momento angolare del manubrio?
Inoltre il manubrio diventa un manubrio asimmetrico perché le due masse non sono più uguali visto che in una di esse si è aggiunta la massa del proiettile.
Il momento angolare totale quindi lo posso vedere come la somma del momento angolare una massa sommato al momento angolare di "massa + proiettile" alle quali è stata applicata la stessa forza;
Ha senso ragionare in questo modo?
Grazie mille
ho un esercizio da risolvere ma ho alcuni dubbi su come procedere
Ho un manubrio formato da due masse $m$ uguali tra loro collegate da un'asta di massa trascurabile di lunghezza $l$. Questo manubrio può ruotare intorno al suo asse verticale
un proiettile di massa $m_P$ colpisce una delle due masse del manubrio (ovviamente mettendolo in rotazione) con una velocità $V_p$
l'esercizio mi chiede di trovare la velocità iniziale del manubrio subito dopo il colpo del proiettile
per prima cosa ho pensato di considerare l'urto del proiettile con una delle masse del manubrio con un urto anelastico
Quando ho un urto anelastico di solito uso il principio di conservazione della quantità di moto
in questo caso però, prima dell'urto ho la quantità di moto del proiettile, ma dopo l'urto ho solo il momento angolare del manubrio giusto?
E' pertanto corretto pensare la quantità di moto del proiettile si trasformi tutta in momento angolare del manubrio?
Inoltre il manubrio diventa un manubrio asimmetrico perché le due masse non sono più uguali visto che in una di esse si è aggiunta la massa del proiettile.
Il momento angolare totale quindi lo posso vedere come la somma del momento angolare una massa sommato al momento angolare di "massa + proiettile" alle quali è stata applicata la stessa forza;
Ha senso ragionare in questo modo?
Grazie mille
Risposte
Questo messaggio è andato perso per una mia distrazione. In ogni modo, perdita trascurabile. 
Grazie Speculor
Purtroppo però mi sono accorto di aver capito male il testo dell'esercizio.
Il manubrio non è fissato, ma è libero di muoversi
Infatti una delle domande successive è
"intorno a quale punto ruota il manubrio?"
Ad intuito io direi che si mette a ruotare intorno al baricentro, mentre quest'ultimo probabilmente si sposta lateralmente
A questo punto penso che l'energia cinetica iniziale del proiettile si debba trasformare in parte in energia cinetica del baricentro, e in parte in energia cinetica rotazionale del manubrio. E' corretto?
il tutto si deve svolgere senza tenere conto della gravità e senza considerare l'aumento di una delle due masse dovuto alla funzione con la massa del proiettile.
ho pensato che la quantità di moto si conservi, e quindi da li ricavo la velocità del baricentro
inoltre, considerando tutto alla stessa quota, quindi con la stessa energia potenziale, ho che si conserva l'energia cinetica.
Quindi l'energia cinetica iniziale del proiettile diventa energia cinetica del baricentro più l'energia cinetica rotazionale
dalla quale quindi posso ricavare la velocità angolare della rotazione perchè posso calcolarmi il momento d'inerzia
è corretto?
Purtroppo però mi sono accorto di aver capito male il testo dell'esercizio.
Il manubrio non è fissato, ma è libero di muoversi
Infatti una delle domande successive è
"intorno a quale punto ruota il manubrio?"
Ad intuito io direi che si mette a ruotare intorno al baricentro, mentre quest'ultimo probabilmente si sposta lateralmente
A questo punto penso che l'energia cinetica iniziale del proiettile si debba trasformare in parte in energia cinetica del baricentro, e in parte in energia cinetica rotazionale del manubrio. E' corretto?
il tutto si deve svolgere senza tenere conto della gravità e senza considerare l'aumento di una delle due masse dovuto alla funzione con la massa del proiettile.
ho pensato che la quantità di moto si conservi, e quindi da li ricavo la velocità del baricentro
inoltre, considerando tutto alla stessa quota, quindi con la stessa energia potenziale, ho che si conserva l'energia cinetica.
Quindi l'energia cinetica iniziale del proiettile diventa energia cinetica del baricentro più l'energia cinetica rotazionale
dalla quale quindi posso ricavare la velocità angolare della rotazione perchè posso calcolarmi il momento d'inerzia
è corretto?
