Dubbio meccanica razionale
Salve a tutti!
Nello studio della cinematica del punto non mi è chiara una cosa.
Supponiamo di avere un punto $ P $ di massa $ m $ vincolato ad una circonferenza di raggio $ R $ , tale punto è collegato a due molle di costante elastica $ h $ e $ k $ e fissate sull'asse x a distanza $ +- R/2 $ rispettivamente.
Suppongo per semplicità che i vincoli siano lisci e trovo le componenti delle forze .
Perchè dopo aver trovato le componenti devo proiettarle sul sistema di riferimento del punto ( vettori $ t , n $ vettore tangente e normale)? non riesco a capire questo passaggio, cioè la proiezione delle forze su quei vettori.
grazie mille.
Nello studio della cinematica del punto non mi è chiara una cosa.
Supponiamo di avere un punto $ P $ di massa $ m $ vincolato ad una circonferenza di raggio $ R $ , tale punto è collegato a due molle di costante elastica $ h $ e $ k $ e fissate sull'asse x a distanza $ +- R/2 $ rispettivamente.
Suppongo per semplicità che i vincoli siano lisci e trovo le componenti delle forze .
Perchè dopo aver trovato le componenti devo proiettarle sul sistema di riferimento del punto ( vettori $ t , n $ vettore tangente e normale)? non riesco a capire questo passaggio, cioè la proiezione delle forze su quei vettori.
grazie mille.
Risposte
Non devi. Dipende da cosa ti chiede l'esercizio. Normalmente e' piu' facile trovare le componenti lungo t,n oppure i,j. Tutto li.
Grazie per la risposta , diciamo che questo è un esercizio svolto in classe col prof. dovevamo studiare quando il punto è in equilibrio, ora dalla fisica ricordo che un corpo è in equilibrio quando la somma delle forze agenti sullo stesso è zero, non capisco perchè abbia voluto fare questo ulteriore passaggio.
Sviluppo a richiesta:
Dati;
Punto P di massa m vincolato su una circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio , sul punto P sono attaccate due molle di costante elastica h e k e fissate a P e all'asse x nei punti +- R.
Sviluppo le forze per componenti:
chiamo i versori del piano $ e1, e2 $ rispettivamente per l'asse x e y;
Forza peso: $ -mg * e2 $
Forza molla 1
$ MP*h $ dove $ MP $ è il vettore posizione che congiunge la molla al punto P
ora $ MP = PO + OP =( -R*cos \vartheta *e1 -R*sin \vartheta *e2 ) + R/2 *e1 $
Forza molla 2
$ NP*k $ dove $ NP $ è il vettore posizione che congiunge la molla al punto P
ora $ NP = PO + ON = (-R cos \vartheta *e1 - R*sin \vartheta *e2) - R/2*e2 $
Ora sommo le forze per componenti e impongo l'equilibrio
$ [(h-k)*R/2 - (h+k)*R*cos \vartheta ]*e1 + [- (h+k)*R*sin \vartheta -mg] *e2 $
ora perchè non posso imporre direttamente che le due componenti della forza si annullino ? come mai devo proiettare queste foeze sul sistema di riferimento del punto?
Il professore prosegue nel calcolo calcolando le componenti lungo il versore $ t = -sin \vartheta *e1 + cos \vartheta *e2 $
moltiplicando le componenti delle forze per questo versore si ottiene
$ (k-h)*R/2*sin \vartheta -mg*cos \vartheta $
si impone uguale a zero e si ottiene un angolo di equilibrio.
come mai questo ulteriore passaggio di moltiplicazione per il versore? non si poteva trovare lo stesso anglolo nel passaggio precedente? grazie a chiunque voglia dedicarci del tempo.
Dati;
Punto P di massa m vincolato su una circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio , sul punto P sono attaccate due molle di costante elastica h e k e fissate a P e all'asse x nei punti +- R.
Sviluppo le forze per componenti:
chiamo i versori del piano $ e1, e2 $ rispettivamente per l'asse x e y;
Forza peso: $ -mg * e2 $
Forza molla 1
$ MP*h $ dove $ MP $ è il vettore posizione che congiunge la molla al punto P
ora $ MP = PO + OP =( -R*cos \vartheta *e1 -R*sin \vartheta *e2 ) + R/2 *e1 $
Forza molla 2
$ NP*k $ dove $ NP $ è il vettore posizione che congiunge la molla al punto P
ora $ NP = PO + ON = (-R cos \vartheta *e1 - R*sin \vartheta *e2) - R/2*e2 $
Ora sommo le forze per componenti e impongo l'equilibrio
$ [(h-k)*R/2 - (h+k)*R*cos \vartheta ]*e1 + [- (h+k)*R*sin \vartheta -mg] *e2 $
ora perchè non posso imporre direttamente che le due componenti della forza si annullino ? come mai devo proiettare queste foeze sul sistema di riferimento del punto?
