Dubbio integrale velocità
Salve a tutti!
Non ho capito perchè spesso quando si ricava la formula (per esempio)
della velocità utilzzando gli integrali, si utilizzano degli estremi
di integrazione diversi.
Cioè perchè si scrive:
$a(t)={dv(t)}/{dt}\Rightarrow a(t)dt=dv(t)\Rightarrow \int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{v_{0}}^{v}dv(t)$
e non invece
$\Rightarrow\int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{t_{0}}^{t}dv(t)=\int_{t_{0}}^{t}v'(t)dt=[v(t)]_{t_{0}}^{t}=v(t)-v(t_{0})$ ???
In pratica, se ho un uguaglianza e voglio calcolare un integrale
definito, non dovrei usare gli stessi estremi di integrazione??
Il "sistema" che ho utilizzato io è corretto( il 2°)??
Non ho capito perchè spesso quando si ricava la formula (per esempio)
della velocità utilzzando gli integrali, si utilizzano degli estremi
di integrazione diversi.
Cioè perchè si scrive:
$a(t)={dv(t)}/{dt}\Rightarrow a(t)dt=dv(t)\Rightarrow \int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{v_{0}}^{v}dv(t)$
e non invece
$\Rightarrow\int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{t_{0}}^{t}dv(t)=\int_{t_{0}}^{t}v'(t)dt=[v(t)]_{t_{0}}^{t}=v(t)-v(t_{0})$ ???
In pratica, se ho un uguaglianza e voglio calcolare un integrale
definito, non dovrei usare gli stessi estremi di integrazione??
Il "sistema" che ho utilizzato io è corretto( il 2°)??
Risposte
E' no, l'integrale ha come variabile di integrazione $dv$.....poi puoi benissimo suppore che è una funzione del tempo e quindi scriverla come hai fatto te
E' ovviamente corretto il primo, e questo lo puoi facilmente capire dal teorema di integrazione per sostituzione. In altre parole se $f(x)$ è una funzione integrabile e $\phi(t)$ una differenziabile nell'intervallo $[a,b]$ allora
$\int_(\phi(a))^(\phi(b))f(x)dx=\int_a^bf(\phi(t))\phi'(t)dt$
con $\phi(t)=x$ e $\phi'(t)=(dx)/(dt)$
In realtà è corretto anche come hai fatto tu, anche se è come se avessi considerato l'integrazione sul tempo. Quello che sicuramente non è corretto è scrivere:
$\int_(t_0)^tdv(t)$
$\int_(\phi(a))^(\phi(b))f(x)dx=\int_a^bf(\phi(t))\phi'(t)dt$
con $\phi(t)=x$ e $\phi'(t)=(dx)/(dt)$
In realtà è corretto anche come hai fatto tu, anche se è come se avessi considerato l'integrazione sul tempo. Quello che sicuramente non è corretto è scrivere:
$\int_(t_0)^tdv(t)$
cito:
"In realtà è corretto anche come hai fatto tu, anche se è come se avessi considerato l'integrazione sul tempo. Quello che sicuramente non è corretto è scrivere:
$\int_{t_{0}}^{t}dv(t)$"
Scusami ma non riesco a capire perchè!
Cioè...io ho 2 funzioni nella variabile $t$
tali che $f(t)=a(t)dt$ e $g(t)=dv(t)=v'(t)dt$
per cui se ho che $f(t)=g(t)\Rightarrow\int_{t_{0}}^{t}f(t)=\int_{t_{0}}^{t}g(t)$
"In realtà è corretto anche come hai fatto tu, anche se è come se avessi considerato l'integrazione sul tempo. Quello che sicuramente non è corretto è scrivere:
$\int_{t_{0}}^{t}dv(t)$"
Scusami ma non riesco a capire perchè!
Cioè...io ho 2 funzioni nella variabile $t$
tali che $f(t)=a(t)dt$ e $g(t)=dv(t)=v'(t)dt$
per cui se ho che $f(t)=g(t)\Rightarrow\int_{t_{0}}^{t}f(t)=\int_{t_{0}}^{t}g(t)$
cioè mi confonde il passaggio logico!
Una cosa è dire" visto che so che $int_{t_{0}}^{t}dv(t)=int_{t_{0}}^{t}v'(t)dt=v(t)-v(t_0)$
$=z-z_0=int_{z_{0}}^{z}dz=int_{v(t_0)}^{v(t)}dv(t)$
allora non scrivo proprio gli estremi $t_0$ e $t$, ma scrivo direttamente $v(t_0)$ e $v(t)$"
e la cosa mi starebbe bene. In pratica ometterei dei passaggi.
Un altra cosa è il fatto di poter integrare 2 funzioni uguali in 2 variabili diverse;
che poi le variabili sarebbero $v(t_0)$ e $v(t)$ e non $v_0$ e $v$!