Non ho capito, l'urto è totalmente anelastico?
si, il proiettile si fonde in una delle due masse, ma il testo dell'esercizio indica di trascurare l'aumento di massa dovuto al proiettile
Quando il proiettile urta l'asta, la distanza del centro di massa dal centro dell'asta vale:
$d=(m_pl)/(2(2m+m_p))$
Conservazione della quantità di moto
$m_pV_p=(2m+m_p)V_G$
Conservazione momento angolare rispetto al centro di massa
$m_pV_p(l/2-d)=[(m+m_p)(l/2-d)^2+m(l/2+d)^2]\omega$
Questo è il caso generale. Il tuo caso particolare si ottiene per $m_pto0^+$ e $V_pto+oo$ in modo tale che $m_pV_p=k$. Non puoi conservare l'energia cinetica quando l'urto è anelastico.
$d=(m_pl)/(2(2m+m_p))$
Conservazione della quantità di moto
$m_pV_p=(2m+m_p)V_G$
Conservazione momento angolare rispetto al centro di massa
$m_pV_p(l/2-d)=[(m+m_p)(l/2-d)^2+m(l/2+d)^2]\omega$
Questo è il caso generale. Il tuo caso particolare si ottiene per $m_pto0^+$ e $V_pto+oo$ in modo tale che $m_pV_p=k$. Non puoi conservare l'energia cinetica quando l'urto è anelastico.
questi calcoli li avevo fatti anche io, ma il testo indica chiaramente di non tenere conto della massa del proiettile quindi il centro di massa non sarà altro che il centro dell'asta
Una domanda che ora mi sta facendo diventare matto è
"trovare la velocità iniziale subito dopo l'urto"
la domanda sulla velocità angolare è poi successiva
il testo non specifica quale velocità iniziale, quindi ho pensato che immediatamente dopo l'urto le due masse agli estremi dell'asta non abbiano ancora iniziato a ruotare, quindi la velocità sia puramente traslazionale. Peccato però che in una domanda ancora successiva si chieda quale sia la velocità del baricentro.
Suppongo che la velocità traslazionale iniziale coincida con quella del baricentro se non sbaglio. quindi sembrerebbe che mi stiano facendo due volte la stessa domanda.
Una domanda che ora mi sta facendo diventare matto è
"trovare la velocità iniziale subito dopo l'urto"
la domanda sulla velocità angolare è poi successiva
il testo non specifica quale velocità iniziale, quindi ho pensato che immediatamente dopo l'urto le due masse agli estremi dell'asta non abbiano ancora iniziato a ruotare, quindi la velocità sia puramente traslazionale. Peccato però che in una domanda ancora successiva si chieda quale sia la velocità del baricentro.
Suppongo che la velocità traslazionale iniziale coincida con quella del baricentro se non sbaglio. quindi sembrerebbe che mi stiano facendo due volte la stessa domanda.
Ho preferito risolvere il caso generale per completezza. In ogni modo hai ragione, trascurando la massa del proiettile senza trascurarne la quantità di moto, i conti si semplificano.
il moto dopo l'urto dovrebbe essere una rotazione delle due masse agli estremi dell'asta con una contemporanea traslazione del baricentro
ti scrivo qui l'intero esercizio e ti indico come lo sto risolvendo io
Esercizio:
(è una traduzione dal tedesco, quindi non è fatta benissimo
)
Un proiettile di massa $m_0$ e velocità $v_0$ si conficca in un corpo fermo in cui rimane piantato.
Questo corpo è un manubrio formato da due masse uguali $m$ unite da una sbarra di lunghezza $l$ e massa trascurabile
Questo manubrio è libero di muoversi senza gravità e non si deve considerare la variazione di massa causata dal proiettile
Le due masse del manubrio devono essere trattate come corpi puntiformi
a) Quanto è grande la velocità iniziale del corpo subito dopo l'urto?
b) Quanto è grande l'energia cinetica e la quantità di moto del manubrio immediatamente dopo conficcamento del proiettile?
c) Attorno a quale punti ruota il manubrio?
d) Quanto è grande la frequenza di rotazione, l'energia di rotazione e il momento angolare?
e) Con quale velocità si sposta il baricentro del manubrio dopo l'urto?
f) Quanto è grande l'energia totale prima dell'urto e quanto era grande dopo l'urto?
