Dubbio evoluzione temporale in MQ
Buongiorno a tutti!
Ho alcuni dubbi riguardo l'evoluzione temporale di uno stato in meccanica quantistica, onestamente anche un po banali ma non riesco a darmi delle risposte soddisfacenti. Supponiamo di avere un'hamiltoniana non dipendente dal tempo e uno stato espresso in termini di autostati per H. In queste condizioni abbiamo un'espressione nota per il propagatore e l'evoluzione dello stato che ci è data da [tex]{\psi(t)} = e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}{\psi(0)}[/tex]. Quindi vediamo che l'evoluzione temporale di uno stato viene espressa attraverso un fattore di fase che varia col tempo e viene visto come una rotazione del nostro stato.
E' proprio qui che mi vengono dei dubbi, che si intende per rotazione del nostro stato in uno spazio di HIlbert? Fisicamente cosa rappresenta questa rotazione dello stato?
Siccome un fattore di fase è ininfluente significa che lo stato è lo stesso di quello al tempo t=0, così come lo sono gli autovalori dell'hamiltoniana che descrivono il sistema, quindi mi aspetto che questi non cambino. Intuitivamente invece se penso all'evoluzione temporale di una particella libera e la rappresento nelle coordinate mi aspetto che il pacchetto che descrive lo stato si sposti nello spazio e quindi cambi il suo autovalore dell'operatore di posizione, è corretto?
Ho un po di confusione al riguardo
spero riusciate a chiarirmi qualche concetto grazie!!
Ho alcuni dubbi riguardo l'evoluzione temporale di uno stato in meccanica quantistica, onestamente anche un po banali ma non riesco a darmi delle risposte soddisfacenti. Supponiamo di avere un'hamiltoniana non dipendente dal tempo e uno stato espresso in termini di autostati per H. In queste condizioni abbiamo un'espressione nota per il propagatore e l'evoluzione dello stato che ci è data da [tex]{\psi(t)} = e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}{\psi(0)}[/tex]. Quindi vediamo che l'evoluzione temporale di uno stato viene espressa attraverso un fattore di fase che varia col tempo e viene visto come una rotazione del nostro stato.
E' proprio qui che mi vengono dei dubbi, che si intende per rotazione del nostro stato in uno spazio di HIlbert? Fisicamente cosa rappresenta questa rotazione dello stato?
Siccome un fattore di fase è ininfluente significa che lo stato è lo stesso di quello al tempo t=0, così come lo sono gli autovalori dell'hamiltoniana che descrivono il sistema, quindi mi aspetto che questi non cambino. Intuitivamente invece se penso all'evoluzione temporale di una particella libera e la rappresento nelle coordinate mi aspetto che il pacchetto che descrive lo stato si sposti nello spazio e quindi cambi il suo autovalore dell'operatore di posizione, è corretto?
Ho un po di confusione al riguardo
spero riusciate a chiarirmi qualche concetto grazie!!
Risposte
Ciao,
Quello che hai scritto è l'Operatore di Evoluzione Temporale, quando l'Hamiltoniana non dipende dal tempo si ha che:
$U(t)=e^((-iHt)/h)$
Come abbiamo detto questo è un operatore, e come tutti gli operatori, sai benissimo anche te che se applicato ad un vettore esso lo "modifica" in qualche modo.
Nel nostro caso, l'operatore "modifica" lo stato $Psi(x,0)$, facendolo "evolvere ne tempo".
In questi casi però si parla di stati stazionari. Uno stato stazionario è chiamato "stazionario" perché il sistema rimane nello stesso stato in cui il tempo trascorre
La particolarità di questi stati stazionari è che sono dal "punto di vista matematico" non costanti:
$|Psi(t)>$ $=e^((-iE_(psi)t)/h)|Psi(0)>$
Tuttavia, tutte le proprietà Fisiche e osservabili dello stato sono costanti, cioè non cambiano col tempo, come ad esempio la probabilità:
$|Psi(x,t)|^2=|U(t)Psi(x,0)|^2=|Psi(x,0|^2$
che è indipendente dal tempo.
Come già detto però, questo è vero quando la Hamiltoniana non cambia con il tempo.
Spero di averti un minimo aiutato a comprendere un po' meglio
Ciao
Quello che hai scritto è l'Operatore di Evoluzione Temporale, quando l'Hamiltoniana non dipende dal tempo si ha che:
$U(t)=e^((-iHt)/h)$
Come abbiamo detto questo è un operatore, e come tutti gli operatori, sai benissimo anche te che se applicato ad un vettore esso lo "modifica" in qualche modo.
Nel nostro caso, l'operatore "modifica" lo stato $Psi(x,0)$, facendolo "evolvere ne tempo".
In questi casi però si parla di stati stazionari. Uno stato stazionario è chiamato "stazionario" perché il sistema rimane nello stesso stato in cui il tempo trascorre
La particolarità di questi stati stazionari è che sono dal "punto di vista matematico" non costanti:
$|Psi(t)>$ $=e^((-iE_(psi)t)/h)|Psi(0)>$
Tuttavia, tutte le proprietà Fisiche e osservabili dello stato sono costanti, cioè non cambiano col tempo, come ad esempio la probabilità:
$|Psi(x,t)|^2=|U(t)Psi(x,0)|^2=|Psi(x,0|^2$
che è indipendente dal tempo.
Come già detto però, questo è vero quando la Hamiltoniana non cambia con il tempo.
Spero di averti un minimo aiutato a comprendere un po' meglio
Ciao
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