Dubbio esercizio sulla conservazione del momento angolare
salve a tutti , questo è il problema che mi ha fatto venire il dubbio che fra poco illustrerò.
in questo problema per calcolare l'altezza "h" da cui è caduto il disco , all'inizio volevo utilizzare la conservazione dell'energia anche se poi mi sono accorto che ,dal momento che l'urto tra il piolo e il disco è anelastico, questa non si conserva. Allora ho pensato di utilizzare la conservazione del momento angolare rispetto al piolo P fermo (che è il mio vincolo ), e quindi ho pensato che $ 1/2 M R^2 w $ = $ 3/2 M R^2 w $ che sarebbe il momento d'inerzia del disco che ruota rispetto il polo P per la velocità angolare finale del disco . Ma anche così il risultato non mi tornava perchè infatti consideravo solamente il movimento rotazionale del disco e non quello traslatorio che compie nella caduta ... quindi ho scoperto che al momento angolare iniziale oltre ad $ 1/2 M R^2 w $ devo aggiungere $ M(disco)*Vcm*R $ . Ed è proprio qui che sorge il dubbio : non mi è ben chiaro come mai bisogna aggiungere questo secondo pezzo e non capisco cosa bisogna considerare come raggio (se l'effettivo raggio del disco o qualche distanza del centro del disco rispetto il piolo ). In pratica non capisco come mai se si parla di conservazione del momento angolare debba considerare anche il movimento traslatorio del disco causato dalla caduta e perchè si utilizza questa formula $ M(disco)*Vcm*R $ ...
Grazie
Risposte
Teorema di Koenig del momento angolare:
$vec(L_O)=vec(L_G)+vec(OG) xx Mvec(V_G)$
Dove $vec(L_O)$ è il momento angolare di un sistema rispetto a un polo fisso $O$ e $vec(L_G)$ è il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa.
Nel tuo caso, istantaneamente prima dell'urto, devi considerare il momento angolare del sistema (ossia il disco che ruota) rispetto al punto P, che pertanto per il precedente teorema sarà:
$L_1=1/2MR^2omega_1+MV_GR$
Anche dopo l'urto, quando il corpo si attacca a P e ruota attorno a esso, vale ancora quel teorema, però adesso ci troviamo in una situazione differente dato che il corpo ruota attorno a un punto fisso, e pertanto il momento angolare del sistema può essere semplificato grazie al teorema di huygens-steiner che porta a $L_2=3/2MR^2omega_2$
$vec(L_O)=vec(L_G)+vec(OG) xx Mvec(V_G)$
Dove $vec(L_O)$ è il momento angolare di un sistema rispetto a un polo fisso $O$ e $vec(L_G)$ è il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa.
Nel tuo caso, istantaneamente prima dell'urto, devi considerare il momento angolare del sistema (ossia il disco che ruota) rispetto al punto P, che pertanto per il precedente teorema sarà:
$L_1=1/2MR^2omega_1+MV_GR$
Anche dopo l'urto, quando il corpo si attacca a P e ruota attorno a esso, vale ancora quel teorema, però adesso ci troviamo in una situazione differente dato che il corpo ruota attorno a un punto fisso, e pertanto il momento angolare del sistema può essere semplificato grazie al teorema di huygens-steiner che porta a $L_2=3/2MR^2omega_2$
Grazie per la risposta!
Da quel che ho capito , indicando con "sistema" tutti i corpi che vanno presi in considerazione nel problema, $ vec(L_G) $ è il momento angolare del centro di massa di tutti i corpi presi in considerazione e quindi nel mio caso solo del disco, cioè $ I_(CM_(disco))*w $ . Con $ vec(OG) $ si intende la distanza del CM del sistema dal polo fisso O immediatamente prima dell'urto, vero ? Nel mio caso perciò questa distanza è assimilabile al raggio del disco. "M" indica la massa totale del sistema e $ vec(V_G) $ la velocità con cui si sposta , nel mio caso $ V=sqrt(2gh) $ .
Inoltre da come mi dici nelle ultime 3 righe questo teorema vale sempre, ma praticamente si utilizza quando vi è traslazione di un sistema , mentre se vi è solamente rotazione posso semplicemente utilizzare il teorema di Huygens-Steiner; è così ,giusto ?
Infine volevo chiederti , per capire meglio, se nel disco all'inizio non ci fosse stata rotazione attorno al suo asse passante per il CM (dunque $ vec(w_o $ = 0 rad/s) e dopo l'urto col piolo si comportasse come descritto nel problema stesso, quindi con una certa velocità angolare, per risolverlo si utilizza sempre la conservazione del momento angolare con il 1° teorema di Konig, assumendo $ vec(L_G) = 0$ per indicare il momento angolare immediatamente prima dell'urto ?
Grazie ancora
Da quel che ho capito , indicando con "sistema" tutti i corpi che vanno presi in considerazione nel problema, $ vec(L_G) $ è il momento angolare del centro di massa di tutti i corpi presi in considerazione e quindi nel mio caso solo del disco, cioè $ I_(CM_(disco))*w $ . Con $ vec(OG) $ si intende la distanza del CM del sistema dal polo fisso O immediatamente prima dell'urto, vero ? Nel mio caso perciò questa distanza è assimilabile al raggio del disco. "M" indica la massa totale del sistema e $ vec(V_G) $ la velocità con cui si sposta , nel mio caso $ V=sqrt(2gh) $ .
Inoltre da come mi dici nelle ultime 3 righe questo teorema vale sempre, ma praticamente si utilizza quando vi è traslazione di un sistema , mentre se vi è solamente rotazione posso semplicemente utilizzare il teorema di Huygens-Steiner; è così ,giusto ?
Infine volevo chiederti , per capire meglio, se nel disco all'inizio non ci fosse stata rotazione attorno al suo asse passante per il CM (dunque $ vec(w_o $ = 0 rad/s) e dopo l'urto col piolo si comportasse come descritto nel problema stesso, quindi con una certa velocità angolare, per risolverlo si utilizza sempre la conservazione del momento angolare con il 1° teorema di Konig, assumendo $ vec(L_G) = 0$ per indicare il momento angolare immediatamente prima dell'urto ?
Grazie ancora
Si, tutto giusto 
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