Punto a)
qui non mi è chiaro di quale velocità iniziale si intenda. Immagino che subito dopo l'impatto il manubrio non abbia ancora iniziato a ruotare, quindi la velocità è tutta traslazionale, ma coinciderebbe con la velocità del baricentro (che però la domanda "e")
domanda b) Proprio perchè il manubrio dovrebbe essere ancora fermo, l'energia cinetica e la quantità di moto dovrebbero essere gli stessi del proiettile. Sbaglio?
Punto c) ad intuito il manubrio giro intorno al suo baricentro, che, se trascuriamo la massa del proiettile, si trova nel centro dell'asta
Punto d)
Calcolo il momento angolare (in modulo) rispetto al baricentro come [tex]L = \frac{l}{2} \cdot m_{0} v_{0}[/tex]
uso solo la velocità e la massa del proiettile perchè le masse del manubrio ruotano, ma non traslano rispetto al baricentro, quindi non hanno quantità di moto
sapendo però che $L = omega I$ dove $I$ è il momento di inerzia calcolato come $I = 2m (l/2)^2$ ovvero dalla formula [tex]I = \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^2[/tex]
ponendo uguali tra loro queste due formule ricavo la velocità angolare $omega$ per cui la frequenza di rotazione $f=1/omega$
l'energia rotazionale la calcolo con [tex]E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}[/tex]
e il momento angolare l'ho calcolato prima ma posso ricalcolarlo come $L = omega I$
punto e) qui il problema... ma non era ciò che ho calcolato prima (vedi punto "a")
punto f) energia prima dell'urto e dopo l'urto
Supponendo che il tutto si compia alla stessa quota quindi non ci sia variazione di energia potenziale:
Direi che prima dell'urto l'energia è solo l'energia cinetica del proiettile, mentre dopo l'urto l'energia è composta dall'energia cinetica della traslazione del baricentro sommata all'energia cinetica rotazionale delle due masse
quindi
Prima dell'urto:
[tex]E = \frac{1}{2} m_ {0} v_{0}^{2}[/tex]
dopo l'urto:
[tex]E = \frac{1}{2} m_ {B} v_{B}^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}[/tex]
intendendo con [tex]m_ {B}[/tex] e [tex]v_ {B}[/tex] rispettivamente la massa del baricentro (ovvero la massa totale $2m$) e la velocità dal baricentro
che ne pensi?
ti scrivo qui l'intero esercizio e ti indico come lo sto risolvendo io
Esercizio:
(è una traduzione dal tedesco, quindi non è fatta benissimo
)Un proiettile di massa $m_0$ e velocità $v_0$ si conficca in un corpo fermo in cui rimane piantato.
Questo corpo è un manubrio formato da due masse uguali $m$ unite da una sbarra di lunghezza $l$ e massa trascurabile
Questo manubrio è libero di muoversi senza gravità e non si deve considerare la variazione di massa causata dal proiettile
Le due masse del manubrio devono essere trattate come corpi puntiformi
a) Quanto è grande la velocità iniziale del corpo subito dopo l'urto?
b) Quanto è grande l'energia cinetica e la quantità di moto del manubrio immediatamente dopo conficcamento del proiettile?
c) Attorno a quale punti ruota il manubrio?
d) Quanto è grande la frequenza di rotazione, l'energia di rotazione e il momento angolare?
e) Con quale velocità si sposta il baricentro del manubrio dopo l'urto?
f) Quanto è grande l'energia totale prima dell'urto e quanto era grande dopo l'urto?
Punto a)
qui non mi è chiaro di quale velocità iniziale si intenda. Immagino che subito dopo l'impatto il manubrio non abbia ancora iniziato a ruotare, quindi la velocità è tutta traslazionale, ma coinciderebbe con la velocità del baricentro (che però la domanda "e")
domanda b) Proprio perchè il manubrio dovrebbe essere ancora fermo, l'energia cinetica e la quantità di moto dovrebbero essere gli stessi del proiettile. Sbaglio?
