Dubbio induzione elettromagnetica
Ciao, vorrei sapere se i due modi che userò per risolvere quest'esercizio sono entrambi corretti (ed eventualmente perchè) o lo è solo il primo.
Una spira quadrata di lato L=2cm giace sul medesimo piano e col centro coincidente col centro di una seconda spira circolare di raggio r=25cm, assai più grande del lato L. Se nella spira quadrata una corrente dipendente dal tempo secondo la legge i(t)=I cos (omega t), con I=5A e omega=150 s^(-1), si chiede quale sia il valore massimo della corrente indotta nella spira circolare, sapendo che la resistenza elettrica di questa è pari a R=0,45 ohm.
1° metodo:
Noto il coefficiente di mutua induzione M tra i due circuiti, il valore della corrente indotta nella
spira circolare sarà
I(indotta)=-(1/R) * (dΦ(B)/dt)= -(M/R)* (di/dt)= -(M/R) ω I sen (ω t)
Per il calcolo di M, esso è dato dal rapporto tra il flusso del campo B che sarebbe generato da una
corrente che fluisse nella spira circolare attraverso l’area della spira quadrata e la corrente stessa
M=BL^2/i=μiL^2/(2ri)=μL^2/2r
da cui
i(max)=μL^2ωI/(2rR)=1,67 10(-6)
2° metodo:
qui ho un dubbio: al posto di calcolare il coefficiente di mutua induzione, si può scrivere il flusso come integrale di B in dS?
Avrei:
dΦ(B)/dt=(μ/2r)*L^2*(di/dt)
dove ho moltiplicato il campo magnetico presente nella spira circolare,derivando rispetto al tempo la corrente, e la superficie della spira quadrata.
I due risultati finali combaciano, il mio prof. sostiene che il secondo metodo utilizzato non è appropriato.
Grazie con anticipo
Una spira quadrata di lato L=2cm giace sul medesimo piano e col centro coincidente col centro di una seconda spira circolare di raggio r=25cm, assai più grande del lato L. Se nella spira quadrata una corrente dipendente dal tempo secondo la legge i(t)=I cos (omega t), con I=5A e omega=150 s^(-1), si chiede quale sia il valore massimo della corrente indotta nella spira circolare, sapendo che la resistenza elettrica di questa è pari a R=0,45 ohm.
1° metodo:
Noto il coefficiente di mutua induzione M tra i due circuiti, il valore della corrente indotta nella
spira circolare sarà
I(indotta)=-(1/R) * (dΦ(B)/dt)= -(M/R)* (di/dt)= -(M/R) ω I sen (ω t)
Per il calcolo di M, esso è dato dal rapporto tra il flusso del campo B che sarebbe generato da una
corrente che fluisse nella spira circolare attraverso l’area della spira quadrata e la corrente stessa
M=BL^2/i=μiL^2/(2ri)=μL^2/2r
da cui
i(max)=μL^2ωI/(2rR)=1,67 10(-6)
2° metodo:
qui ho un dubbio: al posto di calcolare il coefficiente di mutua induzione, si può scrivere il flusso come integrale di B in dS?
Avrei:
dΦ(B)/dt=(μ/2r)*L^2*(di/dt)
dove ho moltiplicato il campo magnetico presente nella spira circolare,derivando rispetto al tempo la corrente, e la superficie della spira quadrata.
I due risultati finali combaciano, il mio prof. sostiene che il secondo metodo utilizzato non è appropriato.
Grazie con anticipo
Risposte
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Per invogliare gli altri utenti a leggere il tuo topic ti consiglio di usare l'editor per le formule.
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il primo metodo è corretto nell' approssimazione in cui si considera il campo magnetico generato dalla spira circolare costante attraverso la superficie della spira quadrata.
Cosa ragionevole se consideriamo le dimensioni lineare degli oggetti in gioco.Ed infatti come avrai notato il campo magnetico usato nel calcolo è quello generato dalla spira circolare nel suo centro: questo campo è inoltre ortogonale alla superficie della spira quadrata e dunque il flusso di B è un semplice prodotto tra valore del campo e superficie.
In questo modo abbiamo calcolato il coefficiente di mutua induzione della spira circolare rispetto a quella quadrata e sapendo che è lo stesso di quello della spira quadrata rispetto a quella circolare ce ne siamo serviti per calcolare il flusso del campo magnetico generato dalla spira quadrata attraverso la superficie circolare.
Il secondo metodo non è appropriato per il semplice motivo che è di notevolissima difficoltà(penso impossibile senza ricorrere a un computer) calcolare il flusso del campo magnetico generato dalla corrente che circola nella spira quadrata attraverso la superficie della spira circolare con un calcolo diretto.
Ricorda che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superfice è definito da:
$\int int_(Sigma) vec B * hat n ds$
Bisogna consocere prima di tutto il valore del campo generato dalla spira rettangolare nella regione di spazio circolare delimitata dall'altra spira e poi risolvere l' integrale. Non è certo un conto umanamente fattibile come d'altronde non lo sarebbe stato neanche il primo se non ci fosse stato detto che le dimensioni lineari di una spira erano molto minori di quelle dell' altra spira.
Sicuro che sia così facile calcolare il campo magnetico nella regione di spazio circolare?Inoltre la superficie attraverso cui fare il flusso è quella circolare non quella quadrata:infatti cerchiamo la corrente indotta nella spira circolare.
Nel primo metodo ci siamo serviti del fatto che il coefficiente di mutua induzione della spira circolare rispetto a quella quadrata è uguale a quello della spira quadrata rispetto a quello circolare.
Cosa ragionevole se consideriamo le dimensioni lineare degli oggetti in gioco.Ed infatti come avrai notato il campo magnetico usato nel calcolo è quello generato dalla spira circolare nel suo centro: questo campo è inoltre ortogonale alla superficie della spira quadrata e dunque il flusso di B è un semplice prodotto tra valore del campo e superficie.
In questo modo abbiamo calcolato il coefficiente di mutua induzione della spira circolare rispetto a quella quadrata e sapendo che è lo stesso di quello della spira quadrata rispetto a quella circolare ce ne siamo serviti per calcolare il flusso del campo magnetico generato dalla spira quadrata attraverso la superficie circolare.
Il secondo metodo non è appropriato per il semplice motivo che è di notevolissima difficoltà(penso impossibile senza ricorrere a un computer) calcolare il flusso del campo magnetico generato dalla corrente che circola nella spira quadrata attraverso la superficie della spira circolare con un calcolo diretto.
Ricorda che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superfice è definito da:
$\int int_(Sigma) vec B * hat n ds$
Bisogna consocere prima di tutto il valore del campo generato dalla spira rettangolare nella regione di spazio circolare delimitata dall'altra spira e poi risolvere l' integrale. Non è certo un conto umanamente fattibile come d'altronde non lo sarebbe stato neanche il primo se non ci fosse stato detto che le dimensioni lineari di una spira erano molto minori di quelle dell' altra spira.
Sicuro che sia così facile calcolare il campo magnetico nella regione di spazio circolare?Inoltre la superficie attraverso cui fare il flusso è quella circolare non quella quadrata:infatti cerchiamo la corrente indotta nella spira circolare.
Nel primo metodo ci siamo serviti del fatto che il coefficiente di mutua induzione della spira circolare rispetto a quella quadrata è uguale a quello della spira quadrata rispetto a quello circolare.
ma quindi è una pura coincidenza il fatto che il risultato finale venga uguale?
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