Il professore prosegue nel calcolo calcolando le componenti lungo il versore $ t = -sin \vartheta *e1 + cos \vartheta *e2 $
moltiplicando le componenti delle forze per questo versore si ottiene
$ (k-h)*R/2*sin \vartheta -mg*cos \vartheta $
si impone uguale a zero e si ottiene un angolo di equilibrio.
come mai questo ulteriore passaggio di moltiplicazione per il versore? non si poteva trovare lo stesso anglolo nel passaggio precedente? grazie a chiunque voglia dedicarci del tempo.
Siccome i vincoli sono lisci, la reazione ha componente nulla lungo il versore tangente alla circonferenza. Quindi scomponendo lungo quella direzione eviti di dover calcolare la reazione della guida, cosa che invece dovresti mettere in conto se annullassi subito lungo x e y.
perfetto grazie! proiettare le forze sulla componente normale cosa implica ? un'ultima richiesta : dove posso trovare degli esecizi svolti su questa parte per capire bene come procedere ?
"w3ns":
perfetto grazie! proiettare le forze sulla componente normale cosa implica ? un'ultima richiesta : dove posso trovare degli esecizi svolti su questa parte per capire bene come procedere ?
Normale alla circonferenza? Implica che l'equazione che imposti avra' anche un termine incognito N dovuto alla forza di reazione del vincolo. Quindi devi trovare un altra equazione per stabilire il modulo di quella forza o non risolvi.
Prenditi un buon libro di meccanica razionale. Io mi son laureato taaaanti anni fa, quindi non sono aggiornato.
Ne ho due di meccanica razionale..
grazie per la pazienza!
grazie per la pazienza!
Figurati.
Se hai altri esercizi e vuoi verificarne la soluzione, questo e' il posto giusto.
Se hai altri esercizi e vuoi verificarne la soluzione, questo e' il posto giusto.
Allora ho calcolato le componenti della forza sul vettore normale alla circonferenza
$ (-cos \vartheta *e1 -sin \vartheta *e2) $
risulta dal calcolo:
$ (h-k)*(R/2 ) * cos \vartheta + (h+k)*R + mg*sin \vartheta $
ora come faccio a trovare la reazione vincolare normale? devo imporre questa equazione uguale a zero o ugale a una certa forza di reazione del vincolo $ Rn $ ?
$ (-cos \vartheta *e1 -sin \vartheta *e2) $
risulta dal calcolo:
$ (h-k)*(R/2 ) * cos \vartheta + (h+k)*R + mg*sin \vartheta $
ora come faccio a trovare la reazione vincolare normale? devo imporre questa equazione uguale a zero o ugale a una certa forza di reazione del vincolo $ Rn $ ?
Alla reazione del vincolo. Lungo la normale alla circonferenza esiste la reazione vincolre.
Nota che in questo modo non trovi il punto di equilibrio, trovi solo il modulo della reazione normale al variare della posizione del punto sulla circonferenza.
L'equilibrio lo ottieni annullando TUTTE le forze (inclusa la reazione normale) lungo due assi arbitrariamente scelti.
Arbitrario non significa che scegli il sistema a caso, a pisello di segugio. Arbitrario significa che scegli tu, quindi se sei furbo, prendi come assi quello tangente e quello normale.
Lungo la tangente te ne freghi della reazione nromale, perche essa non ha componenti (e' quello che fai il tuo professore). Lungo la normale, ti viene ovviamente 0, perche l'hai imposta tu nulla nell'ultima equazione.
Se scegliessi, poco furbescamente x-y, dovresti scomporre tutte le forze (inclusa la reazione) lungo x e y, cosa che ti complica iuntilmente i calcoli
Nota che in questo modo non trovi il punto di equilibrio, trovi solo il modulo della reazione normale al variare della posizione del punto sulla circonferenza.
L'equilibrio lo ottieni annullando TUTTE le forze (inclusa la reazione normale) lungo due assi arbitrariamente scelti.
Arbitrario non significa che scegli il sistema a caso, a pisello di segugio. Arbitrario significa che scegli tu, quindi se sei furbo, prendi come assi quello tangente e quello normale.
Lungo la tangente te ne freghi della reazione nromale, perche essa non ha componenti (e' quello che fai il tuo professore). Lungo la normale, ti viene ovviamente 0, perche l'hai imposta tu nulla nell'ultima equazione.
Se scegliessi, poco furbescamente x-y, dovresti scomporre tutte le forze (inclusa la reazione) lungo x e y, cosa che ti complica iuntilmente i calcoli
ok credo di aver capito! ci vediamo al prossimo esercizio! grazie mille!!!!
ci vediamo al prossimo esercizio! grazie mille!!!!
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