Punto c) ad intuito il manubrio giro intorno al suo baricentro, che, se trascuriamo la massa del proiettile, si trova nel centro dell'asta
Punto d)
Calcolo il momento angolare (in modulo) rispetto al baricentro come [tex]L = \frac{l}{2} \cdot m_{0} v_{0}[/tex]
uso solo la velocità e la massa del proiettile perchè le masse del manubrio ruotano, ma non traslano rispetto al baricentro, quindi non hanno quantità di moto
sapendo però che $L = omega I$ dove $I$ è il momento di inerzia calcolato come $I = 2m (l/2)^2$ ovvero dalla formula [tex]I = \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^2[/tex]
ponendo uguali tra loro queste due formule ricavo la velocità angolare $omega$ per cui la frequenza di rotazione $f=1/omega$
l'energia rotazionale la calcolo con [tex]E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}[/tex]
e il momento angolare l'ho calcolato prima ma posso ricalcolarlo come $L = omega I$
punto e) qui il problema... ma non era ciò che ho calcolato prima (vedi punto "a")
punto f) energia prima dell'urto e dopo l'urto
Supponendo che il tutto si compia alla stessa quota quindi non ci sia variazione di energia potenziale:
Direi che prima dell'urto l'energia è solo l'energia cinetica del proiettile, mentre dopo l'urto l'energia è composta dall'energia cinetica della traslazione del baricentro sommata all'energia cinetica rotazionale delle due masse
quindi
Prima dell'urto:
[tex]E = \frac{1}{2} m_ {0} v_{0}^{2}[/tex]
dopo l'urto:
[tex]E = \frac{1}{2} m_ {B} v_{B}^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}[/tex]
intendendo con [tex]m_ {B}[/tex] e [tex]v_ {B}[/tex] rispettivamente la massa del baricentro (ovvero la massa totale $2m$) e la velocità dal baricentro
che ne pensi?
Secondo me, proprio per l'ambiguità del testo, sarebbe meglio comprendere il caso generale precedentemente trattato. In ogni modo, non è difficile scrivere la legge di moto del sistema, quindi di ogni suo punto, dopo l'urto. Onestamente, una volta compreso in modo rigoroso il moto dopo l'urto, in tutti i suoi aspetti, non vedo la necessità di rispondere alle domande dell'esercizio, specie se di difficile interpretazione. Voglio dire, così non fai certamente meno di quello che l'esercizio chiede.
Perdonami ma da come mi rispondi non riesco a capire se i miei ragionamenti sia corretti.
O meglio stando a come dici, visto che il caso generale che mi hai indicato tu coincide con ciò che avevo calcolato io sembrerebbe che il mio ragionamento sia giusto.
O meglio stando a come dici, visto che il caso generale che mi hai indicato tu coincide con ciò che avevo calcolato io sembrerebbe che il mio ragionamento sia giusto.
Come hai giustamente argomentato, intendi interpretare l'esercizio trascurando la massa del proiettile senza trascurare la sua quantità di moto. Interpretazione più che ragionevole, visto che altrimenti non si avrebbe alcun moto dopo l'urto. Per questo motivo ho apportato alcune modifiche ai miei post precedenti. Per rendere rigoroso questo procedimento, è necessario supporre che $m_pto0^+$ e $V_pto+oo$ in modo tale che $m_pV_p=k$. In questo modo si ottiene un duplice risultato: il moto dopo l'urto, dato che i primi membri delle equazioni di conservazione non sono più nulli, e la possibilità di trascurare la massa del proiettile dopo l'urto, dato che la velocità iniziale del proiettile non compare nei secondi membri e $m_pto0^+$. Di fatto, stupidamente, non avevo notato che la sola condizione $m_pto0^+$ rendeva nullo anche il momento angolare, quindi non solo assenza di traslazione, ma anche di rotazione, rendendo l'esercizio privo di senso. Per quanto riguarda la posizione del centro di massa dopo l'urto, potendo considerare, mediante quell'artificio matematico, a tutti gli effetti la massa del proiettile trascurabile, non vi è ombra di dubbio che possa essere considerato il centro del manubrio. A presto. 
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