Una cosa è dire" visto che so che $int_{t_{0}}^{t}dv(t)=int_{t_{0}}^{t}v'(t)dt=v(t)-v(t_0)$
$=z-z_0=int_{z_{0}}^{z}dz=int_{v(t_0)}^{v(t)}dv(t)$
allora non scrivo proprio gli estremi $t_0$ e $t$, ma scrivo direttamente $v(t_0)$ e $v(t)$"
e la cosa mi starebbe bene. In pratica ometterei dei passaggi.
Un altra cosa è il fatto di poter integrare 2 funzioni uguali in 2 variabili diverse;
che poi le variabili sarebbero $v(t_0)$ e $v(t)$ e non $v_0$ e $v$!
Come ti ho mostrato nel precedente postose cambi la variabile rispetto alla quale stai integrando devono cambiare anche gli estremi di integrazione. Se tu scrivi
$\int_(t_0)^tdv(t)$
stai integrando rispetto alla tensione $v(t)$ e esplicitandone la sua dipendenza dal tempo; ma la variabile di integrazione rimane sempre $v$. Per questo non è corretto scrivere che sia compresa tra due tempi.
$\int_(t_0)^tdv(t)$
stai integrando rispetto alla tensione $v(t)$ e esplicitandone la sua dipendenza dal tempo; ma la variabile di integrazione rimane sempre $v$. Per questo non è corretto scrivere che sia compresa tra due tempi.
Ma perchè tu intendi $dv(t)$ come un simbolo che indica la variabile $v(t)$
Io invece lo intendo come funzione differenziale $dv(t)=v'(t)dt$
Io invece lo intendo come funzione differenziale $dv(t)=v'(t)dt$
Si ma è così....$dv(t)$ è riferito a $v(t)$ e non a $t$. Nello scrivere $dv(t)=v'(t)dt$ stai facendo un cambiamento di variabile di integrazione. Ancora una volta, ti esorto a vedere meglio il teorema di integrazione per sostituzione. E se non ti convince la sola enunciazione riguardati anche la dimostrazione.
Cioe in pratica tu dici che devo sempre considerare come eestremi di integrazione dei valori che facciano parte del dominio della funzione in questione; e quindi nel caso della funzione $v(t)$ dovrei prendere dei valori del tipo $v(t_0),v(t)$ altrimenti quella scrittura non ha senso... giusto?
(A parte che però non si capisce perchè scrivono $v_0,v$ al posto di $v(t_0), v(t)$)
Ma, a questo punto, si potrebbe dire che il passaggio intermedio "$a(t)dt=v(t)$ è assolutamente inutile (e anzi fuorviante) ai fini della giustificazione di "$int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{v(t_0)}^{v(t)}dv(t)dt$" :
Sarebbe meglio scrivere che:
$a(t)=v'(t)\Rightarrow\int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{t_{0}}^{t}v'(t)dt=v(t)-v(t0)=\int_{v(t_0)}^{v(t)}dv(t)dt$
che poi equivale a
$a(t)=\frac(dv(t))(dt)\Rightarrow\int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{t_{0}}^{t}\frac(dv(t))(dt)dt=v(t)-v(t0)=\int_{v(t_0)}^{v(t)}dv(t)dt$
PS: cmq grazie del tempo che stai perdendo per rispondermi....
(A parte che però non si capisce perchè scrivono $v_0,v$ al posto di $v(t_0), v(t)$)
Ma, a questo punto, si potrebbe dire che il passaggio intermedio "$a(t)dt=v(t)$ è assolutamente inutile (e anzi fuorviante) ai fini della giustificazione di "$int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{v(t_0)}^{v(t)}dv(t)dt$" :
Sarebbe meglio scrivere che:
$a(t)=v'(t)\Rightarrow\int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{t_{0}}^{t}v'(t)dt=v(t)-v(t0)=\int_{v(t_0)}^{v(t)}dv(t)dt$
che poi equivale a
$a(t)=\frac(dv(t))(dt)\Rightarrow\int_{t_{0}}^{t}a(t)dt=\int_{t_{0}}^{t}\frac(dv(t))(dt)dt=v(t)-v(t0)=\int_{v(t_0)}^{v(t)}dv(t)dt$
PS: cmq grazie del tempo che stai perdendo per rispondermi....
Cioe in pratica tu dici che devo sempre considerare come eestremi di integrazione dei valori che facciano parte del dominio della funzione in questione
Esatto. Ma non lo dico io...ma un teorema
Non capisco la seguente relazione
$\int_(t_0)^tv'(t)dt=\int_(v(t_0))^(v(t))dv(t)dt$
Non è corretta. A secondo membro ci vuole solo il $dv(t)$
Si sì ovviamente; mi sono confuso....
... mi sà che ho scritto troppi differenziali ....
...
mi sà che ho scritto troppi differenziali ....
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